3.7.5. Разность потенциалов внутри диэлектрического заряженного шара
Имеем диэлектрический шар заряженный с объемной плотностью
ρ 43πqR3 .
51
Напряженность поля шара,
вычисленная с помощью теоремы Остроградского-Гаусса:
|
qr |
|
ρr внутри шара(r R) |
|
3 |
||
|
4πε0 R |
|
3ε0 |
|
q |
|
на поверхности шара(r R) |
E |
4πε0 R2 |
||
|
|
||
|
q |
|
вне шара (r R). |
|
4πε0r2 |
||
|
|
||
|
|
|
52 |
Отсюда найдем разность потенциалов шара:
φ2 φ1 |
2 |
Edr |
ρ |
2 rdr |
ρ r22 r12 |
|
|
3ε0 |
|
6ε0 |
|
|
1 |
|
1 |
||
или
φ1 φ2 q(r22 r12 ) .
4πε0 2R3
53
|
3q |
|
|
Потенциал шара: |
|
||||||
|
8 |
0 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в центре шара |
|
|
|
|||||||
|
(r 0); |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
q |
|
|
3 |
r |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
8 0 R |
|
R |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
внутри шара |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r R); |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0r |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
на поверхности и вне шара(r R). |
|
|||||||||
|
54 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из полученных соотношений можно
сделать следующие выводы:
С помощью теоремы Гаусса сравнительно просто можно рассчитать Е и φ от различных заряженных поверхностей.
Напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность.
Потенциал поля – всегда непрерывная функция координат. 55