Цель работы: изучение законов динамики вращательного движе­ния, определение момента инерции и момента сил трения маятника Обербека.

Основные понятия

Наиболее простым случаем вращательного движения является враще­ние твердого тела вокруг неподвижной оси. Абсолютно твердым называют такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого во время движения остается неизменным. Вращательное движение твердого тела - это движение, при котором траектории всех точек тела являются концен­трическими окружностями с центрами на одной прямой, называемой осью вращения.

Быстрота вращения и направление вращения характеризуются векто­ром угловой скорости . Численное значение угловой скорости в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени

. Единица угловой скорости - рад/с. Направление вектора угло­вой скорости определяется правилом правого винта: если направление вращения винта совпадает с направлением вращения тела, то поступатель­ное движение винта укажет направление вектора (вектор направлен вдоль оси вращения).

Точки, лежащие на разных расстояниях от оси вращения, обладают разными линейными скоростями. Связь между векторами линейной скоро­сти и угловой скорости такова: = []. Векторы ,, образу­ют правовинтовую систему. Это означает, что если смотреть вслед вектору , то совершаемый по кратчайшему пути поворот к осуществляется по часовой стрелке.

При неравномерном вращении вводится понятие углового ускорения, характеризующего быстроту изменения угловой скорости. Угловое ускоре­ние обозначают вектором , равным первой производной по времени от угловой скорости: =d/dt. В случае вращения вокруг неподвижной оси изменение вектора обусловлено изменением его численного значения и поэтому . Вектор углового ускорения при ускоренном вращении совпадает но направлению с вектором угловой скорости , а при замедленном - противоположен ему.

Для приведения во вращение твердого тела вокруг неподвижной оси необходимо хотя бы в одной из его точек приложить внешнюю силу , не проходящую через ось вращения и не параллельную ей.

Моментом силы относитель­но точки О называется векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точки О и точку приложения силы, на вектор силы : .

Момент силы относительно данной оси - скалярная величина, равная проекции на данную ось вектора момента силы относи­тельно какой-либо точки той же оси.

Аналогично тому, как при по­ступательном движении инертные свойства тела характеризуются массой, при вращательном движе­нии инертность характеризуется моментом инерции. Каждое тело, незави­симо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным момен­том инерции относительно какой-либо оси. Момент инерции тела относи­тельно данной оси зависит от массы тела, его размеров и от распределения массы в пределах тела.

Если рассмотреть отдельную материальную точку массой dm, вра­щающуюся вокруг оси на расстоянии r, то ее момент инерции равен J=dmr². Твердое тело можно мысленно представить как совокупность большого числа n материальных точек dm_i и просуммировать моменты инерции всех точек относительно данной оси:

(1)

Если тело однородно, то , где ρ – плотность, dV - эле­ментарный объем. Тогда момент инерции всего тела может быть рассчитан по формуле:

(2)

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции (центр масс) тела J_O, то можно вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси с помощью теоремы Штейнера: момент инерции J относительно произвольной оси вращения равен сумме моментов инерции J_O относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квад­рат расстояния а между осями:

(3)

Покажем, как пользуясь теоремой Штейнера и выражением для мо­мента инерции цилиндра, полученным из (2) после интегрирования по объ­ему, можно рассчитать момент инерции крестообразного маятника Обербека.

Момент инерции всего маятника относительно оси вращения равен сумме моментов инерции четырех стержней с цилиндрическими грузами на них, момента инерции втулки, в которой крепятся стержни, и момента инерции барабана:

(4)

У втулки и барабана ось вращения проходит через их центр масс, это цилиндрические тела, поэтому

Момент инерции стержня длиной l_СТ, относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной ему

Момент инерции грузов найдем, считая грузы материальными точка­ми массой m, так как их размеры малы по сравнению с расстоянием до оси вращения: , где Х - расстояние от центра груза до оси вращения. Все части маятника - цилиндры, поэтому их массы запишутся , где ρ=7,8*10³ кг/м³ - плотность стали, d - диаметр цилиндра, 1 - его высота или длина.

(5)

Момент силы , момент инерции J и угловое ускорение связа­ны основным законом динамики вращательного движения:

Учитывая, что этот закон можно записать в виде:

(6)

где - момент импульса (количества движения) тела.

Обработка результатов эксперимента

x	5	13	20
h1	34.5	42	44.5
t1	10.4	12.2	19
h1	35.5	40	43
t2	10.6	12	18.4
h1	36.5	37.5	42.5
t3	10.8	11.2	18

Определить среднее значение J при каждом положении x:

При тех же значениях х теоретически рассчитаем J

Определим ε для 3 положений х грузов на стержнях: Рассчитаем значение МТР:

Погрешности

Абсолютная погрешность ΔJ измерения момента инерции:

где t определяются по формуле:

Погрешность измерения момента сил трения:

Δh­_I вычисляется по формуле Стьюдента:

Вывод

В результате проведения лабораторной работы изучили законы динамики вращательного движения.

Определили значение

момента инерции J = 0,047

момент сил трения М_ТР = 0,0054 Н*м