Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Электричество и магнетизм

Файл:

ЭлектричествоПрезентация / Лекция 2.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

1.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных местах пространства:

ρ dq /dV

Здесь dV – физически бесконечно малый объем, под которым следует понимать такой

объем, который с одной стороны достаточно мал, чтобы в пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность заряда, т.е. то, что любой заряд кратен целому числу элементарных зарядов электрона или протона .

Суммарный заряд объема dV будет равен:

qi ρdV .

		V
Тогда из теоремы Гаусса можно получить:
Ф			1		ρdV
Ф	ЕdS		1		ρdV
E			ε
	S			0 V

ФE ε1 ρdV

0 V

– это ещё одна форма записи теоремы Остроградского-Гаусса, если заряд

неравномерно распределен по объему.

2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса

Пусть заряд распределен в
пространстве V, с объемной
ρ	. Тогда
плотностью	. Тогда
EdS q
	ε0
	ε0
	1
EdS ρ V	1	EdS ρ
ε0	V		ε0
			24

Теперь устремимV 0 , стягивая его к интересующей нас точке. Очевидно, что при этом ρ будет стремиться к ρ в данной точке, т.е.

ρ ρ .

ε0 ε0

Величину, являющуюся
пределом отношения ЕdS
к V, при V 0 ,
называют дивергенцией поля Е
div E	25

Дивергенция поля		Е

divE lim	1 . EdS
V 0	V

Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля.

Из этого определения следует, что

дивергенция является скалярной

функцией координат.

В декартовой системе координат
	E	x	Ey	E	z .
div E		x	y		z .
	x		y	z		26
						26

Итак,		ρ
	div E	ε0 .	(2.4.3)
Это теорема Остроградского-

Гаусса в дифференциальной форме.

Написание многих формул упрощается, если ввести векторный дифференциальный оператор (Набла)

	i		j	k,

	x	y		z	где i, j, k –
орты осей (единичные векторы). 27

Сам по себе оператор смысла не

имеет. Он приобретает смысл в сочетании с векторной или скалярной функцией, на которую символично умножается:

дифференциальная форма

теоремы Остроградского-

Гаусса.

ε0

В тех точках поля, где	div E 0
В тех точках поля, где	–
источники поля
(положительные заряды),