Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ВОЕНЫ АЛЛАХА1АЗАЗАЗАЗ / 12_Линейное_программирование_сент_9_2008

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

332.61 Кб

Скачать

☆

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

12. Линейное программирование

Определение 1. Задачей линейного програм-

мирования называется задача выпуклого программирования, у которой все функции f , f1, ..., fm

являются линейными.

Таким образом, задача линейного программирования является задачей нахождения условного экстремума линейной функции на выпуклом многогранном множестве, образованном системой линейных неравенств. Целью данного параграфа является изучение тех свойств задачи линейного программирования, которые присущи только этому классу задач и, вообще говоря, не имеют места для задач выпуклого программирования.

В предыдущих разделах пособия мы изучали задачи минимизации. Задача линейного программирования чаще формулируется как задача максимизации. Это объясняется тем, что ее истоки связаны с экономическими приложениями, например, с проблемой планирования производства с целью максимизации дохода.

Итак, общая форма записи задачи линейного программирования имеет вид:

max c j x j

j 1

при условиях

						Методы оптимизации: Часть I

n					b ,	i 1,...,k,
	a x			j	b ,	i 1,...,k,
ij				j	i
j 1
n			b ,			i k 1,...,m,
a x		j	b ,			i k 1,...,m,
ij		j			i

j 1

xj 0, j 1,..., s, (s n).

Введем следующие обозначения:		c c1, ..., cn ;
b b1, ..., bm ;	A aij – матрица	размерности
m n ; ai ai 1, ..., ai n – вектор-строка		матрицы A ,

			a1 j	T
i 1, ..., m ;		Aj	a1 j	,..., am j	– вектор-столбец мат-
рицы	A ,	j 1, ..., n .

В дальнейшем будем использовать следующие две формы записи задачи линейного программирования.

Каноническая форма:

max c, x

при условиях

Ax b, x 0.

Симметричная форма:

max c, x

при условиях

Ax b, x 0.

Задача линейного программирования легко переводится из одной формы записи в другую

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

при помощи простых формальных преобразований.

Легко увидеть, что задача линейного программирования имеет решение, если допустимая область D , определяемая системой ограничений,

непуста и целевая функция

c, x

ограничена

сверху на D . Если же либо множество D либо функция c, x неограниченна сверху

пусто,

на

D ,

то задача линейного программирования не имеет решения.

Все свойства задачи выпуклого программирования, естественно, имеют место и для задачи линейного программирования.

Укажем теперь основное свойство задачи линейного программирования, которое отличает ее от задачи выпуклого программирования.

Теорема 1. Пусть задача линейного программирования в симметричной форме имеет решение. Тогда существует вершина множества

D , которая является	решением задачи.
Доказательство.	Пусть вектор	x	– решение

задачи. Очевидно, что ранг системы ограничений

задачи равен		n , тогда по теореме 9.6			D M K .
Поэтому существуют векторы z M				и	h K	та-

кие, что		z h .	Отсюда
	x
		c, x	c, z c, h .			(2)

Методы оптимизации: Часть I


Как		следует из	теоремы 9.7,		h K x	. В

то же время, так как			x	– условный максимум,

вектор	h	не является	направлением		возрастания

функции

в точке

x

. Тогда согласно заме-

чанию к теореме 5.2

Следовательно, из (2) получаем неравенство

x			c, z	. Так как	x		– точка максимума, это

неравенство может выполниться лишь как равенство

c, x			c, z .	(3)

Так как		z M
		q
9.6), то	z ti vi ,
		i 1

, а

t
i

M convV 0, i 1, ..., q,

(см. теорему

ti 1, где i 1

векторы

vi , i

многогранного

1, ..., q

– все

множества

вершины выпуклого D . Тогда из (3)

c, x

q	i
i	i
t	c,v
i 1

(4)

Пусть	номер	k 1, ..., q
Пусть	номер
таков,	что	c, vk	max
			1 i q

вершины множества

c,vi . Тогда из равен-

ства (4), учитывая имеем

неотрицательность всеx

соотношения

	q	q
c, x	ti c,vk	c,vk ti	c,vk . Следователь-
	i 1	i 1

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

но,	так	как	вектор	x	– точка

c, x		c,vk .	Что и	требовалось.

максимума,

Соседние файлы в папке ВОЕНЫ АЛЛАХА1АЗАЗАЗАЗ

#
10.02.2015493.99 Кб410_Введение_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015394.07 Кб2910_Конусы_опорных_векторов_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015399.08 Кб3011_Выпуклое_программирование_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015332.61 Кб5112_Линейное_программирование_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015349.68 Кб2713_Теория_двойственности_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015347.19 Кб331_Выпуклые_множества_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015310.16 Кб302_Выпуклые_конусы_9_2008.pdf
#
10.02.2015360.76 Кб303_Выпуклые функции_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015336.39 Кб344_Критерии_выпуклости_ДФ_сент_9_2008.pdf