«Электрические колебания»
1.Колебательные контуры. Квазистационарные токи.
2.Собственные электрические колебания.
2.1.Собственные незатухающие колебания.
2.2.Собственные затухающие колебания.
3.Вынужденные электрические колебания.
3.1.Сопротивление в цепи переменного тока.
3.2.Ёмкость в цепи переменного тока.
3.3.Индуктивность в цепи переменного тока.
3.4.Вынужденные колебания. Резонанс.
3.5.Проблема косинуса фи.
1. Колебательные контуры. Квазистационарные токи. 
Колебания электрических величин — заряда, напряжения, тока — можно наблюдать в цепи, состоящей из последовательно соединённых сопротивления (R), ёмкости (C) и катушки индуктивности (L) (рис. 11.1).
Рис. 11.1.
Если конденсатор С зарядить, то в цепи RLC возникнут колебания с периодом T, аналогичные колебаниям груза на пружине.
Колебания, происходящие только за счёт внутренних энергетических ресурсов системы, называются собственными. Если первоначально энергия была сообщена конденсатору, то она локализована в электростатическом поле. При замыкании конденсатора на катушку, в цепи появляется разрядный ток, а в катушке — магнитное поле. Но э.д.с. самоиндукции катушки будет препятствовать мгновенной разрядке конденсатора. Через четверть периода конденсатор полностью разрядится, но ток будет продолжать течь, поддерживаемый электродвижущей силой самоиндукции. К моменту T/2 эта э.д.с. перезарядит конденсатор. Ток в контуре и магнитное поле уменьшатся до нуля, заряд на обкладках конденсатора достигнет максимального значения (рис. 11.2).
Рис. 11.2
Колебания электрических величин в контуре будут происходить неограниченно долго, если сопротивление контура R = 0. Такой процесс называют собственные незатухающие колебания. (рис. 11.3 а). Подобные колебания мы наблюдаем в механической колебательной системе, когда
вней отсутствует сила сопротивления. Если сопротивлением резистора R (силой сопротивления
вмеханическом осцилляторе) пренебречь нельзя, то в подобных системах будут происходить
собственные затухающие колебания (рис. 11.3 б, в).
Характер затухающих колебаний меняется с увеличением сопротивления резистора R. Когда сопротивление превысит определённое критическое значение Rк,
колебания в системе не возникают. Происходит монотонный апериодический
разряд конденсатора (рис. 11.3 в). |
Рис. 11.3 |
Прежде, чем перейти к математическому анализу колебательных процессов, сделаем одно важное замечание. При составлении уравнений колебаний мы будем пользоваться правилами Кирхгофа (законами Ома), которые справедливы, строго говоря, для постоянного тока. Но в колебательных системах ток меняется во времени. Однако, и в этом случае можно воспользоваться этими законами для мгновенного значения тока, если скорость изменения тока не слишком высока. Такие токи называются квазистационарными («квази» (лат.) — как будто). Но что значит скорость «слишком» или «не слишком» высока? Если ток изменится на некотором участке цепи, тот импульс этого изменения достигнет самой дальней точки контура спустя время: 
Здесь l — характерный размер контура, а с — скорость света, с которой сигнал распространяется в цепи.
Скорость изменения тока считается не слишком высокой, а ток квазистационарным, если:
где Т — период изменения, тот есть характерное время колебательного процесса.
2. Собственные электрические колебания
Колебания осциллятора бывают собственные и вынужденные. Мы начинаем с рассмотрения собственных электрических колебаний, когда осциллятор, будучи выведен из положения равновесия, далее предоставлен самому себе.
2.1. Собственные незатухающие колебания
Такие колебания возникают в электромагнитном колебательном контуре, если его сопротивление R равно нулю.
Сначала зарядим конденсатор С и замкнём его на катушку индуктивности L. Начнётся разряд конденсатора. Запишем уравнение правила напряжений Кирхгофа:
Здесь |
напряжение на конденсаторе; |
самоиндукции; I
Учитывая последние соотношения, перепишем уравнение Кирхгофа в виде:
11.1
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка — дифференциальное уравнение собственных незатухающих электрических колебаний. Решением этого уравнения является гармоническая функция:
q = Acos( 0t + ). |
(11.2) |
Проверить это утверждение проще всего методом подстановки:
(11.2) и (11.3) подставим в (11.1):
Это уравнение становится тождеством, если
Но 0 — частота колебаний. Следовательно, частота собственных незатухающих
колебаний в электрическом контуре:
Постоянные А и в решении (11.2) определяются из начальных условий
колебательного процесса. Пусть в момент запуска часов (t = 0) q(0) = q0, а ток в цепи отсутствует I(0) = 0. Это означает, что (см. 11.2):
Из последнего выражения заключаем, что = 0, а из предпоследнего, что A = q0.
Окончательно закон изменения заряда конденсатора во времени (11.2) принимает следующий вид: q = q0cos( 0t).
Ток в цепи при этом меняется так:
Колебания тока в цепи и заряда конденсатора происходят с одинаковой частотой0, но колебания силы тока отстают по фазе на .2
В выражении (11.5) I0 = q0 0 — амплитудное значение силы тока.
Графики зависимостей q = q(t) и I = I(t) приведены на рис. 11.4.
2.2. Собственные затухающие колебания
Собственные затухающие колебания происходят в колебательном контуре RLC (рис. 11.5.)
Эти колебания можно описать следующим дифференциальным уравнением (правило напряжений Кирхгофа):
Здесь по-прежнему:
Учитывая эти соотношения, уравнению (11.6) придадим следующий вид:
Здесь = |
— коэффициент затухания; = |
— частота |
собственных незатухающих колебаний. Уравнение (11.7) — дифференциальное уравнение собственных затухающих электрических колебаний.
Если в системе 02 2, то решением этого уравнения является следующая функция:
Уравнение (11.7) — дифференциальное уравнение собственных затухающих электрических
колебаний. |
|
Если в системе |
, то решением этого уравнения является следующая функция: |
Здесь А и — постоянные, которые можно найти, воспользовавшись начальными условиями, а
частота колебаний: |
(11.9) |
Убедиться в том, что функция (11.8) действительно является решением дифференциального уравнения (11.7), каждый может самостоятельно, подставив (11.8) в (11.7).
Важной характеристикой затухающего процесса является логарифмический декремент затухания — логарифм отношения амплитуд двух соседних колебаний (рис. 11.2б):
Логарифмический декремент затухания равен произведению коэффициента затухания на
время одного полного колебания (период) Т.
Процесс затухания колебания до нуля продолжается бесконечное время, поэтому условно принято считать, что процесс затух, если амплитуда колебаний уменьшилась в е раз.
Вычислим, сколько колебаний Ne произойдёт, пока амплитуда уменьшится в е раз?
Отсюда следует, что NeT = Ne d = 1.
Или:
Логарифмический декремент затухания d обратен числу колебаний, по истечению которых амплитуда падает в е раз.
В радиотехнике для энергетической характеристики затухания часто используют величину, которая получила название добротность контура:
Мы рассмотрели затухающие колебания при малом затухании, когда .
Если затухание столь значительно, что 2 , то в этом случае вместо колебательного
процесса происходит апериодический разряд конденсатора, когда величина заряда монотонно убывает. Переход от периодического к апериодическому разряду происходит при критическом сопротивлении Rк, которое можно найти из условий апериодичности:
Величина критического сопротивления зависит только от индуктивности и ёмкости колебательного контура.
3. Вынужденные колебания
Вынужденные колебания возникают в колебательном контуре RLC, когда потери энергии
в нём периодически восполняются за счёт работы источника переменной э.д.с. |
|
||
Мы рассмотрим частный случай, когда напряжение, поддерживающее колебания, |
|
||
меняется по гармоническому закону: |
U = U0cos t. |
|
|
Тогда уравнение Кирхгофа для этого контура можно записать так: |
UR + |
||
UC + UL = U0cos t. |
(11.14) |
|
|
Ниже мы покажем, что в такой цепи будет течь переменный ток: |
I = |
||
I0cos( t – ). |
(11.15) |
|
|
Но прежде чем приступить к анализу этого уравнения, очень кратко рассмотрим особенности течения переменного квазистационарного тока в резисторах, конденсаторах и катушках индуктивности.
3.1.Резистор (R) в цепи переменного тока (рис. 11.7.)
При протекании по цепи переменного тока I = I0cos t, падение напряжения на
резисторе будет меняться по гармоническому закону:
UR = I R = I0Rcos t. 11.15)
Причём колебания тока и напряжения будут происходить синфазно (рис. 11.7.).
3.2. Ёмкость в цепи переменного тока I = I0cos t (рис. 11.8.)
Вычислим напряжение на конденсаторе в цепи переменного тока (рис. 11.8.):
Напряжение на конденсаторе колеблется с той же частотой, что и ток, но по фазе ток в конденсаторе на 2 опережает напряжение.
3.3. Индуктивность в цепи переменного тока (рис. 11.9.)