Расчёт погрешностей

Построение зависимости B=fвыполняется по методу наименьших квадратов (см. приложение). Зависимость ищется в видеY=Ax, гдеX=, аY=B. Значение А находится по формуле П.4 приложения.

Погрешность определения индукции магнитного поля при заданной величине тока через соленоид находится по формулам вычисления погрешностей косвенных измерений :

где абсолютная погрешность амперметра.

Погрешность косвенного измерения постоянной Холла находится по формуле:

,

где погрешность вольтметра;погрешность определения величины индукции магнитного поля;абсолютная погрешность миллиамперметра.

Лабораторная работа 3

Изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре

Цель работы: изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре; построение амплитудной резонансной кривой при разных значениях активного сопротивления контура; измерение резонансной частоты контура и исследование её зависимости от ёмкости конденсатора.

Основные понятия

Рассмотрим процессы, протекающие в колебательном контуре, подключенном к источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону (рис. 3.1).

(3.1)

3.1.Колебательный контур

Э

Рис.3.1 Колебательный контур

та ЭДС называется вынуждающей, а незатухающие колебания, которые при этом возникают в контуре, называются вынужденными колебаниями. Запишем уравнение этих колебаний. В любой момент времени сумма падений напряжений на элементах контура равна действующей в нём ЭДС:

(3.2)

где V– напряжение на конденсаторе с ёмкостью С;I– ток в контуре;R– его омическое сопротивление; Ω– частота вынуждающей ЭДС. Учитывая, что ЭДС самоиндукции, а ток в катушке равен

, (3.3) гдеq– заряд на обкладках конденсатора;L– индуктивность катушки.

Перепишем уравнение (3.1) в виде

(3.4)

Разделим это уравнение на LC и введем обозначения:

Тогда для определения зависимости напряжения на конденсаторе от времени получим следующее дифференциальное уравнение:

(3.5) Выражение (3.5) представляет собой уравнение вынужденных колебаний. Его решение складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (3.5). Общее решение однородного уравнения известно и имеет вид:

(3.6) Оно описывает затухающие колебания, которые через времяпрактически прекращаются. Тогда решение уравнения (3.5) будет

определяться его частным решением, которое будем искать в виде:

, (3.7) где V₀иподлежат определению; Ω - частота вынужденных колебаний, которая совпадает с частотой вынуждающей ЭДС. Подстановка решения (3.7) в уравнение (3.5) дает:

Таким образом, амплитуда и начальная фаза напряжения на конденсаторе зависят от соотношения частоты источника ЭДС и частоты собственных колебаний контура₀.

Ток в контуре

, (3.10)

где .

Амплитуда тока в контуре также зависит от соотношения частот и₀и равна:

Кривые, описывающие зависимость амплитудных значений вынужденных колебаний напряжения и тока в контуре от частоты внешней силы, называются амплитудными резонансными кривыми. Максимального значения величина V₀достигает при частоте внешней ЭДС, равной

. (3.12) Резонансные кривые дляV₀изображены на рис. 3.2,а.При Ω=0 резонансные кривые стремятся кV_0статнапряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения величины Е₀. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше β=R/2L, т.е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура. При малом затухании (β²<<ω²₀) резонансная частота для напряжения близка к ω₀.

Колебания с максимальной амплитудой называются резонансными, а само явление «раскачки» колебаний до максимальной амплитуды называется резонансом. При отклонении частоты вынуждающей ЭДС от резонансной амплитуда резко уменьшается.

Резонансные кривые для силы тока представлены на рис. 3.2,б. Амплитуда силы тока (3.11) имеет максимальное значение, что совпадает с собственной частотой контура. Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на осиI₀, равен нулю, т.к. при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

V₀

1

V_0стат

Ω/ω₀

а б

Рис.3.2. Резонансные кривые: а − по напряжению, б − по току

Важной характеристикой колебательного контура является рост амплитуды V₀в резонансе по сравнению с его статическим значением. Из (3.8) следует:

где θ − логарифмический декремент затухания. ВеличинаQназывается добротностью контура. Соотношение (3.13) показывает, что чем меньше затухание в контуре, тем больше его добротность.

Если известны параметры контура, добротность может быть рассчитана по формуле:

Добротность контура характеризует также остроту резонансных кривых. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим ширину резонансной кривой ΔΩ (рис. 3.4).

Рис. 3.3. Фазовые резонансные кривые Рис. 3.4. Построение полосы пропускания контура

Однако эта величина определяется не относительно амплитуды силы тока I₀, а относительно квадрата амплитуды. Это связано с тем, что такая важнейшая характеристика контура, как мощность, определяется не амплитудойI₀, а её квадратом. Шириной резонансной кривой называется расстояние в частотах ΔΩ от частоты резонанса ω₀до той частоты, где квадрат амплитуды убывает в два раза (I₀=I_0m/√2). Вычисления показывают, что ширина резонансной кривой равна:

, (3.15)

и чем меньше затухание, тем меньше ширина и острее резонансная кривая. Более удобно ширину резонансной кривой в (3.15) выразить через добротность:

(3.16) Таким образом, ширина резонансной кривой ΔΩ=ω₀/Q, т.е. равна частоте резонанса, делённой на добротность.

Исследуем зависимость начальной фазы вынужденных колебаний от частоты вынуждающей ЭДС. График зависимости ₁от частоты Ω представлен на рис. 3.3. Кривые I и 2 соответствуют разным значениям; прии . Эти кривые называются фазовыми резонансными кривыми.