Другое определение потенциала: |
|||
φ |
A |
или A qφ |
|
q |
|||
|
|
||
т.е. потенциал численно равен работе,
которую совершают силы поля над
единичным положительным зарядом
при удалении его из данной точки в бесконечность
(или наоборот – такую же работу 
нужно совершить, чтобы переместить
единичный положительный заряд из
бесконечности в данную точку поля).
При этом φ 0 , если q > 0.
21
Если поле создается системой зарядов, то, используя
принцип суперпозиции, получаем:
|
1 |
|
|
q |
q' |
|
(3.3.3) |
|
|
|
W |
4 |
0 |
rk |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
1 |
|
|
qk |
||
Тогда и для потенциала |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
или |
k |
|
|
(3.3.4) |
|
|
|
|||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. потенциал поля, создаваемый системой
зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
А вот напряженности складываются при наложении полей – векторно.
22
Выразим работу сил электростатического
поля через разность потенциалов между начальной и конечной точками:
A12 W1 W2 φ1q φ2q q φ1 φ2 .
Таким образом, работа над зарядом q равна произведению заряда на убыль потенциала:
A q φ1 |
φ2 |
qU , |
(3.3.5) |
|
|
|
где U – напряжение. A qU
23
Формулу |
A qφ |
можно использовать для |
установления единиц потенциала:
за единицу φ принимают потенциал в такой
точке поля, для перемещения в которую из
бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу
равную единице.
В СИ единица потенциала1В 1 Дж/1 Кл
Электрон - вольт (эВ) – это работа, 
совершенная силами поля над зарядом,
равным заряду электрона при прохождении
им разности потенциалов 1 В, то есть:
1 эВ 1,6 10 19 Кл В 1,6 10 19 Дж.
24
3.4. Связь между напряженностью
и потенциалом
Изобразим перемещение заряда q` по произвольному пути l в 
электростатическом поле .
Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом
отрезке |
можно найти |
|
так: |
d l |
(3.4.1) |
|
||
|
dA Fldl El qdl, |
|
25
dA Fldl El qdl,
Эта работа, если она совершена электростатическим полем, равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl:
dA qdφ; |
El qdl qdφ |
||
отсюда |
E dφ . |
(3.4.2 ) |
|
l |
dl |
||
|
|
|
|
|
|
|
26 |
Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции на оси координат.
|
i |
j |
k, |
E |
|||
|
x |
y |
z |
По определению градиента сумма первых |
||
производных от какой-либо функции по |
||
координатам есть градиент этой |
||
функции grad i |
j |
k, |
x |
y |
z |
grad – вектор, показывающий направление |
||
наибыстрейшего увеличения функции. |
||
27
Коротко связь между Eи φ записывается так:
E grad (3.4.4)
или так: |
|
E , |
(3.4.5) |
где (набла) означает символический 
вектор, называемый оператором Гамильтона
Знак минус говорит о том, что вектор направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.
28
3.5. Безвихревой характер электростатического поля
Из условия E φ следует одно важное соотношение, а именно, величина, векторного произведения [ ,E]для стационарных электрических полей всегда равна нулю. Действительно, по определению, имеем
|
i |
j |
k |
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
φ 0 |
||
[ ,E] |
|||||||||
|
x |
y |
z |
|
x |
y |
z |
|
|
|
φ |
φ |
φ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
x |
y |
z |
|
|
поскольку определитель содержит две одинаковые |
|||||||||
строки. |
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Величина [ , E] называется ротором
или вихрем
Мы получаем важнейшее уравнение электростатики:
rotE 0 |
(3.5.1) |
Таким образом кулоновское
электростатическое поле – 
безвихревое.
30