fizika / Кинемат

I. Кинематика

Y

A

Движущаяся точка А

Траектория точки А — линия, по которой движется точка.

1. Основные понятия

Радиус-вектор — вектор, описывающий расположение точки в

Система отсчета —

ry = y

пространстве. Это направленный отрезок, проведенный из начала

r

координат в точку, положение которой он задает.

совокупность тела отсчета,

системы координат, связанной

X

Координата точки равна проекции радиус-вектора на координатную ось

с телом отсчета, и часов,

О

Тело отсчета — тело, относительно которого рассматривается

неподвижных относительно

rx = x

движение других тел.

Скорость точки

тела отсчета.

Y

∆rr- Перемещение точки — изменение радиус-вектора

r

vr = lim

∆r = dr = rr′(t)

1

(направленный отрезок, проведенный из начального

v = ∆r

положения точки в ее конечное положение).

∆t

∆t→0

∆t

dt

rr

r

r

r

s – путь, пройденный точкой —

если v =const

Перемещение точки за время ∆t

r

∆r

= r2

−r1

длина участка траектории между начальным

Ускорение точки

1

2

1

положением (1) и конечным положением (2),

r2

ar =

∆v

X

если точка не проходит по одному участку

ar = lim

∆v =

dv = vr′(t) = rr′′(t)

О

траектории более одного раза (иначе путь

проекция

∆rx = ∆x = x2 – x1

2

находят как сумму путей на отдельных

∆t

∆t→0

∆t

dt

вектора ∆r

Проекция перемещения на координатную ось

участках).

если a =const

Изменение скорости за время ∆t

на ось ОХ

равна изменению координаты

Среднее ускорение

Средний вектор скорости

Средний модуль скорости

∆vr

(средняя скорость перемещения)

(средняя путевая скорость)

численно

= ∆x

ar

=

Изменение

r

∆r

Вектор перемещения

s

±Sпод

ср

∆t

скорости

vср

= ∆t

точки за время ∆t

v = t

граф vx (t )

за время ∆t

Путь, пройденный за время t

vx

+ - площадь выше оси t

– - площадь ниже оси t

v

численно

= ∆vx

ax

t

численно

±Sпод

Sпод

= s

t

граф ax (t )

t

+ - площадь выше оси t

граф v (t )

– - площадь ниже оси t

2. Законы сложения скоростей и ускорений

r

r

r

Скорость «подвижной» системы отсчета (ПСО) относи-

v 1/2

= v 1 − v 2

vт/нсо

=vт/псо +vпсо/нсо

тельно «неподвижной» (НСО) (переносная скорость)

Скорость точки (т)

Скорость точки (т)

Скорость первой точки

Скорость первой точки

Скорость второй

относительно

относительно «подвижной»

относительно второй

точки

«неподвижной»

системы отсчета (ПСО)

(в «неподвижной»

(в «неподвижной»

(относительная скорость)

системе отсчета)

системы отсчета (НСО)

системе отсчета)

(абсолютная скорость)

aт/нсо

=aт/псо

+aпсо/нсо

Ускорение «подвижной» системы отсчета (ПСО)

Ускорение точки в

относительно «неподвижной» (НСО)

Если ПСО

(переносное ускорение)

«неподвижной»

Ускорение точки в «подвижной» системе отсчета

системе отсчета (НСО)

не вращается, движется поступательно

(абсолютное

относительно НСО

(ПСО)

ускорение)

3. Нормальное и тангенциальное ускорения

Вектор скорости точки

arn — нормальное ускорение —

an

v

Вектор ускорения («полное ускорение») представляют

составляющая полного

как сумму двух векторов (составляющих), один из

ускорения, перпендикулярная

a

которых (aτ

) параллелен скорости, а другой (an )

вектору скорости. Это ускорение

aτ

перпендикулярен скорости:

ar =arτ +an

характеризует быстроту

изменения направления вектора

aτ — тангенциальное ускорение — составляющая полного ускорения,

скорости.

Радиус кривизны

an =v

2

параллельная вектору скорости. Это ускорение характеризует быстроту

траектории в той точке,

dv

r

где имеет место данное

aτ

нормальное ускорение.

изменения модуля вектора скорости:

= dt

4. Типы движений

4.1. Равномерное движение— движение, при котором точка за любые равные промежутки времени проходит

(v = const)

s

= v t

одинаковые пути (Вектор скорости не изменяется по модулю, но может меняться по

направлению)

Модуль скорости

Путь, пройденный точкой за время t

4.1.1 Равномерное прямолинейное движение — движение, при котором точка за любые равные промежутки

(vr =const )

s = v

t

x = x0 + vx t

времени совершает одинаковые перемещения. (Вектор скорости

( a =

0 )

не меняется ни по модулю, ни по направлению)

О

vr

Проекция вектора скорости на координатную ось

Координата точки в начальный момент t = 0

Х

Координата точки в момент t

4.1.2 Равномерное движение по окружности

(равномерное вращение — движение твердого тела, при котором любая его точка движется по окружности,

причем, центры всех этих окружностей лежат на одной прямой перпендикулярной плоскости вращения, и за

любые равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы.)

r

v1

(ω = const)

∆ϕ

Угол, на который тело поворачивается за

v

ω=

время ∆t (угол измеряется в радианах)

aц1

s = v t

∆t

∆ϕ

2π

ω— Угловая скорость (измеряется в рад/с)

aц

ω=

v = ω R

R — Радиус окружности,

При равномерном движении по R

T

окружности точка обладает

по которой движется точка

ускорением, которое в любой

t

T - Период вращения — время,

момент направлено к центру

1

T =

за которое происходит один

этой окружности. Такое

ν =

полный оборот.

ускорение называется

T

N

t — время, за которое

ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫМ.

происходит N оборотов

v

2

v - скорость движения точки

ν - частота вращения — число,

aц

=

R – радиус окружности, по

оборотов, происходящих за единицу времени (за 1 секунду).

R

которой движется точка

Измеряется в герцах. 1 Гц = 1 оборот/с

vx , vy - проекции скорости в момент t

4.2 Движение с постоянным ускорением

(ar = const )

∆v

r

vx = v0x

+ ax t

При ar =const :

ar =

v

=v0 +at

vy = v0y

+ ay t

ax , ay - проекции ускорения

численно

∆t

vx

v0x , v0y - проекции начальной скорости

±Sпод

= ∆x

∆x =vx +v0x t

(т. е. скорости в момент t = 0)

граф vx (t )

t

2

∆x ,

∆y – изменение координат:

r

r

+ - площадь выше оси t

vy

+v0y

r

∆x = x – x0 ; ∆y = y – y0

– - площадь ниже оси t

v

+v

0

∆y =

t

∆r =

2

t

2

x , y – конечные координаты

2ar∆rr =v 2 −v02

(координаты в момент t)

2ax ∆x

= vx

2

-

2

axt

2

r

v0x

x = x0 + v0x t +

rr =rr +vr

2ay ∆y = vy2 - v0y2

2

0

t + at 2

Форма траектории

ayt 2

0

2

при движении с постоянным ускорением:

y = y0 + v0y t +

2

x0 , y0 – начальные координаты

r

r

(координаты в момент t = 0)

параллельны)

Прямолинейная траектория (a

иv

4.2.1 Равноускоренное движение ar ↑↑vr 4.2.2 Равнозамедленное движение a ↑↓v

Параболическая траектория

(ar иvr

не параллельны)

v = v0 + a t

2a s = v2 − v02

v = v0 − a t

2a s = v02 − v2

v0

s =v0t +

at 2

s =

v +v0

t

s =v0t − at 2

s =

v +v0

t

2

2

t

≤ tост

= v0/а

2

2

g

4.3 Гармоническое движение

x = A cos(ωt + ϕ0) ,

vx = −A ω sin(ωt + ϕ0) , ax = −A ω2 cos(ωt + ϕ0)

(вдоль оси ОХ)

vm = A ω

am = A ω2

x — координата колеблющегося тела (смещение от равновесного

максимальная

максимальное

ax = −ω2 x

положения); ω — циклическая частота колебаний,

ω = 2π

скорость

ускорение

A — амплитуда колебаний (максимальное смещение)

колебаний (время одного полного колебания)

период

ϕ = ωt + ϕ0 — фаза колебаний, ϕ0 — начальная фаза.

T