В катушке действует э.д.с. самоиндукции, поэтому закон Ома для неоднородного участка
цепи запишем так: U = Ir – СИ. |
|
|
Здесь сопротивление идеальной катушки индуктивности r = 0; СИ = |
— э.д.с. |
|
самоиндукции. Тогда: |
|
|
|
|
|
Напряжение на катушке индуктивности2 |
на опережает по фазе ток (рис. 11.9.). |
|
3.4. Вынужденные колебания. Резонанс.
Вернёмся к уравнению вынужденных колебаний (11.14):
UR + UC + UL = U0cos t.
Теперь мы знаем, что здесь: UR = I0Rcos t;
Сложим эти три гармонические колебания, воспользовавшись методом векторных диаграмм (рис. 11.10.). Для этого выберем ось тока (I). UR представим вектором,
совпадающим по направлению с направлением оси тока. Напряжения UC и UL будут
представлены векторами, повёрнутыми относительно оси тока на соответственно.
Сложение трёх колебаний заменим теперь сложением этих трёх векторов.
Сумма падений напряжений на индуктивности и ёмкости определит реактивную составляющую полного напряжения — Uр.
Амплитуда этого напряжения, как следует из (11.18) пропорциональна амплитуде тока.
Рассматривая последнее уравнение, как запись закона Ома, можно коэффициент пропорциональности между током и напряжением назвать сопротивлением этого участка.
Продолжим сложение векторов и к уже полученной сумме прибавим вектор, изображающий
UR = I0R.
Результатом сложения всех трёх колебаний (векторов) будет напряжение U = U0cos t,
поддерживающее вынужденные колебания в контуре (см. 11.4).
Как следует из векторной диаграммы, амплитуда этого напряжения равна:
При этом ток будет запаздывать по фазе от напряжения на :
Уравнения (11.19) и (11.20) иногда называют законом Ома для переменного тока. Но надо иметь в виду, что эти формулы связывают только амплитудные значения тока I0 и напряжения U0.
В уравнении (11.21) |
— полное сопротивление колебательного контура, |
|
складывающееся из активного (R) и реактивного |
сопротивлений. |
|
Теперь проанализируем полученные результаты (11.20) и (11.21).
Пусть в колебательном контуре RLC (рис. 11.6.) действует источник переменного напряжения:
U = U0cos t.
Теперь мы уже знаем, что в контуре установятся гармонические колебания тока:
I = I0cos( t – ).
Амплитуда этого колебания прямо пропорциональна амплитуде приложенного напряжения U0 и обратно пропорциональна полному сопротивлению контура:
Будем теперь менять частоту возбуждающего сигнала, оставляя его амплитуду U0
неизменной.
При = 0, I( = 0) = 0. Это легко понять: ведь сопротивление колебательного контура, с его
ёмкостью С, бесконечно для постоянного тока Отсюда и нулевой ток. Ток будет стремиться к нулю и в случае неограниченного роста частоты колебаний. При
, RL = L и I 0.
В промежутке между этими предельными значениями частоты, амплитуда тока проходит через максимум. Резонансные кривые для амплитуды силы тока I0 = I0( ) приведены на рис. 11.11.
Амплитуда I0 достигает максимума, когда реактивное сопротивление контура становится равным нулю:
При этой (резонансной) частоте сопротивление контура будет определяться только сопротивлением резистора R:
Из (11.22) следует, что резонанс тока наступает при частоте P = 0, равной частоте собственных незатухающих колебаний контура:
Понятно, что уровень резонансного максимума амплитуды тока зависит от величины активного сопротивления контура Анализ зависимости фазового сдвига от частоты
приводит к выводу, который графически представлен на рис 11.12.
Наибольший интерес представляет момент резонанса, когда частота вынуждающего сигнала равна частоте 0.
Тогда амплитуда тока достигает своего максимума, а разность фаз между током и приложенным напряжением равна нулю ( = 0).
Контур в этом случае выступает как чисто активное сопротивление.
Этот важный частный случай вынужденных колебаний называется
резонансом напряжений. Именно резонанс напряжений используется в радиотехнике при настройке на сигнал строго определённой частоты.
3.5. Проблема косинуса фи
Любая цепь переменного тока обладает определёнными значениями сопротивления (R), индуктивности (L) и ёмкости (C). Поэтому процессы, происходящие в таких цепях при течении переменного тока, очень близки к тем, которые мы наблюдали в колебательном контуре RLC.
Полное напряжение можно представить суммой двух составляющих (см.
рис. 11.10.): активной: |
Uа = U0cos( t) cos |
и реактивной: |
|
Работу переменного тока за период можно также представить двумя слагаемыми: одно из них определяется активной составляющей напряжения, другое — реактивной. Несложно показать, что эта последняя равна нулю:
напомним, что .
Значит, работа тока за период определяется только активной составляющей напряжения:
Мощность в цепи переменного тока:
Оказывается, что мощность зависит не только от амплитудных значений тока (I0) и напряжения (U0), но и от сдвига по фазе между ними. Поэтому в выражении (11.24) cos
называется коэффициентом мощности.
Если фазовый сдвиг далёк от нуля ( 0), то cos может оказаться значительно меньше
единицы. Это означает, что для передачи необходимой мощности при заданном напряжении U0
придётся повысить ток, что означает рост тепловых потерь в линиях электропередач. Поэтому, при проектировании электрических цепей, стараются так распределить активные и реактивные составляющие нагрузки, чтобы достигнуть наибольшего значения cos .
Это сложная задача электротехники известна как «проблема косинуса фи».
2 анимации: Мякишев параграфы 28, 29: колебательный контур и аналогия с механическими колебаниями.