Замечание:
Функция f (x, y) есть однородная функция 0-го измерения, если она не меняется при замене x на kx и y на ky,
где k – произвольный коэффициент пропорциональности.
f (kx,ky) k n f (x, y)
k0 f (x, y) f (x, y)
|
|
|
y |
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
ln |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
Уравнения, приводящиеся к однородным
|
|
|
|
ax by c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
f |
|
|
|
||
|
|
a x b y c |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
0, |
то переменные могут быть разделены |
|
|
|||||
a1 |
b1 |
|
подстановкой x u ; |
y v ; |
|
где и - решения системы уравнений
ax by c 0
a1 x b1 y c1 0
Уравнения, приводящиеся к однородным
|
|
|
ax by c |
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
f |
|
|
||
|
a x b y c |
|||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
a |
b |
|
0, |
то переменные могут быть разделены |
|
|
|||||
a1 |
b1 |
|
|||
|
подстановкой |
ax by t. |
|||
3. Линейные ДУ 1-го 
порядка
ДУ называется линейным
относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:
y P(x)y Q(x),
P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.
y P(x) y Q(x)
Q(x) 0
Q(x) 0
Однородное ЛДУ
Неоднородное ЛДУ
Линейные однородные 
ДУ
y P(x) y 0
dy |
P(x)dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
ln |
|
y |
|
P(x)dx ln |
|
C |
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ln |
|
y |
|
P(x)dx; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
C |
|
||||||||
y Ce P( x)dx |
Общее решение |
Линейные неоднородные ДУ
y P(x) y Q(x), |
Q(x) 0 |
1)Метод
Бернулли.
2)Метод
Лагранжа.
Бернулли Якоб (1654-1705) – швейцарский математик
Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик
Метод Бернулли
y P(x) y Q(x)
Искомая функция представляется в виде
произведения двух функций
y uv
dv |
du |
dv |
du |
|
y u dx |
v dx |
u dx |
v dx |
P(x)uv Q(x) |
y P(x) y Q(x)
Метод Бернулли
Искомая функция представляется в виде
произведения двух функций
y uv
|
|
dv |
du |
|
u |
dv |
v |
du |
P(x)uv Q(x) |
|
|||
y |
u dx |
v dx |
|
dx |
dx |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
dv |
du |
|
Q(x) |
|||||
|
|
|
|
dx |
v |
|
P(x)u |
||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
u |
dv |
du |
Метод Бернулли |
|
v |
|
dx |
dx |
||
P(x)u Q(x)
т.к. первоначальная функция произведения, то каждый из произведение, может быть нашему усмотрению.
Важное замечание
была представлена нами в виде сомножителей, входящих в это произвольным, выбранным по
Пример: y 2x2
y 1 2x2; |
y 2x x; |
y 2 x2; |
|
u |
dv |
du |
Метод Бернулли |
|
v |
|
dx |
dx |
||
P(x)u Q(x)
Таким образом, можно одну из составляющих произведения функций выбрать так, что выражение :
dudx P(x)u 0