8. Динамика жидкости

Закон сохранения энергии применяется при изучении движения жидкостей и газов; в связи с этим рассмотрим виды энергии, уравнения, их связывающие, и основы применения этих уравнений.

8.1. Полная энергия частицы движущейся жидкости

Как известно из механики, тело, находящееся в покое или в движении, обладает определенным запасом механической энергии, который характеризуется двумя величинами: потенциальной энергией и кинетической энергией.

Потенциальной энергией E_п в поле сил тяжести является произведение веса тела P (частицы жидкости) на высоту его поднятия z, отсчитываемую от некоторой условной горизонтальной плоскости

E_п = P · z = mgz, (8.1)

где m – масса частицы.

Кинетическая энергия E_к равняется половине произведения массы тела (частицы жидкости) на квадрат ее скорости

E_к = . (8.2)

В механике жидкости следует учитывать также потенциальную энергию, обусловленную упругим состоянием, проявляющуюся в том, что, например, находящийся под давлением газ или пар обладает способностью при расширении совершать механическую работу; жидкости также обладают определенной сжимаемостью. Запас этой так называемой потенциальной энергии состояния E_п.с. тем больше, чем больше объем жидкости и чем выше давление, и определяется зависимостью

E_п.с. = pW, (8.3)

где p – давление; W = = – объем тела (частицы жидкости).

Таким образом, полная механическая энергия частицы жидкости равна

E = mgz + pW + .(8.4)

Энергия, отнесенная к единице веса частицы жидкости, называется удельной энергией; деля (8.4) на вес частицы жидкости P = mg = Wρg, получим для удельной энергии e выражение

e = z + + , (8.5)

где составляющая z представляет собой удельную потенциальную энергию положения, составляющая – удельную потенциальную энергию состояния и– удельную кинетическую энергию.

В большинстве инженерных гидравлических расчетов необходимо знать давление или среднюю скорость. При этом очевидно, что на величины скорости и давления не влияет массовый расход всего потока – проще говоря, давление может быть очень большим в тонкой трубке при малом расходе и может быть малым в потоке, переносящем десятки кубических метров жидкости в секунду (аналогичные замечания справедливы и для скорости). Поэтому для определения давления p и скорости u достаточно выражения для удельной энергии в виде (8.5), а основные расчеты проводятся в терминах удельной энергии - ,p/ и u²/.

Рис. 8.1 Рис. 8.2

Все составляющие удельной энергии имеют размерность длины и называются так: z – геометрическая высота; – пьезометрическая высота;– высота скоростного напора.

Из механики известно, что тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью V, поднимается, если пренебречь сопротивлением среды, на высоту

.

Пусть в потоке жидкости изогнутая открытая с обоих концов стеклянная трубочка помещена так, что одно колено трубки направлено навстречу течению, а второе расположено вертикально (рис. 8.1); опыт показывает, что жидкость во втором колене поднимается над уровнем, соответствующим поверхности потока, на высоту .

Если рядом с этой трубкой погрузить на ту же глубину другую, неизогнутую и также открытую с обоих концов, поместив ее в той же вертикальной плоскости, то жидкость в ней установится на одном уровне с поверхностью потока; обозначив давление в точке, соответствующей глубине погружения обеих трубок, через , найдем, что по отношению к этой точке уровень в изогнутой трубке находится на высоте

,

в то время как в прямой трубке – на высоте , так что разность высот в трубкахбудет равна высоте скоростного напора.

На примере сужающегося потока (рис. 8.2) поясним смысл каждой составляющей полной механической энергии и смысл выражения (8.5): – геометрическая высота, т.е. расстояние по вертикали от оси сравнения О – О до центра тяжести сечения потока,– высота столба жидкости в пьезометре,– удельная кинетическая энергия. Сумма этих высот дает полную механическую энергию.