КурсРабота / Методичка / Метод Пособие по КР ТОЭ

Для симметричного четырехполюсника, нагруженного на характеристическое сопротивление, входное сопротивление также

будет равно Zc , т.е. = Щ1с= 10/(10V2 )= 1/V2 ^ ;,(0 = 1 sinl03/.

Расчет передаточной функции и частотных характеристик цепи

Динамические свойства линейных устройств можно описать передаточной, переходной или импульсной характеристиками, которые, в свою очередь, описывают поведение цепей (устройств) соответственно в частотной и временной областях. При этом оба представления совершенно равносильны и взаимно дополняют друг друга, а переход от одного к другому осуществляется с помощью прямого и обратного преобразования Фурье и Лапласа. Частотные и временные характеристики удобно определять с помощью операторного метода. Для этого находят передаточную функцию цепи.

Передаточная функция линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами W(s) равна отношению преобразования Лапласа Y(s) реакции цепи y(t) к изображению X(s) входного воздействия .*(/), вызвавшему эту реакцию, при нулевых начальных условиях: fV(s) = Y(s)/X(s) = {bmf + + ... +b0)/ /(a„s" + a„_ 1 s" 1 + ... + a„). При этом условно предполагают, что в схеме действует один источник. Передаточная функция представляет собой аналитическую дробно-рациональную функцию комплексного аргумента s = а +усо, где тип — степени (порядок) полиномов числителя и знаменателя ( т < п). Вид полиномов B(s) и A(s) и их коэффициенты зависят от структуры цепи и параметров ее элементов.

Если требуется определить частотные характеристики цепи, переходят от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье, приняв s =ую, и получают комплексную передаточную функцию (коэффициент передачи) W(j(a) = F(y'co) / Ду'со) = Ym(ja) I Xm{j(£>),

22

определяемую как отношение комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) электрических величин на выходе и входе цепи в заданном режиме работы. Размерность комплексного коэффициента передачи W(j<n) определяется схемой и соотношением реакций цепи и входного воздействия. Так, например, передаточная функция по напряжению равна Wv(j<£t) =

-ивыхШвх и является безразмерной величиной.

Вобщем виде W{JU>) можно представить в виде отношения двух комплексных полиномов в алгебраической или показательной форме:

= В(со) ехр [/Уг(со) ] !{A(oi) ехр [(/ty^©)]} =

= [5(со) /Л(со)] ехр7'[ц/в(со) - ^(со)] = Ж(а>) ехр [/ср(©)],

где BT(A>) = Re [А(усо)], ^,(co) = Re [а(ую)], В2(со) = Im [й(уа>)], А2(ю) = 1ш[а(усо)], ЩА) = В(со) / А(со) — модуль передаточной функции, называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ); ф(со) = v^s(co) - чЫ®) — аргумент передаточной функции, или фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Передаточная функция может быть представлена также в виде суммы двух полиномов: W(ja) = Р(со) + jQ(со) = л]Р2 +Q2 х х ехр [j'arctg(g/.P) = Щ(о) ехр [ jcp(co)], где Р(со) — вещественная, a Q(co) — мнимая частотные характеристики. Но этот путь более трудоемкий, особенно при определении знака ФЧХ. •

При расчете ФЧХ следует помнить, что если значение действительной части комплексного полинома отрицательно, то вектор на комплексной плоскости расположен или во второй ее четверти, или в третьей — это зависит от знака мнимой части комплексного полинома: при положительном — во второй, при отрицательном — в третьей.

23

Для обозначения передаточных функций используют также и другие обозначения, например K(ja), H(j(o).

При определенном значении со = со4 комплексная передаточная функция W(ju>k) представляет собой вектор на комплексной плоскости s = a +jco и характеризуется амплитудой W(cnk) и фазой ф(©д). При изменении частоты со амплитуда и фаза вектора W{ja>) будут изменяться, а его конец будет описывать на плоскости кривую, представляющую собой амплитудно-фазовую характеристику. Геометрическое место точек на комплексной плоскости, соответствующих концу вектора комплексной передаточной функции W(j(i>) при изменении частоты от нуля до бесконечности, называется годографом (амплитудно-фазовой характеристикой).

Частотные характеристики позволяют косвенно, т.е. без решения дифференциальных уравнений, описывающих схему (систему), судить о прохождении сигнала, об устойчивости схемы и ряде других показателей качества, а также определить ее реакции на гармоническое воздействие. При подаче на вход сигнала x(t) установившаяся гармоническая величина на выходе определяется произведением входной функции на комплексный коэффициент передачи, т.е. У(/ю) ~ откуда |У| = W(со)|Х|, = у , + + ф(со), где у, — начальная фаза гармонического воздействия.

Пример 5. Для схемы четырехполюсника (см. рис. 2) найти выражение передаточной функции по напряжению при разомкнутых выходных зажимах. Построить амплитудно-частотную, фазочастотную характеристики и годограф.

ниями fVu (s) = coq / Су2 + 28s + coq). Характеристическое уравнение s2 + 265 + G>o = 0 имеет корни sl2 = - 8 ± -Js2 -COq =-R/(2L) ±

24

± yl(R2/4L2)-l/LC. При R = О (S = 0) = ± j J l / L C = ±/<o0, где

со0 = 1/л/1с — частота незатухающих колебаний.

Комплексную передаточную функцию легко получить из

= со2 /{ч/(СО2-СО2)2 +452 ехр [-/arctg 25/( со2 ~ со2)]} = Щсо)ехр [ у ф ) ] .

Отсюда Що) = со2 / - ® 2 ) 2 +452 = 1/J(1~CO2IQ2+(coRQ2 —

АЧХ, ср(со) = - arctg [25/(с0д - со2)] = -/arctg [соДС/(1 - оЛС)] — ФЧХ. Пусть в схеме (см. рис. 2) заданы параметры: R- 50 Ом, L = - 250 мГн, С — 80 мкФ. Запишем выражения операторной и ком-

плексной передаточных функций с учетом численных значений

Рис. 12

Пример 6. Для схемы четырехполюсника (рис. 13) определить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи цепи по напряжению. *

25

Решение. Коэффициент передачи по напряжению Wv (/со) = UiILL, = £ /(Z, + Z2), где Z, =j<oL, Z2 = [R/ (ycoQ] / [Л + 1 / (y'coC)] = = i?/(l +jtoRC). Комплексная частотная характеристика IVи(/со) = = 1/(1- co2Z,C +jm/JR) = 1 /{[(1 - (s?LCf + (col / R f ],/2exp [arctg (col / /(/?- co2/?LC))]}, откуда АЧХ й^(со) = |Жу(усо)| = 1 /[(1 - co2ZC)2 + + (coZ,//?)2 ]"\ а ф(со) = - arctg [coL/(R - сo2RLC)}.

R

лить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи цепи по напряжению. Решение. Определяем Wfjca) = U2IU\ =y'0,5coL// Ы, =у'0,5соЩ/

/Щ, [/'col + /?/(/соС) / [Л + l/(y"coQ]} =y'0,5co/7[/coZ + Л/(1 +у'соЯС)] = =jO,5(oL( 1 +j(j)RC)/[ y'coZ/( 1 +усоЯО + R] =jO,5(oL(l+JcoRC) / [(Л - - co2RLC) + у'со!]. Записываем комплексные полиномы числителя и знаменателя Ж(/со) в показательной форме:

Щусо) = [0,5coZ. ехр(уя/2)] { / l + (cоЛС)2 ехр [уarctg (соЛС)]} /

+ Ф,(со) + ф2(а>).

Частотные характеристики изображены качественно на рис. 15. В зависимости от параметров элементов схемы Щсо) может

26

иметь вид 1 или 2. Следует обратить внимание на выражение для ф2(ю): Дл я со >1/ 4hC значения числителя и знаменателя функции arctg будут отрицательными, и в этом диапазоне частот электрические углы следует определять по формуле ф2(со) = = —я + arctg [со/, / (co2RLC — 7?)] = —я + arctg(wi / \R - a>2RLC\).

Рис. 15

Коэффициент передачи по напряжению в режиме холостого хода (/2 - 0) четырехполюсника молено определить, используя его

После преобразований W(ju>) =/0,5юЦ1 +j(oRQ / [(/? - сo2RLC) + +jaL]. Результат совпал с предыдущим в этой задаче.

Расчет переходной и импульсной характеристик цепи

Чтобы судить о возможностях электротехнических устройств, принимающих и передающих входные воздействия, прибегают к исследованию их переходных и импульсных характеристик.

Переходная характеристика h(t) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения в виде единичной ступенчатой функции !(/) или l(f - /„) при нулевых начальных условиях (рис. 16). Размерность переходной характеристики равна отношению размерности реакции к размерности

27

отношению размерности реакции к произведению размерности воздействия на время, поэтому она может иметь размерности с""', Оме"1, См с ' .

Импульсную функцию §(/) можно рассматривать как производную единичной ступенчатой функции 5(0 = d\(t)!dt. Соответственно, импульсная характеристика всегда является производной по времени от переходной характеристики: k{t) ~ /г(0+)5(0 + + dh{t)!dt. Эту связь используют для определения импульсной характеристики. Например, если для некоторой цепи h{t) - 0,7е 100/,

то k(t) = 0,75(0 - 70е 10°'. Переходную характеристику можно определить классическим или операторным методом расчета переходных процессов.

Между временными и частотными характеристиками цепи существует связь. Зная операторную передаточную функцию, можно найти изображение реакции цепи: У(,у) = W(s)-X(s), т.е. передаточная функция содержит полную информацию о свойствах цепи как системы передачи сигналов от ее входа к выходу при нулевых начальных условиях. При этом характер воздействия и реакции соответствуют тем, для которых определена передаточная функция.

Передаточная функция для линейных цепей не зависит от вида входного воздействия, поэтому она может быть получена из переходной характеристики. Так, при действии на входе единичной ступенчатой функции 1(0 передаточная функция с учетом

28

того, что 1(0 = 1/5, равна W(s) = L[h(t)] //[1(0] = / (1/s), где /[ДОЗ — обозначение прямого преобразования Лапласа над функцией/(0- Переходная характеристика может быть определена через передаточную функцию с помощью обратного преобразования Лапласа, т.е. h(t) = L'x[W{s)(\ls)}, где /"'[F(s)] — обозначение обратного преобразования Лапласа над функцией F{s). Таким образом, переходная характеристика h{t) представляет собой функцию, изображение которой равно fV(s)/s.

При действии на вход цепи единичной импульсной функции 8(0 передаточная функция fV(s) = L[k(t)} / /[5(0] = L[k{t)} / 1 = = L[k(t)]. Таким образом, импульсная характеристика цепи k(t) является оригиналом передаточной функции. По известной операторной функции цепи с помощью обратного преобразования Лапласа можно определить импульсную характеристику: k{t) ^ Ms). Это означает, что импульсная характеристика цепи единственным образом определяет частотные характеристики цепи и наоборот, так как Щ /со) = W(s)s _ уш. Поскольку по известной импульсной характеристике можно найти переходную характеристику цепи (и наоборот), то последняя тоже однозначно определяется частотными характеристиками цепи.

Пример 8. Рассчитать переходную и импульсную характеристики цепи (рис. 17) для входного тока и выходного напряжения при заданных параметрах элементов: R = 50 Ом, / , = / 2 = / = 125 мГн, С =80 мкФ.

Решение. Применим классический метод расчета. Характери-

стическое уравнение ZBX = R + pL + + 1 / (рС) = 0 при заданных пара-

метрах элементов имеет комплекс-

29

свободных колебаний; _ySblH — вынужденная составляющая переходного процесса.

Вначале найдем решение для ис (t) и ic (t) = С duc (t) / dt, воспользовавшись вышеприведенными уравнениями, а затем по уравнениям Кирхгофа определим необходимые напряжения, токи и, соответственно, переходные и импульсные характеристики.

Для определения постоянных интегрирования необходимы начальные и вынужденные значения указанных функций. Их начальные значения известны: ис (0+) = 0 (из определения h(t) и k{t)), так как ic(t) = iL(t) = i(t), то гс(0+) = iL(0+) = 0. Вынужденные значения определим из уравнения, составленного согласно второму закону Кирхгофа для t £ 0Т: w, = R i(t) + (Z., + L2) i{t) / dt +

+ «с(0, = 1(0 = 1 = const, отсюда и^со) = ис%Ш1 = I, гс (оо) = / С ю о 1 = = |(оо) = 0.

Составим уравнения для определения постоянных интегриро-

N = -0,5. Полученные значения позволяют записать решения uc{t) и гс (0 = КО' "с(0 = [~cos200? - 0,5sin2000e"lo°' + 1] В, ic(t) = КО = = [80-10^(100- 100)cos200/ - (-200-50) sin200OKlo°'] = 0,02 x x sin2000e~100' А. Согласно второму закону Кирхгофа, и2 (t) =

= [-0,901sin(200/ + 33,69°) <f,0°' + 1] B.

Проверим правильность полученного результата по начальному значению: с одной стороны, ы2(0+) = -0,901 sin (33,69°) + 1 = 0,5, а с другой стороны, и2 (0+) = ис (0,.) + uL (0+) = 0 + 0,5 — значения совпадают.

Определим переходные и импульсные характеристики схемы: И, (0 88 i'(0 / ".(0 = КО / (1 В) = 0,02 sin200/ е'т> См; 'к, (0 =

= Л,(0+) 5(0 + dh, (0 / dt = (4 cos200? - 2 sin2000 е-ш См/с; hu2 ( / ) = = «2 (0/«,(0 = Щ(0/(1 В) = [—0,901 sin(200/ + 33,69°) е'100' + 1] б/р,

30

схеме четырехполюсника (рис. 18, а) для режима холостого хода (,Z„ = н а интервале /0 < t < t0 + Т при подключении его к клеммам с напряжением ип в момент t0, когда напряжение ип((0) = 0, dun(t0)/dt > 0, т.е. в момент перехода отрицательной полуволны напряжения в положительную (рис. 18, б). Значения параметров элементов схемы и входного напряжения: Rx = 45 Ом, R2 = 8 Ом, i?3 = 10 Ом, L = 50 мГн, С = 250 мкФ, и„(/) = 14,lsin(103/ + тс/4) В, и,2(0 = [20, /„, < t < t0 + 272_; -20, f0 + 7У2+ < f < f0+ Г.], Т= 6,28 • 10~3 с.

Рис. 18

Решение. Подготовим схему — выберем условно положительные направления токов и напряжений. Определим независи- •