Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Возьмем в качестве первого сигнала тот, который излучается элемен- тарным источником, находящимся в центре диска. Его фазу 2kz возьмем в качестве опорной. Переходя от одного элементарного коль- цевого источника к другому, видим, что его фаза изменяется на 2kdr.

Итак, для первого из элементарных сигналов, который создается цен- тральным фиктивным источником сдвиг фазы волны на пути от М до О и от О до М составляет ψ0 = 2kz = 2(2π/λ)z. Переходя последователь- но от одного кольца к другому, суммируем элементарные сигналы. Понятно, что амплитуда суммарного вектора возрастает при добавле- нии сигналов один к другому до тех пор, пока фаза последнего сигна- ла не будет равна 180° относительно первого. При добавлении сле- дующих сигналов амплитуда суммы начинает уменьшаться. Таким обра- зом, на поверхности диска можно выделить зону (круг, радиус которого обозначим R1), внутри которой находятся фиктивные источники, сигна- лы от которых еще усиливают друг друга. Эта зона называется первой зо- ной Френеля*. Здесь сдвиг фазы волны на пути от М до внешней границы первой зоны Френеля и назад к точке М равен ψ1 = 2k(z + λ/4) = 2kz + π = ψ0 + π. Продвигаясь по диску дальше от его центра, находим фиктивные источники, сигналы от которых тоже уси- ливают друг друга, но ослабляют сигналы от источников в первой зоне Френеля. Эти источники находятся в пределах кольца с радиусами R1 и R2, где радиусу R2 соответствует элементарный источник, сигнал от ко- торого смещен по фазе на 2π относительно сигнала от центрального источника, ψ2 = 2k(z + 2λ/4) = 2kz + 2π = ψ0 + 2π = ψ1 + π. Кольцо с ра-

диусами R1 и R2 образует вторую зону Френеля. За таким же прин-

ципом отделяются третья и все другие зоны Френеля. При этом все не- четные зоны усиливают сигнал от первой зоны, а все четные его ослаб- ляют. Таким образом, количество имеющихся зон Френеля, которые поместились на отражающем диске, влияет на амплитуду отраженного сигнала. Понятно, что увеличение размера отражающего диска не все- гда приводит к росту амплитуды отраженного сигнала, как этого мож- но было ожидать.

Радиус n-ой зоны Френеля можно найти из условия:

* Френель (Fresnel) Огюстен Жан (1788—1827) — французский инженер, физик и математик.

561

Напомним, что приближение Кирхгоффа можно применить, когда радиус диска a >> λ. Если z >> nλ/8, то формула (9.57) приобретает вид

Радиус первой зоны Френеля является важным масштабом в акусти- ке. Для задачи отражения, которую мы сейчас рассматриваем, он ра- вен

Итак, при увеличении расстояния z (точки наблюдения) от ис- точника до отражающего диска радиусы всех френелевских зон воз- растают и в результате их количество на диске уменьшается (понят- но, что Rn ≤ a). Такого рода наблюдения можно использовать для ка- чественного анализа зависимости амплитуды эхо-сигнала от разных геометрических параметров ситуации. Ниже приведем пример такого анализа.

Зафиксируем расстояние z, и будем изменять радиус диска a. На рис. 9.8 приведен результат вычисления амплитуды эхо-сигнала пу- тем численного интегрирования по формуле (9.56). Расстояние и ра- диус диска нормированы на длину волны, а амплитуда — на ее мак- симальное значение. Проанализируем этот результат.

Рис. 9.8. Зависимость нормированной величины амплитуды давления рас- сеянной волны от радиуса диска а/λ на расстоянии:

а — z/λ = 500, б — z/λ = 5

Рассмотрим рис. 9.8, а. При достаточно малых радиусах на по- верхности диска размещается только часть первой зоны Френеля. По- этому при увеличении радиуса добавляются фиктивные источники,

562

которые усиливают эхо-сигнал. Рост амплитуды наблюдается до тех пор, пока на диске не разместится вся первая зона Френеля. При дальнейшем росте радиуса на диске появляется вторая зона Френеля. Фиктивные источники, расположенные на ней, являются противофаз- ными к тем, которые находятся в первой зоне, и ослабляют эхо- сигнал. Ослабление будет самым существенным, когда на диске раз- местятся две зоны Френеля, а потом начнется увеличение амплитуды эхо-сигнала за счет источников из третьей зоны и так далее. Возни- кает вопрос, чем же все закончится, если увеличивать радиус до бес- конечности. Ответ на него получить не так сложно, поскольку поле, отраженное от жесткой бесконечной плоскости, можно вычислить как поле мнимого источника, расположенного за экраном симметрично к реальному источнику, т. е. на расстоянии 2z от точки наблюдения. Действительно, приведенный на рис. 9.8, б график зависимости ам- плитуды эхо-сигнала от радиуса диска, рассчитанный для достаточно малого расстояния, показывает, что амплитуда стремится именно к такому пределу.

Рассмотрим другую ситуацию: зафиксируем радиус диска, и будем удалять источник (и, разумеется, точку наблюдения) от отражающего диска. Сначала на поверхности диска вмещается много зон Френеля, а потом, их количество уменьшается, поскольку их радиусы зависят от дистанции (см. (9.57)). Повторив предыдущие рассуждения, легко по- нять, что амплитуда эхо-сигнала должна осцилировать при измене- нии дистанции. Это подтверждают и результаты расчетов (рис. 9.9).

Рис. 9.9. Зависимость нормированной величины амплитуды давления рас- сеянной волны от расстояния до точки наблюдения z/λ для диска радиусом a/λ = 5

Как видим, кроме осцилляций происходит общее уменьшение ам- плитуды. Оно объясняется тем, что амплитуда каждого фиктивного источника уменьшается с увеличением расстояния до отражающего экрана. С того расстояния, когда размер первой зоны Френеля уже превышает размер диска, осцилляции исчезают, и начинается моно-

563

тонное уменьшение амплитуды по закону, обратно пропорционально- му квадрату дистанции. Тогда говорят, что точка наблюдения уже находится в дальней зоне отражателя.

Вернемся к формуле (9.54). Если отражатель достаточно мал по сравнению с первой зоной Френеля, то все фиктивные источники, расположенные на нем, можно считать синфазными. В таком случае можно допустить такое приближение при вычислении интеграла (9.54): r ≈ z и сos θ ≈ 1. Тогда давление в точке наблюдения M опре- делится приближенным равенством:

Из формулы (9.59) следует, что отраженная волна в этом случае явля- ется сферической волной, поскольку ее амплитуда уменьшается об- ратно расстоянию z на пути от отражателя до точки наблюдения. Принимая во внимание, что на пути от излучателя до отражателя она также уменьшалась обратно к z, в формуле имеем 1/z2. Важно также, что амплитуда отраженного сигнала в этом случае пропорциональна площади отражателя S. Таким образом, по амплитуде можно получить представление о размерах отражателя.

В завершение параграфа заметим, что наши рассуждения относи- тельно роли зон Френеля при анализе отражения сигналов применя- ются в задачах излучения и рассеяния звука на препятствиях и от- верстиях жесткого экрана.

9.9. Функция Грина для полупространства

Вернемся к математическому выражению для принципа Гюйгенса (9.43) (полагаем, что объемные источники отсутствуют, т.е. q(r0) ≡ 0). Напомним, что до сих пор мы не накладывали никаких гра-

ничных условий на функцию Грина G(r,r(0S)) , поскольку она опреде-

лена для свободного пространства. Как следствие, интеграл Кирх- гоффа позволяет вычислить поле в любой точке пространства, если известны давление и его нормальная производная на некоторой по- верхности S . Фактически следует уже иметь решение задачи, поэто- му говорят о (9.42) как о переопределенном уравнении.

Необходимости одновременного задания давления и его нормаль- ной производной можно избежать, если построить функцию Грина для уравнения Гельмгольца таким образом, чтобы она была решением уравнения (9.28), удовлетворяла условию излучения и, кроме этого, удовлетворяла одному из граничных условий на поверхности S:

564

В этом случае соответствующие члены в интеграле (9.42) равны нулю. Это приводит к тому, что если G S = 0 , то на поверхности S следует

Построение функций Грина, которые удовлетворяют граничным условиям 1 или 2 в (9.60), известно только для задач с достаточно про- стой геометрией. Понятно, что функция Грина определяется только поверхностью S и свойствами среды, поэтому можно говорить о функции Грина для свободного пространства, полупространства, сферы, цилиндра и т.п.

Определим функцию Грина для полупространства, как случая наиболее простого, но очень важного. Сначала найдем функцию Гри- на для полупространства с жесткой границей, т.е. когда выполняется условие 1 в (9.60). Совместим жесткую границу S с плоскостью z = 0 (рис. 9.10). Как известно, физический эффект, обусловленный влия- нием идеальной границы на звуковое поле источника, эквивалентен действию некоторого дополнительного источника. Этот источник вы- бирают таким образом, чтобы сумма полей действительного и допол- нительного источников, которые размещены в бесконечном про- странстве, была равна полю действительного источника в исходной области при наличии границы.

Рис. 9.10. Пример определения функции Грина для полупространства

Если в точке r0 помещен точечный источник, то в данном случае дополнительный источник следует расположить в точке r0′ , которая симметрична точке r0 относительно плоскости z = 0 (рис. 9.10). При

этом дополнительный источник должен иметь такую же производи- тельность, что и действительный источник, и работать с ним синфаз-

565

но. Очевидно, что в такой ситуации нормальная составляющая ско- рости на плоскости z = 0 равна нулю, т.е. условие 1 в (9.60) выполня- ется.

Поскольку функция Грина для свободного пространства определя- ется формулой (9.29), функция Грина для полупространства с жест- кой границей будет иметь вид

Если точечный источник r0 устремить на поверхность S (рис. 9.10), то будем иметь r0 S = r0′ S = r0(S ) , и функцию Грина можно записать в ви- де

Очевидно, функция Грина для полупространства с акустически мягкой границей S запишется так:

т.е. имеем симметричную относительно границы S противофазную пару точечных источников. Понятно, что в таком случае давление на границе S равно нулю, т.е. выполняется условие 2 в (9.60).

Рис. 9.11. Пример определения интеграла Рэлея

Применим формулу (9.61) для нахождения решения важной зада- чи: определение поля излучения диска, который колеблется в акусти- чески жестком экране. Поверхность экрана совпадает с плоскостью

хОу (рис. 9.11).

566

Окружим область существования звукового поля поверхностью, которая состоит из плоскости z = 0 и бесконечной полусферы Σ (рис. 9.11). Точка наблюдения r находится внутри этой области. Пусть ко-

Давление в области существования звукового поля согласно (9.42) и (9.62) определяется соотношением

нормали n к поверхности S так, чтобы оно совпадало с направлением оси Oz, то (9.66) примет вид

Формула (9.66) имеет простой физический смысл и выражает в мате- матической форме принцип Гюйгенса для плоских источников, кото- рые размещены в плоском жестком бесконечном экране. Ее суть со- стоит в том, что такое поле представляет собой суперпозицию полей точечных источников, расположенных на поверхности диска и излу- чающих в полупространство. Выражение (9.66) (или (9.67)) называют

интегралом Рэлея.

В случае двумерной области при получении выражения для инте- грала Рэлея нужно использовать функцию Грина свободного про- странства (9.31) для линейного источника. Тогда функция Грина для полупространства с жесткой границей (см. рис. 9.10) имеет вид

567

G (r,r0 ) = 4i H0(1) (k r − r0 )+ 4i H0(1) (k r − r0′ ).

Повторяя рассуждения, приведенные выше при выводе формулы (9.67), получаем подобное выражение для двумерного пространства (сделайте самостоятельно):

Обозначим координаты векторов, которые определяют точку наблю- дения в пространстве и на плоскости z = 0, r = (x,z ) и r0(S ) = (x0,0),

соответственно (напомним, что в случае двумерной области, когда го- ворят о плоской задаче, поле не зависит от координаты y , рис. 9.10).

Тогда r − r0(S ) = (x − x0 )2 + z2 , и формулу (9.68) перепишем в виде

9.10. Излучение звука диском в акустически жестком экране

Излучатель в виде диска является очень важной моделью для реальных излучателей звука. Эта модель позволяет изучить неко- торые основные закономерности работы реальных излучателей (элек- тродинамический громкоговоритель, пьезо- и магнитострикционные преобразователи). Понятно, что звуковое поле будет зависеть от усло- вий, в которых колеблется диск. Простейшей является ситуация, рас- смотренная в разделе 5 — это колебание диска в бесконечной трубе с жесткими стенками, в которой диск создает плоскую волну. Задачи колебания диска в свободном пространстве, в бесконечном экране, экране конечных размеров, в некотором замкнутом или незамкнутом объеме являются интересными и важными для акустика. Этот пере- чень определяет довольно сложные в теоретическом плане задачи, но одну из них мы рассмотрим. Речь идет о колебании диска в жестком бесконечном экране. Наличие бесконечного экрана исключает взаи- модействие волн, которые создаются диском в обоих полупростран- ствах. Это действительно упрощает задачу и дает возможность опре- делить поле диска без влияния этого взаимодействия. При отсутствии экрана или наличия экрана конечных размеров должно существовать взаимодействие, о характере которого на качественном уровне речь шла в конце параграфа 7.8 (к рассмотрению этих более сложных за- дач излучения мы вернемся в десятом разделе).

568

9.10.1. Поле на оси излучателя

Итак, пусть круглый плоский диск радиуса а колеблется по гармоническому закону с частотой ω в жестком бесконечном экране (рис. 9.12). Поместим в центре диска начало цилиндрической (R,ψ,z) системы координат. Рассмотрим сначала упрощенную ситуацию, а именно: определим поле на оси излучателя (ось Oz).

В соответствии с изложенным в предыдущем параграфе давление в любой точке пространства определяется интегралом Рэлея (9.67). Пусть амплитуда колебательной скорости на поверхности диска S

имеет одинаковые значения υ0, т.е. υ0 (r0(S ) )≡ υ0 . Вследствие сим-

метрии задачи, ведь точка наблюдения расположена на оси Oz, эле- ментарным излучателем поверхности диска следует считать кольцо

радиусом R = r0(S ) и шириной dR, тогда площадь кольца равна

dS = 2πRdR. На рис. 9.12 видно, что расстояние rM между точками этого кольца и точкой наблюдения M, которая фигурирует в интеграле

Рис. 9.12. Пример расчета поля на оси круглого диска

вдоль оси Oz. С учетом этих замечаний интеграл (9.67) будет иметь вид

Проводя замену R2 + z2 = ξ2 и принимая во внимание равенство k = ω/c, получаем

569