Универсальное множество (universal set)
«Универсальное множество» U есть совокупность всех
рассматриваемых множеств.
Пример. Имеются два множества:
A = { 3, 7, 11, 15 }
B = { 2, 4, 6, …, 2n, … }
Множество U = { все целые числа } является универсальным множеством для множеств A и B.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
11
Дополнение к множеству (set compliment)
Дополнением к множеству A называется множество элементов,
не принадлежащих A.
Обозначение: A
A
A
Пример. A = { девушки 101 группы } 
U = { все студенты 101 группы }
A = { юноши 101 группы }
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
12
Равные множества (equal sets)
Два множества А и В называются равными, если они состоят из
одних и тех же элементов.
Обозначение: A = B
Пример. A = { тунеядцы } B = { алкоголики }
Если эти множества включают одни и те же элементы, тогда они равны.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
13
1-2.
Операции над множествами
Объединение
Пересечение
Вычитание
23 сентября 2007 г.
Объединение множеств (sum of sets)
Объединением двух множеств А и В называется множество С,
состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному
из данных множеств:
C = A B ={x x A или x B}
Пример.
A = { жители Москвы }
B = { жители Подмосковья }
С = { жители Москвы или Подмосковья }
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
15
Пересечение множеств (intersections of sets)
Пересечением двух множеств А и В называется множество D,
состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих
каждому из данных множеств:
D = A ∩B ={x x A и x B}
Пример.
A = { студенты, участвовавшие в концерте } B = { студенты 104 группы }
D = { студенты 104 группы, участвовавшие в концерте }
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
16
Диаграмма Эйлера
Множества удобно изображать графически. Операции над
множествами имеют графические интерпретации.
А
Объединение множеств А В
Пересечение множеств А∩В
А∩В В
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
17
Задача про пиратов
Все 100 пиратов
E
А
одноглазые
C
одноухие
B
однорукие
D
одноногие
У Кэрролла есть задача:
В ожесточенном бою 70 из 100
пиратов потеряли один глаз, 75 –
одно ухо, 80 – одну руку, 85 – одну ногу. Каково минимальное
число потерявших одновременно
глаз, ухо, руку и ногу?
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
18
Операции над множествами
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операция |
Действие |
Обозначение |
Союз |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Объединение Сложение
Пересечение Умножение
A B |
A + B |
A ∩B |
AB |
или
и
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
19
Свойства операций над множествами
Для введенных операций выполнены следующие свойства:
1. |
Коммутативность: |
A + B = B + A |
|||
|
|
AB = BA |
|||
2. Ассоциативность: |
(AB)C |
A(BC) |
|||
|
|
(A + B) +C = A +(B +C) |
|||
3. |
Дистрибутивность: A(B +C) = AB + AC |
||||
4. |
Особые свойства: |
A + A = A AA = A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
AA |
|
||
Алгебра множеств
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
20