Мустафакулова Г.Н. / Лекция 18

ТОЭ (Лекция 18)

Топологические методы расчета электрических цепей

1.Топологические определения схемы

С появлением ЭВМ и их широким применением для решения сложных математических задач были разработаны специальные топологические расчёта сложных электрических цепей, графов и матриц.

Схема сложной электрической цепи (рис. 83а) может быть заменена (представлена) направленным графом (рис. 83б) с соблюдением следующих условий:

1)узлы графа соответствуют узлам схемы;

2)ветви графа соответствуют ветвям схемы;

3) направление ветвей соответствует направлению токов в ветвях схемы.

1

I1 Z1 E1

Рис. 83

Любая часть графа называется подграфом. Минимальный связанный подграф, соединяющий все узлы графа и не образующий контуров, называется деревом графа (на схеме графа обозначается жирной линией). Для конкретного графа может быть составлено определенное множество вариантов деревьев, но в расчете схемы принимается любой из вариантов. Ветви графа, не входящие в его дерево, называются связями или хордами.

Структура графа и соответственно структура электрической схемы может быть описана с помощью топологических матриц или матриц соединения. Таких матриц несколько, для расчета электрических цепей использу-

1

ТОЭ (Лекция 18)

ются две основные: А матрица соединений «узлы-ветви» и В матрица соединений «контуры-ветви».

В общем случае сложная схема содержит «m» ветвей и «n» узлов, при

этом максимальное число ветвей зависит от числа узлов: mmax n (n 1) .

2

Составим таблицу соединений «узлы-ветви» руководствуясь следующими правилами:

1 – ветвь выходит из узла,1 – ветвь входит в узел, 0 – отсутствие связи с узлом.

Т а б л и ц а 1

Так как каждая ветвь имеет только один вход ( 1) и один выход (+1), то сумма чисел по вертикали для любого столбца равна нулю. Из этого следует, что независимыми являются только 3 из 4 строк таблицы. Матрица соединений А «узлы-ветви» (табл. 2) получается из приведенной выше таблицы путем вычеркивания любой строки (например, строки №4):

Т а б л и ц а 2

Размерность матрицы соединений А «узлы-ветви» равна n 1 m ,

где n 1 – число независимых узлов, m – число ветвей.

Независимыми называются контуры графа, образованные одной из хорд и ветвями дерева. Число независимых контуров соответствующих числу хорд графа: k m (n 1) 3, контуры нумеруются по номеру хорды (1, 2, 3). Направление обхода контура принимается по направлению хорды, которая входит в состав этого контура.

2

ТОЭ (Лекция 18)

Составим таблицу соединений «контуры-ветви», руководствуясь следующими правилами:

1 – направление ветви совпадает с направлением обхода контура,1 – направление ветви не совпадает с направлением обхода контура, 0 ветвь не входит в контур.

Т а б л и ц а 3

где k m (n 1) – число независимых контуров, m – число ветвей. Если матрицы соединений А и В составлены верно, то должно вы-

полняться условие: B A T 0.

1. Уравнения Ома и Кирхгофа в матричной форме

Если в исследуемой сложной схеме содержатся параллельно включенные ветви, то для составления матриц соединений такие ветви необходимо заменить (объединить) одной эквивалентной ветвью.

В общем случае любая ветвь схемы кроме комплексного сопротивле-

дуют:

3

ТОЭ (Лекция 18)

Для всех «m» ветвей составим систему уравнений по этой форме:

U1 Z1 I1 Z1 J1 E1U2 Z2 I2 Z2 J2 E2

Um Zm Im Zm Jm Em

Заменим полученную систему из «m» уравнений матричной формой. Для этой цели введем следующие обозначения матриц:

Уравнения Ома в матричной форме получат вид:

U Z I Z J EI Y U Y E J

Уравнения Кирхгофа в обычной форме имеют вид: I 0 первый закон Кирхгофа для узлов, U 0 - второй закон Кирхгофа для контуров.

Система уравнений Кирхгофа в матричной форме получается через матрицы соединений А и В :

4

ТОЭ (Лекция 18)

Составленная система уравнений содержит “m” неизвестных токов и

Для сравнения приведем те же уравнения в обычной форме:

I 0

I Z E J Z

Сделаем подстановку матрицы I из матричного уравнения закона Ома, получим:

Для сравнения приведем те же уравнения в обычной форме:

U Y J E Y

3. Контурные уравнения в матричной форме

Вводим понятия контурных токов Iк . Контурные токи замыкаются по контурам-ячейкам графа, именуются по имени хорды, их направление совпадает с направлением хорды. Столбовая матрица контурных токов:

Действительные токи связаны с контурными через матрицу В :

I B T Iк

Заменим в уравнениях 2-го закона Кирхгофа действительные токи [I] на контурные I к согласно формуле:

5

Zк Iк Eк система контурных уравнений в обобщенной матричной форме.

4. Узловые уравнения в матричной форме

Вводим понятие узловых потенциалов у. Потенциал последнего n-го узла, для которого отсутствует строка в матрице [A] принимается равным 0. Столбовая матрица узловыхпотенциалов:

Напряжения ветвей связаны с потенциалами узлов через матрицу А .

U A T

у

матричнойформе.

6