Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дополнительные главы математики.-2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Уравнение теплопроводности (диффузии).

Теперь рассмотрим другой процесс. Пусть задан узкий стержень, и

температура в каждой его точке. Либо плотность газа внутри узкой трубки. Как она будет меняться с течением времени? В области высоких температур (или плотности газа), будет происходить их снижение, переток энергии в соседние области. Но в этом случае

именно скорость (а не ускорение по	t )	пропорциональна кривизне
графика, т.е. второй производной	по	x . Чем больше разность

плотностей, тем больше скорость перераспределения частиц.

Уравнение примет вид

u				2	u
	a	2				f (x,t)

t			x		2

, или в других

обозначениях,

u a	2	u	f
	2
t		xx

. Здесь не 2-я, а 1-я производная по

Решение

волнового

уравнения

теплопроводности методом Фурье разделения переменных.

Пусть

u(x, t)

имеет вид

X (x)T (t) ,

произведением двух различных функций от									x и от
	a	2		X (x)T		2	X
utt	a		uxx примет вид:	X (x)T	(t) a		X	(x)T (t) .

то есть	является
t . Тогда	уравнение

Тогда

1		T (t)
a	2	T (t)

X (x) X (x)

Но дву функции, одна от

, другая от

могут быть равны лишь в том случае, когда они обе равны одной и той же константе, иначе противоречие. Обе должны обладать

свойством:	отношение 2-й	производной к самой	функции	равно
константе.	Кстати, такие	функции существуют,	например,	e	kx	,

sin( kx)

Итак,

cos(kx) .

1		T (t)	X (x)
a	2	T (t)	X (x)

. Уравнение распадается на 2 различных

уравнения:

X (x)

Решим первое из них.


1		T (t)
a	2	T (t)

X (x)
X (x)

X (x) X (x)

, это линейное

однородное уравнение, его характеристическое уравнение Возможны 3 случая: 0 , 0 , 0.

r	2

Рассмотрим

0 . Тогда характеристическое

корни

ФСР

, e

общее решение

X (x) C1e

C2e

Но

теперь применим граничные условия: если концы струны закреплены,

то X (0) X (l) 0 . В этом случае, получается:

X (0) C	C	2
1		2

X (l) C e	l	C	e	l	0
X (l) C e		C	e		0
1		2

Тогда система уравнений на C1

,C2

e l

C e

C1 e

Из 1-го,

, тогда C1e

C1e

но так как выражение в скобках не равно 0 (экспонента в двух разных

точках принимает разные значения), то C1 0 , а значит и C2	0 .
Итак, при 0 возможно только тривиальное решение.

Рассмотрим случай

. Тогда

(x) 0

, общее решение

X (x) C1 C2 x . Применим

Получим систему уравнений:

граничные

		C	0
		1
		C		l
C		C		l
	1		2

условия

, откуда

X (0)

C	0
1

X (l)

C	2
	2

0 0 .

Рассмотрим третий случай: 0.

подчеркнув, что она отрицательна.

уравнение r 2 2 0, корни

Сразу обозначим			2	,

Тогда	характеристическое
i ,	общее	решение

дифференциального уравнения:

X (x)

C cos( x) C	2
1

sin( x)

Применим граничные условия X (0) X (l) 0 .

sin( l) 0

C cos( l) C

0 ,

C2 sin( l) 0 . При этом

sin( l) 0

l k

Тогда вид функции:

X (x) C2 sin

x .

Теперь решим уравнение по t , а именно

T (t)

Но при этом

T (t)

мы уже знаем, что

, где .

T (t)

T (t) 2 a 2T (t) 0

характристическое

T (t)

уравнение

r	2	2	a	2	0

i a

, общее решение

T (t)

C	3	cos(at) C	4

sin(

at)

а учитывая тот факт, что

		k
		l
		l

получаем

T (t)

C		ka			C
	3	cos		t		4
			l

ka
sin
	l

Тогда окончательный

	k			ka
вид решения:	u(x, t) C2 sin		x C3 cos		t
		l		l
		l		l


В	каждой точке		x (0, l)	происходят
сечение	по t	синусоида или косинусоида,
График функции		u(x, t) представлен на чертеже:

ka
C4 sin		t .
	l

колебания, то есть или их комбинация.

Теперь решим уравнение теплопроводности (диффузии) этим

же методом. Пусть

u(x, t)

(x)T (t)

. Тогда уравнение

u				2	u
	a	2

t			x		2

примет вид

X (x)T (t) a	2	X (x)T (t)
	2

1		T (t)
a	2	T (t)

X (x) X (x)

. При

этом относительно

получается точно такое же уравнение, которое

недавно решали. Мы уже знаем, что 2 , причём lk ,

k
X (x) C sin
	l

А вот в решении уравнения относительно

будут существенные отличия, ведь оно не 2-го, а 1-го порядка.

1 T (t) 2 a2 T (t)

T (t) 2 a 2T (t) 0 , его характеристическое

уравнение r 2a2 , общее решение Т (t) Сe 2a2t . Таким образом,

окончательный вид функции u(x, t) :

k				a	t
u(x, t) С sin		x e	2	2
u(x, t) С sin		x e
	l

В каждом сечении по оси

, убывающая экспонента.

О приближённых методах решения дифференциальных

уравнений в частных производных.

Чтобы находить приближённые решения с помощью компьютера, необходимо научиться сначала задавать 1-ю и 2-ю

производные.

Пусть дан массив значений u(xi ,0)	с шагом h , где h	l	.
		n

Информацию о первой производной по

x можно получить, вычислив

значение:

u(x	,0) u(x ,0)
i 1	i
	h

. Информация о 2-й производной по

может быть получена с помощью значения такого выражения:

u(xi 1 ,0) u(xi ,0)		u(xi ,0) u(xi 1 ,0)		u(xi 1 ,0) 2u(xi ,0) u(xi 1
h		h	=		,0)	.
h		h			,0)
	h			h2
	h			h2

При решении уравнения теплопроводности, можно

следующего слоя (при следующем

t ) получить с помощью

		u(x	i 1	,0) 2u(x		,0)
предыдущего слоя, прибавляя величину			i 1		i
предыдущего слоя, прибавляя величину				h	2
					2

умноженную на	t . Однако численные методы выходят
нашего курса.

значения

значений

u(x	i 1	,0)	,
	i 1

за рамки

ЛЕКЦИЯ 7. 07.05.2019

Приведение дифференциального уравнения к каноническому

виду.

Дифференциальное уравнение в частных производных, содержащее функцию от n переменных, может содержать множество смешанных производных. Наиболее общий вид:

i 1

j 1

i 1

Возникает вопрос: можно ли свести к виду, содержащему только не смешанные производные 2 порядка, то есть, чтобы для коэффициентов выполнялось равенство aij 0 при i j . На прошлой лекции во всех полученных уравнениях (волновом,

диффузии) не было смешанных производных, и мы изучили метод их решения.

Оказывается, с помощью замены переменных действительно можно

n		2	u	n n		2	u
свести к виду, содержащему aij				вместо aij				.

i 1	xi2			i 1 j 1	xi x j

Сейчас вам станет понятно, для чего мы ранее в линейной алгебре изучали приведения квадратичных форм к главнм осям. Именно этот алгоритм поможет устранить смешанные производные.

Для каждого дифференциального уравнения можно построить матрицу, состоящую из коэффициентов:

a		...	a
	11		1n
A
		...
an1		...	ann

Если квадратичную форму с такой матрицей привести к главным осям, то после такой замены перемнных исчезнут все вмешанные производные.

Рассмотрим на таком примере. Дано дифференциальное уравнение

		2		u


x y
	2		u
					1
x			2

0 . Это же можно записать в виде:
	2	u			2	u			2	u
			1				0				0	. Мы специально распределили
x y				y x				y		2

поровну коэффициенты между двумя смешанными производными

2u 2u

x y , y x , чтобы получилась симметричная матрица. Это можно

сделать, так как они совпадаюти между собой. Матрица:	0
	A
		1

Найдём собственные числа и собственные векторы линейного оператора, соответствующего этой матрице.

1

0

1 0

2	1 0

собственные числа.

При

: решаем однородную систему

1

	1

1 a

1
	b

	0

	0
	0

a b , то есть вектор

(1,1)

	1		1
. Нормируем его, получаем		,		.


	2		2

1		1 a		0
При 1: решаем однородную систему
	1	1	b		0


a b , то есть вектор ( 1,1) . Нормируем его, получаем

Новый ортонормированный базис состит из пары векторов

	,
	,


1
	2

	,	1
	,	2
		2

 

1		1		1		1
	,		и		,		. Фактически, это повёрнутый


2		2		2		2

декартов базис (1,0) и (0,1).

Вспомним о том, что взаимосвязь между старыми (x, y)

коодинатами (z, w) такова:

на 900

и новыми

1	1		x
2	2	z	x
2	2
1	1
1	1	w	y
2	2

В матрице перехода векторы нового базиса расположены по векторам.

Таким образом,

x	z	w
	2	2

z 2

w 2

Если сложить эти 2 равенства, получим:

x y 2	z	2z , тогда z	x		y	.
	2		2		2

Аналогично, вычитая 1-е из 2-го, получим:
y x 2	w	2w , тогда w		x		y	.
	2			2		2

Теперь пересчитаем смешанную				производную

		2	u
2
	x y

по формуле

полной производной. Изначально можно её записать в виде:

2		u
2
	y	x

представив дифференцирование по x, y как два

последовательных действия. По формуле полной производной, если переменные z, w рассматриваются как промежуточные:

При этом, z			x
			2

w	x	y
	2	2

Тогда	u	u z
	x	z x

y 2

u		u
x		z

	z
	x

	1	.
	2

w
x

z		u w
x		w x
x		w x
1	,
	,
2

u	1	u
x	2	z

		1
		2
		2

Теперь применим к этой функции дифференцирование по y таким же

образом.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023258.08 Кб2Дополнительные главы информатики-2..pdf
#
05.02.2023650.24 Кб1Дополнительные главы макроэкономики..pdf
#
05.02.2023428.66 Кб3Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике-1.pdf
#
05.02.2023371.47 Кб6Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике.pdf
#
05.02.2023324.51 Кб1Дополнительные главы математики.-1.pdf
#
05.02.20231.6 Mб1Дополнительные главы математики.-2.pdf
#
05.02.20231.98 Mб1Дополнительные главы математики..pdf
#
05.02.2023827.15 Кб0Дополнительные главы микроэкономики.-1.pdf
#
05.02.20231.1 Mб2Дополнительные главы микроэкономики..pdf
#
05.02.20232.38 Mб8Еnglish for students of Engineering Faculties (basic level)..pdf
#
05.02.2023122.97 Кб3Жанровая организация PR-текста.-1.pdf