1.4. Смешанное произведение векторов
Смешанным
произведением трех векторов
(обозначение:
)
называется число, вычисляемое как
,
т.е.
|
|
(23) |
Свойства смешанного произведения:
1)
2)
3) если
,
то три вектора в указанном порядке
образуют правую тройку, если
,
то – левую тройку, а если
,
то векторы компланарны, т.е. смешанное
произведение ненулевых векторов
показывает их взаимное расположение в
пространстве.
Если векторы
,
и
представлены
в координатах, т.е.
,
,
то
вычисляется по формуле
|
|
(24) |
Тогда условие компланарности векторов , и принимает вид
|
|
(25) |
Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , образующих правую (левую) тройку, равен смешанному произведению этих векторов (смешанному произведению этих векторов, взятому с противоположным знаком). В общем случае
|
|
(26) |
Пример 8. Компланарны ли векторы:
,
,
?
Решение. Найдем смешанное произведение (24), (вычисление определителя третьего порядка см. в [4]),
.
Следовательно, векторы компланарны. |
◄ |
Пример 9. Даны
вершины пирамиды:
.
Найти объем пирамиды.
Решение. Рассмотрим
векторы
и найдем их координаты:
Объем пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на векторах . Вычислим смешанное произведение векторов (24)
Определитель легко вычислить в программе EXCEL [4], используя функцию МОПР (рис. 8).
Рис. 8
Получаем объем пирамиды
|
|
◄ |
2. Элементы аналитической геометрии
2.1. Плоскость в пространстве
Пусть заданы ненулевой вектор
и точка
.
Через заданную точку перпендикулярно
заданному вектору можно провести
плоскость и только одну.
Из определения перпендикуляра
к плоскости следует, что он перпендикулярен
любой прямой, лежащей в плоскости.
Следовательно, вектор
перпендикулярен прямой, проходящей
через точку
и
любую точку
,
лежащую в плоскости (рис. 9).
|
Рис. 9
Введем вектор
.
Тогда верно условие перпендикулярности
двух векторов (19)
и
для
любой точки
:
|
|
(27) |
Полученное уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.
Это уравнение, раскрывая скобки, можно привести к виду
|
|
(28) |
где
.
Число
зависит от вектора
и точки
.
Уравнение (28) называется общим
уравнением плоскости.
Вектор
называется нормалью
к плоскости.
Пусть заданы три точки, не
лежащие на одной
прямой:
,
и
.
Через такие три точки
можно провести плоскость и только одну.
Для любой точки
,
лежащей в плоскости, три вектора:
– компланарны, причем векторы
и
неколлинеарны.
Используя формулу (25), получим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:
|
|
(29) |
Пусть заданы два неколлинеарных
вектора
и точка
.
Через заданную точку параллельно этим
векторам можно провести плоскость и
только одну. Для любой точки
,
лежащей в плоскости, три вектора:
и
– компланарны.
Используя формулу (25), получим уравнение плоскости, параллельной двум заданным векторам и проходящей через заданную точку:
|
|
(30) |
Заметим, что вектором нормали
к плоскости является векторное
произведение
.
Пример 10. Плоскость
проходит через точку
и имеет вектор нормали
.
Написать уравнение плоскости
.
Решение. Так как известен вектор нормали и точка, принадлежащая плоскости, то по формуле (27) получаем
.
Раскроем скобки, тогда
|
|
◄ |
Пример 11. Найти
уравнение плоскости, если проекцией
точки
на искомую плоскость является точка
.
Решение. Так
проекция точки на плоскость есть
основание перпендикуляра, опущенного
из этой точки на плоскость, то за вектор
нормали можно принять вектор
,
и решение задачи сводится к предыдущей.
Рекомендуем студентам проделать
вычисления самостоятельно.
Ответ:
|
◄ |
.
Пример 12.
Найти уравнение
плоскости, проходящей через точки
,
и
.
Решение. Используем формулу (29), тогда
Вынесем множитель 3 из третьей строки и сократим на него. После этого разложим определитель по элементам первой строки [4]:
;
;
|
|
◄ |
Пример 13. Даны две плоскости
,
и точка
.
Написать уравнение плоскости,
перпендикулярной двум заданным и
проходящей через заданную точку.
Решение. Если
плоскости перпендикулярны, то и их
нормали перпендикулярны. Следовательно,
нормали к плоскостям
и
параллельны искомой
плоскости. Нормали к
и
соответственно:
.
Тогда по формуле (30) получаем
|
|
◄ |
Пример 14. Найти
расстояние от точки
до
плоскости
.
.
от точки
до плоскости равно
длине перпендикуляра,
опущенного из этой точки на плоскость
(рис. 10).
|
Рис. 10
Длина указанного перпендикуляра
равна величине проекции вектора
,
где
– любая точка плоскости, на вектор
нормали к плоскости. Возьмем на плоскости
точку
.
Тогда вектор
.
Вектор нормали к плоскости
.
Используя формулу (18), получаем
|
|
◄ |
В общем виде формулу для
расстояния от плоскости
до точки
можно написать в двух вариантах. Первый
вариант:
где
– координаты любой точки, лежащей на
плоскости. Так как для
этой точки
,
то
,
и получаем другой вариант формулы
|
|
(31) |
