6497 / 1. Функциональные пространства

3

Понятие близости в метрическом и нормированном пространстве.

Определение 1.

Множество X элементов произвольной природы (не обязательно числовое множество) называется метрическим пространством, если любой паре элементов поставлено в соответствие число , (метрика, или расстояние) в соответствии с аксиомами:

А1. тогда и только тогда, когда x=y.

А2. .

А3. – неравенство треугольника.

Определение 2.

Говорят, что последовательность элементов метрического пространства X сходится к элементу , если .

Определение 3.

Последовательность элементов метрического пространства X называется фундаментальной, если

.

Определение 4.

Метрическое пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к некоторому элементу этого пространства.

Замечания.

1. Не любое метрическое пространство является полным.

Например, множество всех рациональных чисел с метрикой не является полным, т.к., скажем, последовательность - фундаментальная, но - иррациональное число.

2. Сходимость большинства итерационных процессов удается доказать только в полном метрическом пространстве, следовательно, полнота играет важную роль в числовом анализе.

Определение 5.

Множество X называется нормированным линейным пространством, если

• оно является линейным пространством, т.е. в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число с известными свойствами.

• любому элементу поставлено в соответствие число (норма x), удовлетворяющее аксиомам:

А1. ,

А2.

А3. – неравенство треугольника.

Замечание.

Любое нормированное линейное пространство X можно считать метрическим, введя метрику по формуле

. (1)

Если последовательность нормированного пространства X сходится в смысле метрики (1), то говорят о сходимости по норме пространства X.

Нетрудно убедиться, что для метрики (1) выполняются все аксиомы метрики.

Приведем некоторые примеры классов функций и соответствующих линейных пространств.

Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.

Пример 1.

Множество всех функций, заданных на отрезке [a, b] и имеющих на нем непрерывные производные до k -го порядка включительно, называется классом .

Пример 2.

При k=0 получаем класс - множество непрерывных на отрезке [a, b] функций.

Если на ввести норму по формуле

, (2)

то получим линейное нормированное пространство C[a,b] (операции сложения и умножения на число вводятся обычным образом f+g=f(x)+g(x), ).

Аксиомы А1, А2 – очевидно, выполняются.

В справедливости А3 нетрудно также убедиться с помощью свойств модуля и теоремы Вейерштрасса.

Замечания.

1. Норму в классе можно ввести не единственным образом.

Например,

. (3)

2. Сходимость последовательности по норме (2) – это равномерная сходимость, т.е. последовательность сходится к f - это то же самое, что

- это равномерная сходимость.

Пространство C[a,b] с нормой (2) является полным в силу теоремы мат. анализа: равномерно сходящаяся последовательность в замкнутой области сходится к непрерывной функции.

Пример 3.

Множество всех функций, p-я степень модуля которых интегрируема на отрезке [a, b], называется линейным нормированным пространством , если на нем введена норма по формуле

. (4)

Сходимость по норме (4) называется сходимостью в среднем (при p=2 - среднеквадратичная сходимость).

Замечание.

Пусть , тогда .

,

.

Отсюда следует, что из сходимости последовательности по норме C следует ее сходимость по норме , но не наоборот.