9.4. Распределение скорости по сечению круглой трубы при турбулентном режиме

С помощью полуэмпирической теории турбулентности получена зависимость для распределения скорости в круглой трубе при турбулентном режиме

u = A lny + C, (9.10)

где A и C – некоторые постоянные; y – расстояние от стенки. Таким образом, скорости в турбулентных потоках распределены по логарифмическому закону; такое распределение скорости характеризуется быстрым нарастанием ее у стенки и почти постоянной величиной в центральной части (рис. 9.5).

Для распределения скорости в трубах часто используют эмпирические формулы, наиболее простой из которых является степенная

, (9.11)

где u_m – значение скорости на расстоянии от стенки(на оси трубы); r – радиус трубы; u – скорость на

Рис. 9.5 расстоянии y от стенки трубы.

Показатель степени n в этой формуле не постоянен и убывает с возрастанием числа Re. Так, при Re = 4·10³ он равен 1/6, а при Re = 32·10⁵ – 1/10. Среднее значение n, соответствующее гладкостенному режиму, равно 1/7. Для этого случая зависимость (9.11) называется «закон одной седьмой» для распределения скорости

. (9.12)

Отношение v_ср и u_max в условиях ламинарного режима равно 0,5, а при турбулентном режиме, как показывают опыты,– 0,85 – 0,95.

Для инженерных расчётов возможно получить u_m и значение осредненной скорости в круглой трубе на любом расстоянии от стенки. Предварительно необходимо убедиться, что режим движения турбулентный. Вначале расход жидкости в трубе делят на площадь её сечения и определяют V_ср

V_ср=.

Затем находят u_m

u_m=.

Для определения u подставляют все уже известные величины в (9.12) и получают

.

9.5. Природа гидравлических сопротивлений. Потери по длине и местные

Для решения различных задач первостепенное значение имеет уравнение Бернулли, поскольку оно связывает скорость и давление в сечении; в него входит величина, выражающая потери механической энергии. Поэтому для решения практически любой задачи необходимо знать, какими зависимостями выражается величина потерь. Представим себе бак, из которого жидкость может выливаться по трубе в атмосферу (рис. 9.6); скорость течения жидкости и расход могут изменяться с помощью крана К. Если кран К закрыт, то жидкость в трубе Т неподвижна, силы трения отсутствуют, уровни в пьезометрах равны (как в сообщающихся сосудах) и жидкость обладает запасом потенциальной энергии; никаких превращений энергии при этом не происходит.

Если кран К открыть, то под действием силы тяжести вода будет вытекать в атмосферу, начнется движение жидкости. При этом, как при всяком движении, возникнут силы трения (так как жидкость вязкая) о стенки трубы и внутри самой жидкости. На жидкость силы трения действуют в сторону, противоположную направлению скорости. Как всегда при действии сил трения механическая энергия преобразуется в тепло и количество механической энергии уменьшается вдоль потока.

а б

Рис. 9.6

Применим уравнение Бернулли в общем виде

z₁ + + = z₂ + + + h_w

к сечениям потока 1 и 2, в которых расположены пьезометры (рис. 9.6, б), выбрав ось сравнения 0-0 совпадающей с осью горизонтальной трубы T. Как следует из рис. 9.6, б, z₁ = z₂ = 0 и несмотря на то, что механическая энергия жидкости вдоль потока уменьшается, средняя скорость не изменяется, так как расход остается постоянным. Поэтому V₁ = V₂ и α₁ = α₂. С учетом последних замечаний уравнение Бернулли принимает вид

= + h_w

или

h_w = - = h₁ – h₂ = Δh. (9.13)

Таким образом, потери удельной механической энергии можно измерить обычной линейкой; еще можно заметить в данном случае, что несмотря на частичное превращение механической энергии, кинетическая энергия остается постоянной вдоль потока, а потенциальная энергия убывает. Энергию (или напор), на величину которой удельная механическая энергия убывает, называют «потерянной» энергией («потерями» энергии или «потерями» напора). На самом деле никаких потерь энергии не происходит, а имеет место преобразование механической энергии в тепловую в результате трения. Если представить течение в длинной трубе, то по всей ее длине условия перехода механической энергии в тепловую будут одинаковые – т.е. будет одинаковое трение по всей длине. В этом случае потери будут называться потерями по длине и их величина пропорциональна длине трубы.

Формула для потерь энергии по длине имеет вид

(9.14)

и называется формулой Дарси-Вейсбаха.

В этой формуле приняты следующие обозначения: h_l – потери напора на длине l; V – средняя скорость; d – диаметр трубы; g – ускорение свободного падения; λ – коэффициент, учитывающий состояние стенок трубы и режим движения.

При расчетах потерь напора по формуле Дарси-Вейсбаха длина трубы, ее диаметр, расход задаются и определение h_l встречает затруднение только в связи с вычислением коэффициента λ.