Решение однородных систем линейных уравнений

Линейная однородная система уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид Исключив тривиальные решения , полагаем . Подставив их в систему уравнений, имеем

Отсюда т.к. при любых х. Однородная система алгебраических уравнений относительно неизвестных имеет ненулевые решения только в случае равенства нулю определителя системы:

Последнее уравнение называется характеристическим. Ненулевое решение системы образует собственный вектор матрицы А  , соответствующий собственному числу _i (i = 1, 2).

При решении характеристического уравнения  = 0 возможны три случая.

1) Собственные числа ₁ и ₂ матрицы А вещественные и различные: ₁  ₂. Общее решение системы записывается в матричной форме

с фундаментальной системой

Общее решение системы может быть записано (таблица 13.2) в виде

без нахождения фундаментальной системы. Подстановка в систему д.у. и приравнивание коэффициентов при и _, приводит к неопределенной алгебраической системе уравнений относительно . Две из четырех произвольных постоянных являются независимыми. Для нахождения формул, связывающих между собой эти постоянные, достаточно подставить в одно из уравнений системы д.у.

2) Собственные числа матрицы А комплексные: . Частное решение системы, отвечающее собственному числу , имеет вид

.

Здесь – собственный вектор, отвечающий комплексному собственному числу . Фундаментальная система решений

.

Общее решение системы .

Общее решение системы может быть записано (таблица 13.2) в виде

без нахождения Подстановка в исходную систему и приравнивание коэффициентов при и приводит к алгебраической системе уравнений относительно .

3) Собственные числа матрицы А вещественные равные .

Дискриминант характеристического уравнения равен нулю. Фундаментальная система решений имеет вид

где постоянные, – собственный вектор матрицы А, координаты которого задаются системой Одним из ненулевых решений этой системы (при ) является . Подстановка в систему д.у., приводит к алгебраической системе уравнений, решение которой .

Общее решение имеет вид

Для однородной системы д.у. n-ого порядка частные решения также определяются собственными числами и собственными векторами матрицы А. Собственные числа  матрицы А есть корни характеристического уравнения

.

Координаты собственного вектора , отвечающего собственному числу , определяются как любое ненулевое решение алгебраической системы однородных линейных уравнений

Совокупность частных решений дает возможность построить общее решение системы д.у.

Пример. Найти общее решение системы двумя способами.

I способ.  Матрица системы: .

Характеристическое уравнение: .

Корни характеристического уравнения: .

Фундаментальная система решений:

Уравнение для нахождения собственных векторов:

при : .

Собственный вектор для : , .

при : .

Собственный вектор для : , .

Общее решение системы:

_{или в скалярной форме}

II способ.  Корни характеристического уравнения: .

Вид общего решения (таблица 13.2):

Подстановка решения в первое уравнение системы:

.

Коэффициенты при :

Коэффициенты при :

Общее решение системы при :

Пример. Двумя способами найти частное решение системы уравнений при начальных условиях .

I способ.  Матрица системы:

Характеристическое уравнение .

Корни характеристического уравнения: .

Фундаментальная система решений:

.

Уравнение для нахождения собственных векторов:

при : .

Собственный вектор для : , .

Комплексное решение системы:

.

Вещественная и мнимая части комплексного решения:

.

Общее решение системы:

_{или в скалярной форме}

Начальные условия:

Значения произвольных постоянных:

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

II способ. Корни характеристического уравнения: .

Вид общего решения (таблица 13.2):

Подстановка решения в первое уравнение системы: .

Коэффициенты при sinх:

Коэффициенты при cosх:

Общее решение системы при :

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Пример. Найти общее решение системы

I. Матрица системы

Характеристическое уравнение .

Корни характеристического уравнения: .

Фундаментальная система частных решений:

.

Общее решение системы:

Пример. Найти общее решение системы

, , :

Характеристическое уравнение: .

Корни характеристического уравнения: , , .

Собственный вектор для : , , ,

Собственный вектор для : , , ,

Собственный вектор для : , , .

Фундаментальная система решений:

Общее решение системы: