2.3. Теорема Остроградского- Гаусса

Итак, по определению, поток

вектора напряженности электрического поля равен числу линий напряженности,

пересекающих поверхность S.

поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен:

dФЕ ЕdS cos EndS.
Т.е. в однородном поле ФЕ ES.
В произвольном электрическом поле
ФЕ ЕndS EdS.
		13
S	S

Подсчитаем поток вектора через
произвольную замкнутую
поверхность S, окружающую
точечный заряд q .
Окружим заряд q сферой S1.	14

Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1.

В каждой точке поверхности S1
проекция Е на направление
внешней нормали одинакова и
равна	En 1	q2 .
	4πε0	R1	15
			15

Тогда поток через S1
ФE EndS	q	2	4πR12 q .
S1	4πε0 R1		ε0

Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:

Ф	q	dS	q	4πR2	q .
Е	S2 4πε0 R22		4πε0 R22	2	ε0
	S2 4πε0 R22		4πε0 R22		ε0

Из непрерывности линии	E
	следует, что

поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине:

–	Ф	Е	dS q
–	Е	n		одного заряда.
	это теорема Гаусса для			ε	0
		S			0

Для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности:

Ф	Е dS q
Е		n	0

	S

– теорема Гаусса для нескольких

зарядов:

Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε0.