Тема 9 системы дифференциальных уравнений

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность д.у., каждое из которых содержит независимую переменную х, искомые функции у₁, у₂,…, у_n и их производные. Порядок системы – число, равное сумме порядков старших производных искомых функций, входящих в систему. Всякая система введением дополнительных неизвестных может быть приведена к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Система называется канонической, если ее уравнения разрешены относительно старших производных искомых функций. Каноническая система д.у. первого порядка называется нормальной. Всякая каноническая система введением дополнительных неизвестных может быть приведена к эквивалентной нормальной системе того же порядка.

Решением нормальной системы п-ого порядка называется любая совокупность п дифференцируемых функций , , …, , подстановка которых в уравнения системы, обращает все уравнения в тождества. Задача нахождения решения, удовлетворяющего начальным условиям , , …, называется задачей Коши.

Общим решением нормальной системы называется совокупность п функций

таких, что

1) функции являются решением системы при любых допустимых значениях произвольных постоянных ;

2) для любых допустимых начальных условий , , …, существуют единственные значения произвольных постоянных , при которых эти условия выполняются

Частным решением системы называется решение, получающееся из общего решения заданием конкретных значений произвольных постоянных.

Пример. Преобразовать систему

к системе уравнений первого порядка.

Эквивалентная система д.у. первого порядка:

Пример. Представить каноническую систему д.у. третьего порядка эквивалентной нормальной системой.

, , :

Пример. Представить дифференциальное уравнение третьего порядка эквивалентной нормальной системой.

Эквивалентная система д.у. первого порядка:

Пример. Найти общее решение системы д.у. методом исключения неизвестных, преобразовав систему в дифференциальное уравнение второго порядка.

Производная первого уравнения системы: .

Замена в уравнении : .

Замена на : .

Общее решение д.у. : .

.

Общее решение системы д.у.:

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений n-ого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

или в матричной форме Y = АY + F, где

– матрица коэффициентов системы,

– матрица-столбец неизвестных функций,

– матрица-столбец производных,

– матрица-столбец свободных членов.

Если все , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. Система линейных д.у. n-ого порядка может быть представлена одним линейным дифференциальным уравнением такого же порядка, что позволяет сформулировать следующие утверждения.

Теорема. Если вектор-функции

являются частными решениями системы линейных однородных д.у., то их линейная комбинация

также будет решением системы.

Вектор-функции являются линейно зависимыми, если существуют такие постоянные , не все равные нулю, что выполняется тождество

.

При этом определитель Вронского

тождественно равен нулю. Определитель Вронского отличен от нуля при любом х, если линейно независимые частные решения системы д.у. п-го порядка.

Фундаментальной системой решений линейной однородной системы д.у. п-го порядка называется любая совокупность п линейно независимых частных решений системы.

Теорема.  Общее решение системы д.у. п-го порядка имеет вид

,

где – фундаментальная система решений однородной системы д.у. (W(x)  0),

– произвольные постоянные.

Пример. Записать систему уравнений в матричной форме.

, , , .

или .

Пример. Установить линейную зависимость или независимость вектор-функций и .

Линейная комбинация тождественно равна нулю только в случае . Вектор-функции линейно независимы.

Пример. Доказать, что если вектор-функции и линейно зависимы, то определитель Вронского .

Пусть и один из коэффициентов отличен от нуля, например, .

Тогда и , где .

Пример. Установить линейную зависимость или независимость вектор-функций

при любых значениях х. Функции линейно зависимы.

Действительно, существуют отличные от нуля коэффициенты , при которых линейная комбинация тождественно равна нулю, например,