ВОЕНЫ АЛЛАХА1АЗАЗАЗАЗ / 0_Введение_сент_9_2008

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

Введение

1. Безусловный минимум функции конечного числа переменных

точкой безусловного глобального минимума

тическому анализу глобальный минимум также называют абсолютным минимумом.

4

Методы оптимизации: Часть I

Наряду с понятием минимума также существует понятие максимума. Задача максимизации функции f легко сводится к задаче минимизации:

max f x min f x . Понятия «минимум» и

«максимум» объединяются термином «экстре-

мум».

Локальный минимум также называют отно-

частных производных функции f ) будем обозна-

x . Тогда для того, чтобы точка x была ло-

5

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

Условие (2) можно записать покоординатно

Точки локального минимума содержатся среди стационарных точек функции. Однако не всякая стационарная точка является точкой минимума. В частности, точки локального максимума и так называемые седловые точки также являются стационарными. Среди стационарных точек могут быть и точки, не являющиеся точками экстремума.

6

Методы оптимизации: Часть I

Аналогично определяются понятия неполо-

жительно и отрицательно определенных мат-

риц.

Теорема 2. (Необходимое условие безусловного минимума второго порядка) Пусть функция

f определена на E n и дважды дифференцируема в

точке x . Тогда для того, чтобы точка x была локальным безусловным минимумом функции f на

7

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

Эта теорема позволяет отсеять те из стацио-

Теорема 3. (Достаточное условие безусловного минимума второго порядка) Пусть функция

При помощи этого условия можно из стационарных точек, прошедших через «сито» предыдущей теоремы, отобрать точки локального минимума. Оставшиеся точки, а также особые точки функции, которые вместе со стационарными точками объединяются термином «критические» точки, требуют дополнительного исследования. При этом может потребоваться использование производных более высокого порядка.

8

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

Для анализа и решения этой задачи существенно то, как задано множество D . В частности, далее рассмотрим два варианта:

1)допустимая область задана при помощи системы уравнений;

2)допустимая область задана при помощи системы неравенств.

2.2. Правило множителей Лагранжа

Рассмотрим так называемую классическую задачу на условный минимум или задачу с ограничениями в виде уравнений.

Методы оптимизации: Часть I

Таким образом, множество D представляет собой

где y y1, ..., ym . Эта функция n m переменных

Теорема 1. (Правило множителей Лагран-

Согласно определению функции Лагранжа условие (1) можно записать как систему равенств

11

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

Как использовать эту теорему для отыскания условных экстремумов? Составим систему

найти все условно стационарные точки. Среди них содержатся все точки условного локального минимума.

Теорема 2. (Необходимое условие условного минимума второго порядка) Пусть выполнены

того, чтобы x была локальным условным минимумом, необходимо, чтобы матрица f x была неотрицательно определена на подпространстве

12

Методы оптимизации: Часть I

Так как это условие является только необходимым, оно позволяет отсеять те из условно стационарных точек, которые не могут быть точками условного минимума.

Теорема 3. (Достаточное условие условного минимума второго порядка) Пусть выполнены все предположения теоремы 2. Тогда для того,

При помощи теорем 2 и 3 можно из условно стационарных точек отобрать точки условного локального минимума. Те же условно стационарные точки, которые не удовлетворяют этим теоремам, требуют дальнейшего исследования.

2.3. Задача нелинейного программирова-

ния

Рассмотрим теперь задачу на условный минимум с ограничениями в виде неравенств. Поло-

ограничения системы неравенств выписывают отдельно. Например, такими ограничениями могут быть ограничения на знак переменных. В этом

13