108

разом, что вектор повернется на угол от +π до +π 2 , т.е. на угол (−π 2) (рис. 53, б).

Рис. 53. Анализ сомножителей характеристического вектора

рис. 53, в). Тогда вектор, соответствующий данному произведению повернется на угол Ψ1 + Ψ2 = 2 π 2 .

4.Аналогично, если p1,2 = +α ±iβ , то Ψ1 + Ψ2 = −2 π 2 .

Таким образом, если характеристическое уравнение из n корней будет иметь l корней с положительной вещественной частью, то каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов

поворота, равная (−l π 2) , всем же остальным n −l корням

характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов

поворота, равная (n −l) π 2 . Общий угол поворота вектора D(iω) при изменении ω от 0 до ∞

Ψ = (n −l) π 2 − l π 2 = n π 2 − l π .

109

Вобщем случае i-й сомножитель ( p − pi ) выражения (45)

ввекторной форме можно представить в комплексной плос-

Рис. 54. Представление i-го сомножителя характеристического вектора р(iω)

Каждый сомножитель ( p − pi ) = iω − pi = ρi ei Ψi , где ρi - модуль вектора АД ;

Ψi - фазовый угол вектора АД (его аргумент). Тогда уравнение (41) можно представить как

каждого из векторов изменится от (−π 2) до (π 2).

К р и т е р и й М и х а й л о в а читается так:

для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора D(iω) в комплексной плоскости, полу-

ченный в результате подстановки p = iω в характеристическое уравнение, при изменении 0 <ω < ∞, нигде не обраща-

уравнения).

Пример: CАР описана дифференциальным уравнением

110

движения

Оценить устойчивость САР по критерию Михайлова. Решение:

1. Запишем уравнение в операторной форме: (0.001 p3 +0.02 p2 +0.4 p +0.5) y = kx.

2.Приравняв собственный оператор нулю D( p) = 0, получим характеристическое уравнение

0.001 p3 +0.02 p2 +0.4 p +0.5 = 0 .

3.Делаем подстановку p = iω

(−0.001 iω3 ) −0.02 ω2 +0.4 iω +0.5 = 0

и выделяем вещественную и мнимую части (Re и Im):

5.Строим годограф вектора на комплексной плоскости

(рис. 55).

6.При ω → 0 lim Im = −∞, т.е. годограф вектора последовательно и не обращаясь в нуль повернется против часовой