560_Dmitrieva_o._E._Sbornik_zadach_1semestr_
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n2 2n 1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решения: |
|
|
a) lim |
|
lim |
n |
n2 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7n2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
lim |
|
|
n 5 n |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 5 |
|
n |
n 5 |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n 5 |
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 5 n |
|
|
|
|
|
|
n 5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
5 |
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Понятие предела функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Число b называется пределом функции |
y f (x) |
|
|
при |
x x0 (в точке x0 ) – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
это записывается как |
lim f x b , если для любого малого числа 0 можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
указать |
|
такое |
малое |
число |
( ) 0 , |
что для |
|
|
всех |
x , |
|
удовлетворяющих |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенству | x x0 | , выполняется неравенство | |
|
|
f x b | . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из этого определения следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1) закон стремления аргумента x к x0 |
безразличен; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)число x0 может не входить в область определения функции y f (x) ;
3)число b - значение предела – может не входить в область значений функции y f (x) .
Приемы нахождения пределов функций аналогичны приемам нахождения предела последовательности.
3.1. Записать первые пять членов последовательности:
а) |
x |
|
|
3n 5 |
|
; |
б) |
x |
|
1 1 n |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
2n 3 |
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.2. Написать формулу общего члена последовательности: |
|||||||||||||||||||||||||||||
а) 2 , |
4 |
, |
6 |
, |
8 |
|
, …; |
б) |
3, |
|
5 |
, |
7 |
, |
|
9 |
, |
|
|
11 |
, … |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
||||||
3.3. Найти |
|
предел |
последовательности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
установить, начиная с |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
какого номера все члены последовательности попадают в - окрестность точки предела, 101 .
Вычислить пределы последовательностей:
11
3.4. lim |
5n 1 |
; 3.5. |
lim |
|
|
9n2 8n 1 |
; 3.6. |
lim |
|
|
n2 2n |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7 9n |
|
|
|
|
6 15n2 |
|
|
|
|
|
3n |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2n 1 |
|
1 2n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3n |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.7. lim |
|
|
|
|
|
|
|
; 3.8. |
lim |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5n 7 |
2 5n |
3 |
|
|
|
n |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.9. lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n3 2n 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n 2 |
|
n 1 |
|
3.10. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.11. lim |
x2 3x 2 |
; |
3.12. |
lim |
x3 2x |
2 3x 1 |
; |
|
3.13. lim |
x2 |
3x 2 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x2 1 |
|
|
|
7x |
x3 |
|
|
|
|
x2 |
|
2x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x2 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.14. lim |
; |
3.15. |
lim |
|
|
x 1 2 |
; |
3.16 . lim |
3 |
8 x |
2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x3 x |
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание.
3.17. Записать первые пять членов последовательности:
a) x |
|
|
2n |
; б) |
x n 1 1 n ; |
|
n |
|
|
||||
|
|
3n 5 |
|
n |
||
|
|
|
|
|
3.18. Написать формулу общего члена последовательности:
a) |
1 |
, |
3 |
|
, |
|
5 |
, |
7 |
, |
|
9 |
, … б) |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
, |
… |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
6 |
|
|
|
8 |
|
10 |
12 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|||||||||
Вычислить пределы последовательностей: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3.19. lim |
|
n 1 |
; |
|
3.20. lim |
|
3n2 7n 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5n 6n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n 3n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n 2 3 n 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
n . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
3.21. lim |
|
; |
3.22. lim |
|
n2 |
7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n |
|
95n3 |
39n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Найти пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.23. lim |
|
x2 |
3 |
; 3.24. |
lim |
x |
2 4x 4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 |
3 |
|
|
x3 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x 3 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x |
|
|
|
|
|
||
3.25. |
lim |
7x3 |
; 3.26. lim |
|
x 1 |
3 |
. |
|||
|
2 5x3 |
|
x 10 |
|
||||||
|
x 4x2 |
x 10 |
|
Занятие 4.
Предел функции. Первый и второй замечательные пределы.
Вследствие наличия многочисленных приложений следующие пределы называют замечательными:
lim |
sin x |
1- первый замечательный предел, |
|||||||
x |
|||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
1 |
y |
|||
|
|
|
|
||||||
lim |
1 x |
|
e или |
1 |
|
|
e - второй замечательный предел. |
||
x |
|||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
||
x 0 |
|
|
|
|
y |
y |
|
Здесь e 2,72 - трансцендентное число Непера. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Некоторые модификации первого замечательного предела: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
tg x |
1, |
|
|
lim |
arcsin x |
1, |
lim |
arctg x |
|
1. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Некоторые модификации второго замечательного предела: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
ln |
1 x |
1, |
lim |
ex |
1 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При вычислении некоторых пределов этого занятия используются |
|||||||||||||||||||||||||||||
следующие формулы тригонометрии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 cos 2 2sin 2 |
, |
cos cos 2 sin |
|
sin |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
Пример 1. Вычислить: lim |
sin 9x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
sin 9x |
|
|
|
sin 9x |
|
9 |
|
|
9x y |
|
9 |
|
sin y |
|
9 |
|
|||||||||
Решение. |
lim |
lim |
|
|
x 0 |
|
= |
lim |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
2x |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
9x |
|
2 |
|
|
y 0 |
|
|
2 y 0 |
y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить: lim
x 0
Решение. |
|
lim |
arctg 5x |
||
|
|
x |
|||
|
|
x 0 |
|
||
5 lim |
|
y |
|
cos y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
y 0 sin y |
|
arctg 5x |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
arctg 5x y |
|
5 lim |
arctg 5x |
|
5x tg y |
|||
|
|
x 0 |
|||||
|
x 0 |
5x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
5 lim |
|
|
y |
lim cos y 5. |
|||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
y 0 sin y |
y 0 |
|
5 lim |
y |
|
|
||
|
||
y 0 tg y |
|
13
3 x 1 x
Пример 3. Вычислить: lim . x 3x 1
Решение.
3 x 1 x lim x 3x 1
|
|
3 x 1 |
x |
|
|
3 x 1 3x 1 x |
|
|||
lim 1 |
|
|
|
1 |
lim 1 |
|
|
|
|
|
3x 1 |
3x 1 |
|||||||||
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 1 |
|
|
|
|
3x 1 y |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3x 1 |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim 1 |
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
3x 1 |
e 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.1. lim |
|
sin 3x |
; |
|
4.2. |
|
lim |
|
x |
|
; |
4.3. |
|
lim |
arcsin 7x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 tg 7x |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4.4. lim |
|
arctg 2x |
; |
|
4.5. |
lim |
1 cos 2 x |
; |
4.6. lim |
cos x cos x |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 arcsin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4.7. lim |
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
4.8. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
4.9. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4.10. lim |
ln 1 5x |
; |
|
4.11. lim x ln x a ln x ; |
4.12. lim |
ln x 1 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x e |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x e |
|
|
|||||||||||||||||||||
4.13. lim |
|
a x 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Домашнее задание . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Вычислить пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.14. |
lim |
|
arctg11x |
; |
|
|
4.15. |
|
|
lim |
|
arcsin 2 x |
; |
|
|
4.16. |
|
lim |
1 cos 6 x |
; 4.17. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg8x |
|
|
|
|
|
1 cos 4x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim 1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 x |
4 |
2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4.18. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
4.19. lim cos 2x |
|
; |
4.20. lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.21. lim |
log |
5 |
1 2x |
; 4.22. lim |
e2 x 1 |
. |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
x |
|||||
x 0 |
|
x 0 |
|
Занятие 5.
Бесконечно малые. Сравнение бесконечно малых. Бесконечно большие.
Функция (x) называется бесконечно малой при x x0 , если lim (x) 0 |
|||||
|
|
|
|
|
x x0 |
( x0 - любое действительное число или ∞). |
|
|
|||
При сравнении двух бесконечно малых (x) |
и (x) (при x x0 ) рассматривают |
||||
предел их отношения |
lim |
(x) C , при этом возможны случаи: |
|||
|
x x0 |
(x) |
|
|
|
1) если C 0 - |
конечное число, |
то |
(x) и |
(x) называют бесконечно |
|
малыми одного порядка, обозначение: (x) 0 ( (x) ); |
|||||
если C 1, бесконечно малые |
(x) |
и (x) |
называют эквивалентными, |
обозначение (x) ~ (x) ;
при нахождении предела отношения двух бесконечно малых данные функции можно заменять на эквивалентные,например, при x 0 sin x ~ x , tgx ~ x ,
arcsin x ~ x , arctgx ~ x , ln(1 x) ~ x , ax 1 ~ x ln a ;
2)если C 0 , то (x) называется бесконечно малой высшего порядка (более высокого порядка), чем (x) , обозначение (x) = о( (x) ); тогда (x) называется бесконечно малой низшего порядка, чем (x) ;
3)если C , то (x) - низшего порядка, чем (x) ; соответственно,
тогда (x) - высшего порядка, чем (x) : (x) = о( (x) );
4) если lim |
(x) |
C 0 , C - конечное число, k 0 - действительное |
|||
|
|||||
(x) k |
|||||
x x0 |
|
|
|
||
число, то |
(x) называют бесконечно малой k - го порядка |
|
|||
относительно бесконечно малой (x) , обозначение (x) = 0 ( k (x) ). |
|||||
Функция A x называется бесконечно большой при |
x x0 , если |
lim A(x) ( |
|||
|
|
|
|
x x0 |
или ). Сравнение бесконечно больших и их классификация вводятся аналогично тому, как это делается для бесконечно малых.
|
1 x |
|
|
5.1. Убедиться, что при x 1 бесконечно малые величины |
и 1 3 x |
||
одного порядка малости. Будут ли они эквивалентными? |
|
|
|
15 |
|
|
|
Определить порядок малости бесконечно малой (x) относительно бесконечно малой (x) x при x 0:
5.2. (x) 3 x3 ; 1 x
5.3. (x) 3 x2 x3 ;
5.4. (x) 1 cos x ; x
5.5. (x) sin x 2 2 ;
5.6. (x) 31 3 x 1;
5.7. (x) 2x2 1; .
Доказать, что разность функций f1 (x) f2 (x) имеет 2-ой порядок малости |
||||||||||||||||||||||
относительно |
x при |
x 0, если: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.8. f1 (x) |
|
1 |
, |
f2 |
(x) 1 x; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
5.9. |
f (x) |
|
|
a2 x , |
f |
2 |
(x) a |
x (a 0) . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя эквивалентность бесконечно малых, вычислить пределы: |
||||||||||||||||||||||
5.10. lim |
ln(1 x) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 0 |
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.11. lim |
1 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
lg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.12. lim |
|
|
1 cos4x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 0 |
|
2sin 2 x xtg7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.13. При x 1 функции |
y |
1 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
и y 1 x |
- бесконечно малые. |
|||||||||||||||||||||
1 x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Какая из них высшего порядка малости ? |
|
|||||||||||||||||||||
5.14. Определить порядок роста бесконечно большой |
A(x) относительно |
|||||||||||||||||||||
B(x) x при |
|
|
x : A(x) x3 150x 10 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
Домашнее задание.
Определить порядок малости бесконечно малой (x) относительно бесконечно малой (x) x при x 0:
5.15. (x) tgx sin x ;
5.16.(x) 1 cos2x2 ;
5.17.(x) 1 2x 1 x ;
5.18.(x) 3 x 1.
Вычислить пределы, пользуясь эквивалентностью бесконечно малых
5.19. |
lim |
|
|
4x2 1 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
arcsin(1 |
|
2x) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.20. |
lim |
|
|
|
arctgx |
2 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
x 0 arcsin3x sin |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.21. lim |
|
9 x2 |
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.22. lim |
|
|
tg 2 x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 0 ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.23. Определить порядок роста бесконечно большой A x относительно x при
x : A(x) 3x6 13x2 . 2 x3
Занятие 6.
Непрерывность функции в точке и на интервале.
Точки разрыва.
Функция y f x называется непрерывной в точке x0 , если она
определена в некоторой окрестности точки x0 и в самой этой точке и предел |
|||
функции в этой точке равен значению функции в этой точке |
|||
lim |
f x f x0 |
|
(1). |
x x0 |
|
|
|
Эквивалентные этому определения: |
|
||
lim |
|
|
(2) |
f x f lim |
x , |
||
x x0 |
x x0 |
|
|
lim f 0 |
|
(3) |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
17 |
(бесконечно малому приращению аргумента x x x0 |
в окрестности точки |
|
непрерывности |
x0 соответствует бесконечно малое |
приращение функции |
f f x f x0 ) . |
|
Еще одно часто используемое определение непрерывности, эквивалентное первым трем, дается через понятие односторонних пределов:
левосторонний предел |
lim f x |
lim |
f x f x0 0 |
|
||
x x0 , x x0 |
f x |
x x0 0 |
f x f x0 |
0 . |
|
|
правосторонний предел |
lim |
lim |
|
|||
x x0 , x x0 |
|
x x0 0 |
|
|
||
Функция называется в точке x0 |
непрерывной слева, если |
f x0 |
0 f x0 . |
|||
Функция называется в точке x0 |
непрерывной справа, если f x0 0 f x0 . |
|||||
Функция называется непрерывной в точке x0 , если |
|
|
||||
f x0 0 f x0 0 f x0 |
(4). |
|
|
|
||
Функция непрерывна на |
открытом |
интервале a,b , |
если |
она непрерывна в |
каждой точке этого интервала.
Функция непрерывна на замкнутом интервале a,b , если она непрерывна на a,b , непрерывна в точке x a справа и в точке
Точками разрыва функции называют:
1) принадлежащие области определения точки, в которых функция не имеет свойства непрерывности;
2) не принадлежащие области определения точки, которые являются общей границей двух примыкающих друг к другу промежутков, принадлежащих области определения: a,b b,c (точка b - так называемая выколотая точка области определения).
Точки разрыва подразделяют на 2 типа:
Разрывы 1-го рода (разрывы с конечным скачком):
1) f x0 0 f x0 0 - пределы слева и справа в точке x0 конечны и не совпадают:
величину s f x0 0 f x0 0 называют скачком функции в точке x0 ; в
точке x x0 |
функция при этом может быть определена или не определена; если |
||||
f x0 |
f x0 |
0 f x0 |
0 |
, то такой разрыв 1 рода называют правильным; |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
18
2) f x0 0 f x0 0 f x0 - пределы слева и справа конечны, равны, но не равны значению функции в точке x0 (в этой точке функция может быть определена или не определена)
Этот вид разрыва 1 рода называют устранимым: новая функция |
||||
~ |
f x |
, x x0 |
|
|
f |
x |
|
0 f x 0 , x x |
|
|
f x |
0 |
||
|
|
0 |
0 |
непрерывна в точке x0 .
Разрывы 2 рода: если хотя бы один из односторонних пределов в точке x0 не
существует или равен . Примеры разрывов 2 рода:
a) |
y |
|
|
|
1 |
, |
x c - точка разрыва 2 |
|
|
|
|||||
x c 2 |
|||||||
рода: |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
б) |
y e x , |
x 0 |
- точка разрыва 2 |
рода:
в) y sin |
1 |
, x 0 - точка разрыва 2 рода, lim sin |
1 |
|
не существует. |
||
|
x |
||||||
|
x |
x 0 |
|
|
|||
Для исследования функции |
y f x на разрывы в точках, подозрительных на |
||||||
точки разрыва, находятся односторонние пределы |
lim f x |
и lim f x , |
|||||
|
|
|
|
|
|
x x0 0 |
x x0 0 |
сравниваются и в случае равенства сравниваются со значением f |
x0 . |
Исследовать функции на непрерывность и указать характер точек разрыва. В случае устранимого разрыва доопределить функцию:
|
x2 |
|
|
2x 3, |
x 1 |
|||
|
|
, |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.1. f x |
2 |
|
|
; |
6.2. f x |
1 |
|
; |
|
x 2 |
|
|
|
, x 1 |
|||
|
|
|||||||
x, |
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
x, |
x 1 |
|
x, |
x 1 |
|
|
|
1 x 2 ; |
|
|
1 x 2 |
|
6.3. a) |
f x x2 , |
б) |
f x x2 , |
; |
||
|
2x, |
x 2 |
|
2x, |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3x, |
x 0, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
в) f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ctg x, |
x |
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
cos x, |
x |
|
|
|
|
|
|
,2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
3x 5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6.4. f x |
|
|
; 6.5. f x |
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 3 |
|
|
3x 5 |
;
6.6. f x 1 ; x2 x 1
|
|
1 |
|
|
|
|
6.8. f x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6.7. f x |
|
|
; |
|
|
; 6.9. |
f x 5 x |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 4 2 |
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6.10. f x |
1 |
|
|
; |
6.11. f x |
|
|
|
x 1 |
при |
a 0, |
a 5 ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
ax 4 |
|||||||||||||||
|
|
21 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6.12. f x |
1 cos2x |
; 6.13. f x |
|
|
|
|
x |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 x 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание.
Исследовать функции на непрерывность и указать характер точек разрыва. В случае устранимого разрыва доопределить функцию.
6.14. f x 3 |
x |
|
6.15. f x |
|
|
||
4 x2 |
; |
||
2x |
, |
1 x 1 |
|
|
|
1 x 4 ; |
|
6.17. f x x 1, |
x, x 4
x 1 |
; |
6.16. |
|
f x |
2 2cos x |
; |
|||||
x2 5x 4 |
|
5x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
cos x, |
|
2 |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.18. f x |
1, |
|
x |
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
4 |
|
|
|
20