На рисунке изображена зависимость
напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями.
φ2 φ1 σd ε0
E σ 
ε0
3.7.2. Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечно длинной цилиндрической
поверхностью
С помощью теоремы
Остроградского-Гаусса мы показали, что
|
0 внутри цилиндра, |
|
||||||
|
т.к. т а м нет зарядов |
|
||||||
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
или |
|
на поверхности цилиндра |
|
||
E |
2 |
0 R |
2 0 Rl |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
или |
|
q |
вне цилиндра. |
|
|
|
2 |
0r |
2 0rl |
|
||||
|
|
|
|
42 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, т.к. |
2 |
|
|
r2 |
|
dφ Edr; |
dφ |
λ |
|
dr |
|
2πε |
|
||||
|
1 |
0 r |
r |
||
|
|
|
1 |
|
|
отсюда следует, что разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2 будет равна:
φ |
2 |
φ |
λ ln r2 |
q |
ln r2 |
||||||
|
|
1 |
|
|
2πε0 |
r1 |
2πε0l |
r1 |
|||
|
|
λ |
|
1 |
|
||||||
|
ln |
const внутри и на поверхности |
|||||||||
|
2πε0 |
R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
φ |
|
λ |
ln r |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
вне цилиндра. |
|
|
||||||
|
2πε0 |
|
R |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
43 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ln |
1 |
const внутри и на |
|
|
2 0 |
R |
|||
|
|
||||
|
|
|
|||
|
поверхности цилиндра |
||||
|
|||||
|
|
ln |
r |
вне цилиндра. |
|
|
2 0 |
R |
|||
|
|
|
|
|
|
44
3.7.3. Разность потенциалов между обкладками
цилиндрического конденсатора
0 внутри меньшегои вне большего
Eцилиндров зарядов нет
|
|
между |
|
|
|
|
|
||
2 0r |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
цилиндрами, когда R r R . |
45 |
||
|
|
1 |
2 |
|
Т.к. |
|
dφ Edr |
, то |
|||||
φ |
2 |
φ |
|
|
λ ln r2 |
|||
|
|
1 |
|
2πε0 |
r1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R2 |
const внутри меньшего |
||
|
|
2 |
|
ln R |
||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
цилиндра (r R1 ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
между цилиндрами |
||||
|
|
2 |
|
ln R |
||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
(R r R ) |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
вне цилиндров. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
Таким образом, внутри меньшего
цилиндра имеем , Е = 0, φ = const; 
между обкладками потенциал уменьшается по логарифмическому закону,
вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ
и Е равны нулю.
47
3.7.4. Разность потенциалов заряженной сферы (пустотелой)
Напряженность поля сферы определяется формулой
E(r) q 2
4πε0r
48
А т.к. |
|
dφ Edr |
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|||||||||
r2 |
|
q dr |
q |
|
|
1 |
|
r2 |
|
|
q |
|
1 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ1 φ2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
, |
|||||||||
r |
4πε0 r |
|
|
4πε |
0 |
r |
|
|
|
|
4πε0 |
r1 |
|
r2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. φ 4πεq0r .
|
q |
|
σR |
const внутри и на поверхн. |
||
|
|
|
|
|||
4πε0R |
ε0 |
|||||
|
|
|||||
|
|
|
||||
φ |
q |
|
|
|
||
|
вне сферы (r R). |
|||||
|
|
|||||
|
4πε0r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
50