3.6. Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности
Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке совпадает с направлением E .
Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии.
Именно вдоль силовой линии происходит максимальное
изменение потенциала. Поэтому всегда можно определить
φ между двумя точками, измеряя U между ними,
причем тем точнее, чем ближе точки.
В однородном электрическом поле силовые линии – |
|
прямые. Поэтому здесь определить E наиболее просто: |
|
U |
|
E l |
(3.6.1) |
31
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый
потенциал, называется
эквипотенциальной поверхностью.
Уравнение этой поверхности
φ φ(x, y, z) const. (3.6.2)
Линии напряженности и
эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны
33
Формула E grad φ выражает связь потенциала с напряженностью и
позволяет по известным значениям φ
найти напряженность поля в каждой точке. 
Можно решить и обратную задачу, т.е.
по известным значениям |
E |
|
в каждой |
|
точке поля |
|
|
2 |
|
найти разность |
φ1 φ2 |
(E,dl). |
||
потенциалов между двумя 1 |
|
произвольными точками поля. |
34 |
2
φ1 φ2 (E,dl).
Интеграл можно брать1 по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не зависит от пути.
Для обхода по замкнутому контуру φ1 φ2 получим: (E,dl) 0,
т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности:
циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным. 35
Из обращения в нуль циркуляции вектора
следует, что линии электростатического
поля не могут быть замкнутыми: они
начинаются на положительных зарядах
(источниках) и заканчиваются на отрицательных зарядах (стоках) или уходят
на бесконечность
36
3.7. Расчет потенциалов простейших электростатических полей
Рассмотрим несколько примеров вычисления разности потенциалов между точками поля, созданного некоторыми заряженными телами
37
3.7.1. Разность потенциалов между двумя бесконечными заряженными плоскостями
38
Мы показали, что напряженность |
|
связана с потенциалом |
|
dφтогда |
dφ Edl |
E dl , |
|
(3.7.1) |
|
E |
σ |
– напряженность |
где |
ε0 |
|
электростатического поля между |
||
заряженными плоскостями |
||
σ = q/S – поверхностная плотность |
||
заряда. |
|
39 |
|
|
|
Чтобы получить выражение для
потенциала между плоскостями, проинтегрируем выражение
dφ Edl |
|
|
2 |
|
|
σ |
x2 |
|
|
dφ |
dx; |
||||
|
|
|
1 |
|
|
ε0 |
x |
|
|
σ x2 |
|
|
1 |
||
φ2 φ1 |
|
x1 |
|
(3.7.2) |
|||
|
|
ε0 |
|
|
|
σd |
|
При x1 = 0 и x2 = d |
φ |
2 |
φ |
||||
|
1 |
|
ε |
||||
|
|
|
|
|
|
(3.70.3) |
|
40