7.8. Давление жидкости на плоские фигуры

П

В

А

редставим резервуар или часть канала (рис. 7.20), глубина жидкостиН. Справа жидкость удерживает наклонная плоская стенка АВ. Определим силу избыточного гидростатического давления на площадку S. Выделим в пределах площадки S элемент малой площади ∆S, находящийся на глубине h. В пределах малого элемента ∆S избыточное гидростатическое давление можно считать постоянным и величина силы, действующей на ∆S, равна ∆F=р∆S=gh∆S. Чтобы найти всю силу F, необходимо просуммировать Рис. 7.20

∆F по всей площади фигуры

.

Для получения точного результата необходимо перейти к пределу при ∆S0 и суммирование заменить интегрированием, тогда

.

Величина - сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояния до свободной поверхности и, как известно из теоретической механики, представляет собой статический момент фигурыS относительно плоскости свободной поверхности; он равен произведению площади фигуры S на расстояние h_ц.т. ее центра тяжести до этой плоскости, т.е.

Выражение для силы избыточного давления принимает вид

(7.19)

Сила избыточного суммарного давления жидкости на плоскую фигуру равна произведению площади фигуры S на избыточное давление в ее центре тяжести.

Это правило остается справедливым и для полного суммарного давления, т.е. при учете давления на свободной поверхности жидкости р₀. В этом случае

( р₀₊)S. (7.20)

Центр давления. Точка, в которой приложена равнодействующая гидростатического давления жидкости на плоскую площадку, называется центром давления.

Расстояние вдоль стенки от свободной поверхности до центра давления l_ц.д. равно

l_ц.д.=l_ц.т.+,

где I₀ – момент инерции рассматриваемой фигуры относительно оси, проходящей через ее центр тяжести. Последняя формула показывает, что центр давления расположен ниже центра тяжести. Для вертикальной, прямоугольной плоской стенки высотой h и шириной b (глубина воды h)

h_ц.т.=,h_ц.д.=h. (7.21)

Задача 7.7. Подпорная вертикальная прямоугольная стенка шириной В=10 м сдерживает напор воды высотой Н=1,5 м. Определить силу избыточного давления F на стенку. Плотность воды принять =1000 кг/м³.

Решение. Силу F избыточного давления определяем по формуле (7.19), площадь на которую действует давление, равна 10∙1,5=15 м². Так как стенка прямоугольная, то ее центр тяжести находится в точке пересечения диагоналей и глубина погружения его под поверхностью воды равна h_ц.т.=0,75 м. Окончательно величина силы F равна

F=1000∙9,8∙0,75∙15=110250 Н.

Рис. 7.21 Задача 7.8. Определить силу F, необходимую для подъема щита С, закрывающего прямоугольное отверстие высотой h=3 м и шириной В=4 м (рис. 7.21). Напор воды перед щитом H=5 м, коэффициент трения в направляющих щита при подъеме f=0,03, вес щита 500 кг.

7.9. Давление жидкости на криволинейные поверхности

Представим цилиндрическую криволинейную поверхность АВ, на которую слева действует жидкость (рис. 7.22). В данном случае нахождение силы гидростатического давления, действующего на криволинейную стенку, осложняется тем, что необходимо суммировать силы, имеющие различные направления (ясно, что в каждой точке давление направлено по нормали к поверхности).

При решении данной задачи достаточно определить отдельные проекции суммарной силы. Не приводя доказательств, сформулируем результат вывода формулы для величин горизонтальных составляющих суммарной силы: горизонтальная составляющая суммарного давления на криволинейную поверх- Рис. 7.22

ность равна силе суммарного давления на ее вертикальную проекцию.

Если определяется проекция силы давления на ось Х, то поверхность АВ (единичной ширины) проектируется на плоскость YОZ (вертикальная плоскость ВВ´ на рис. 7.22); в результате получаем

F_x=S_x. (7.22)

Таким образом, чтобы найти горизонтальную составляющую силы давления, надо криволинейную поверхность спроектировать на вертикальную плоскость и определить силу давления на нее, как на плоскую стенку.

Переходя к вертикальной составляющей силы суммарного давления, введем представление о теле давления: объем W называется телом давления (рис. 7.22); он ограничен криволинейной поверхностью АВ, проекцией ее на плоскость свободной поверхности АВ´ и вертикальной плоскостью проектирования ВВ´.

В

А

ертикальная составляющая суммарного давления на криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеметела давления.

Н

В

аправление давления (вверх или вниз) определяется взаимным расположением жидкости и поверхности. В случае, показанном на рис. 7.22, оно направлено вниз, а если бы жидкость была справа, то давление было бы направлено вверх. Величина составляющейF_z определяется по формуле

F_z=. (7.23)Рис. 7.23

Задача 7.9. Металлическая цистерна диаметром D=2,4 м и длиной l=12 м заполнена нефтью (плотность нефти =850 кг/м³). Давление на поверхности нефти равно атмосферному (рис. 7.23). Определить силу давления нефти на левую внутреннюю криволинейную поверхность АВ.

Решение. Горизонтальную составляющую определим по формуле (7.22)

F_x=S_x=ld==850∙9,81∙12∙=288178,5 H

(составляющая F_y равна нулю).

Вертикальную составляющую находим с помощью зависимости (7.23)

F_z==l=850∙9,81∙12∙=72044,6 Н.

Равнодействующая равна =297047 Н.

Угол наклона равнодействующей к горизонту можно найти, подсчитав величину

.