Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ВОЕНЫ АЛЛАХА1АЗАЗАЗАЗ / 11_Выпуклое_программирование_сент_9_2008

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

399.08 Кб

Скачать

☆

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

11. Выпуклое программирование

Определение 1. Задачей выпуклого програм-

мирования называется задача нелинейного про-

граммирования, где все функции	f ,	f1, ...,	fm	яв-
ляются выпуклыми.

Таким образом, задача выпуклого программирования является задачей условной минимизации, где целевая функция выпукла и допустимая область представляет собой выпуклое множество, образованное системой выпуклых неравенств. Поэтому утверждения, полученные ранее в параграфе 6, справедливы для задачи выпуклого программирования. В данном параграфе мы конкретизируем эти общие результаты и приведем их в форму более удобную для исследования и решения следующей задачи выпуклого программирования:

				min f x		(1)
		fi x 0,			i 1, ..., m ,	(2)
			xj	0,	j 1, ..., n .	(3)
		Нам понадобятся некоторые вспомогатель-
ные		построения	в	пространстве E m 1		векторов
		u1, ..., um , um 1	.	Вектор из первых		m компо-
	u	u1, ..., um , um 1	.	Вектор из первых		m компо-

Методы оптимизации: Часть I

нент u

точки

, um 1 .

будем обозначать через

. Итак,

где

	Для

	u :
F

задачи (1) – (3) определим множество

u E	m 1	;	u F x ; um 1	f x ;	x 0 ,
	m 1
f1, ...,	fm .

Лемма. Для задачи выпуклого программиро-

вания (1) – (3) множество

выпукло.

Доказательство. Выберем

векторы

u, v

из множества

произвольные

число	t 0,1
		.

Тогда существуют			точки
что	u F x , um 1		f x

Умножим эти неравенства

на

q из E n

F q , v
	m 1
и	1 t

такие, f q .

соот-

ветственно, и сложим их. В силу выпуклости

всех	функций	получаем
t u 1 t v t F x 1 t F q F t x 1 t q ,
t u	1 t v	t f x 1 t f q f t x		1 t q .
m 1	m 1
	Из полученных неравенств и вытекает вы-
пуклость множества			A .
	Теорема 1. (Теорема Куна-Таккера			в форме

о седловой точке функции Лагранжа задачи выпуклого программирования) Пусть в задаче выпуклого программирования (1) – (3) система (2) удовлетворяет условию Слейтера относительно

E n . Тогда для того, чтобы неотрицательный

вектор x был решением задачи (1) – (3), необходимо и достаточно, чтобы существовал неотри-

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

цательный вектор	y	такой, что		, y	– сед-
			x
ловая точка функции Лагранжа.
Доказательство.		Поскольку	достаточность

этого условия уже доказана для произвольной задачи нелинейного программирования (см. теорему 2.6 введения), осталось доказать только необходимость.

Необходимость.	Пусть		x		– решение задачи

(1) – (3). Положим w 0, ..., 0,				f		E	m 1	. Очевид-

но, что w A , так как						f	и		0 .
	x 0 ,	f x						F x
Убедимся, что	w int A.			Предположим						про-
тивное. Это означает, что		найдется					точка			x 0
такая, что F x 0, f x f			. Следовательно,							x –

такая допустимая точка, значение целевой функ-

ции в которой	меньше	минимального. Получаем
противоречие с	тем, что	x	– решение задачи вы-

пуклого программирования.

Итак,		int A. Согласно лемме множество	A
	w

выпукло. Следовательно, выполняются все требования теоремы 8.2. Поэтому существует ненулевой

вектор

множеству

g,	g		E
			m 1
		m 1
A :

опорный в точке

ко

g, u w	0,	u A	(4)
		.	(4)

Убедимся далее, что все координаты вектора g неположительны. Предположим противное.

Пусть существует координата g j 0 . Зафиксиру-

Методы оптимизации: Часть I

ем у вектора

все компоненты, кроме

-ой.

Тогда, учитывая, что произведение

g	u	j
j		j

может

принимать сколь угодно большие значения лу неограниченности сверху координаты u

(в си-

), по-

лучаем противоречие с неравенством (4).

Легко увидеть, что при любом

x 0 векторы

включаются

во

множество

A .

Тогда

из

(4)

имеем:

F x

gm 1

x 0 .

(5)

Покажем,

что

gm 1 0 .

Пусть

это не

так.

Тогда

gm 1

. Следовательно,

g, F x 0,

x 0.

По условию

Слейтера

существует

вектор

z 0

такой,

что

F z 0 .

Поэтому

g, F z

0 .

Полу-

ченное

противоречие

означает,

что

gm 1 0 .

Обозначим

g .

Покажем, что

по-

m 1

строенный

вектор

представляет

собой

иско-

мый

вектор

множителей

Лагранжа.

Очевидно,

что

из (5)

получаем

f x

Отсюда при

y ,

F x		f		,

следует

F x 0 .

(6)

(7)

С	другой	стороны, так как F x 0 (по-
скольку	x D)	и y 0 , получаем неравенство
		61

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

y	,	F x

точке			x	,	y

нежесткости:

Из (6) и (8)

f x				,
			y

0	. Отсюда и из (7) следует, что в
выполняется					условие			дополняющей
			,		0 .			(8)
		y		F x
	имеем
F x				f x		y	, F x , x 0 ,

или,

что

то

же

самое,

L x,

x 0.

L x ,

Далее, пусть

y 0 . Тогда

y, F x

сюда

из

(8)

получаем

неравенство

(9)

. От-

f x			y, F x				f x				, F
										y

Итак,

	,	y		,	y		,	y 0 .
L x			L x

Неравенства (9), (10) и означают, что

x		.

x		, y

(10)

		–

седловая точка функции Лагранжа задачи выпук-

лого программирования. Что и требовалось.

Прежде, чем познакомиться с еще одним вариантом теоремы Куна-Таккера, приведем следующую теорему, которая представляет собой критерий условного минимума в терминах конусов опорных векторов.

Методы оптимизации: Часть I


Теорема 2.		Пусть		f – выпуклая и					диффе-
ренцируемая	на	E n функция,				множество			D вы-
пукло. Тогда	для	того,	чтобы точка
								x D была
условным минимумом функции						f	на	множестве
D , необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лось включение		f x T x .
									(11)
Доказательство следует					непосредственно из
теоремы 6.5	и	определения				конуса		T x опор-
ных векторов в точке			x	ко множеству D .
Теорема 3.		(Теорема		Куна-Таккера					в диф-

ференциальной форме для задачи выпуклого программирования) Пусть дана задача выпуклого программирования в виде (1), (2), где все функции

f ,	f1, ...,	fm	непрерывно	дифференцируемы,	систе-
ма	(2)	удовлетворяет		условию Слейтера.	Тогда

для того, чтобы вектор задачи (1), (2), необходимо

x
x
и

D был решением достаточно, чтобы

существовал неотрицательный вектор

y

такой,

что выполняются условия

f x

		y

	m
	i
	y	f
	y	f
	i 1
, F x


i		x
i



0		.

(12)

(13)

		Доказательство. Покажем, что условия (12)
и	(13) эквивалентны включению (11). Пусть точ-
ка		x D такова, что I x . Тогда	f x 0
и		y 0.
			63

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

Пусть теперь

I x

. Тогда из теорем 2

и 10.5 следует, что необходимым и достаточным условием экстремума является существование та-

ких множителей

y

i

i I

x

для которых



x

x




	fi x	. Положим		0	для всех
yi	fi x	. Положим	yi	0	для всех
i I x

иполучим из последнего равенства

условия (12)	и (13). Что и требовалось.
В заключение параграфа приведем формули-
ровки двух	теорем Куна-Таккера для задачи вы-

пуклого программирования с линейными ограничениями.

Теорема 4. Пусть в задаче выпуклого про-

граммирования (1) – (3)			система ограничений			(2)
имеет	вид	Ax b , где	A – матрица	размерности
m n ,	b – вектор размерности m . Тогда				для	то-
го, чтобы		неотрицательный вектор		x	был	ре-

шением задачи, необходимо и достаточно, чтобы


существовал неотрицательный				вектор	y	такой,

	, y	– седловая точка		функции	Лагранжа
что x
данной	задачи.
Отметим, что в этом случае функция Ла-
гранжа	имеет вид		L x, y f x y, Ax b .

Теорема 5. Пусть в задаче выпуклого программирования (1), (2) целевая функция f непре-

рывно дифференцируема, система ограничений (2)

Методы оптимизации: Часть I

имеет вид

где A – матрица размерности

, b – вектор размерности

. Тогда для того,

чтобы вектор необходимо и

	D	был
x

достаточно,

решением задачи, чтобы существовал

неотрицательный

ются условия	f


вектор			y
вектор			y
		A
x	y	A

такой, что выполня-

0	,		,	Ax		b	0 .
		y

Заметим, что в теоремах 4 и 5 не требуется выполнения условия Слейтера, поэтому они не являются частными случаями теорем 1 и 3 и требуют самостоятельного доказательства.

Соседние файлы в папке ВОЕНЫ АЛЛАХА1АЗАЗАЗАЗ

#
10.02.2015493.99 Кб400_Введение_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015394.07 Кб2810_Конусы_опорных_векторов_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015399.08 Кб2911_Выпуклое_программирование_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015332.61 Кб5012_Линейное_программирование_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015349.68 Кб2613_Теория_двойственности_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015347.19 Кб321_Выпуклые_множества_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015310.16 Кб292_Выпуклые_конусы_9_2008.pdf
#
10.02.2015360.76 Кб293_Выпуклые функции_сент_9_2008.pdf