Уч_Kabanov / Высшая алгебра / Вопросы к экзамену

1. Линейные пространства

Понятие и примеры линейного пространства. Линейная зависимость. Базис. Размерность. Матрица перехода от одного базиса к другому. Линейные подпространства. Сумма подпространств. Пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств.

2. Линейные отображения.

Понятие линейного отображения. Линейное преобразование. Образ отображения. Ядро отображения. Ранг отображения. Матрица линейного отображения. Произведение отображений.

3. Собственные вектора

Понятие собственного вектора и собственного числа линейного преобразования. Характеристическое уравнение. Понятие корневого (присоединенного) подпространства. Жорданова форма матрицы линейного преобразования.

4. Квадратичные формы.

Билинейные формы. Симметричные и кососимметричные формы. Квадратичные формы. Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа.

5. Евклидовы и унитарные пространства

Понятие евклидова пространства. Скалярное произведение. Длина вектора. Угол между векторами. Ортогональный базис. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональная матрица. Ортогональное дополнение подпространства. Понятие унитарного пространства. Скалярное произведение в унитарном пространстве (эрмитово скалярное произвдение). Сопряженные линейные преобразования. Самосопряженное линейное преобразование.