Тема 4 дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальными уравнениями (д.у.) высших порядков называются уравнения

;  ; …,  ,

связывающие независимую переменную x, искомую функцию и её производные (или дифференциалы) порядка выше первого. Если д.у. разрешимо относительно старшей производной, оно может быть представлено в виде . Порядок д.у. n совпадает с порядком старшей производной (дифференциала), входящей в уравнение.

Решением д.у. является функция , дифференцируемая требуемое число раз, подстановка которой в уравнение, обращает его в тождество. Нахождения решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям , ,…, , называется задачей Коши ( – заданные числа).

Общим решением д.у. называется n-параметрическое семейство функций, содержащее произвольные постоянные , такое что

1) функции являются решениями уравнения при любых допустимых значениях произвольных постоянных;

2) для любых допустимых начальных условий существуют единственные значения , при которых функция удовлетворяет начальным условиям

Частное решение д.у. – функция , полученная из общего решения заданием конкретных значений произвольных постоянных С_i, . Решения д.у., представленные в неявном виде, и , называются соответственно общим и частным интегралами д.у.

Понижение порядка уравнения

В таблице 1 приведены основные виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

Таблица 1

Дифференциальное уравнение	Замена
	,
	,

Пример. Найти общее решение уравнения .

,

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: , , .

Замена в уравнении : .

– д.у. с разделяющимися переменными.

Решение д.у. : .

При х = 2 и :

Значение произвольной постоянной: .

.

При х = 2 и : .

Значение произвольной постоянной: .

При х = 2 и :

Значение произвольной постоянной: .

Частное решение д.у.: .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Замена , д.у. : .

Особое решение: р = 0; ; у = С.

– уравнение с разделяющимися переменными.

Общее решение д.у. : .

Общий интеграл д.у. : .

Пример. Найти общее решение уравнения .

; ; .

Тема 5 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

,

где коэффициенты и свободный член – заданные функции. При дифференциальное уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Теорема. Если функции являются частными решениями линейного однородного д.у., то их линейная комбинация

,

также является решением уравнения.

Определение. Функции называются линейно зависимыми, если существуют такие постоянные ₁, ₂,…, _k, не все равные нулю, что выполняется тождество .

Функции являются линейно независимыми, если это тождество возможно только при _1 = _2 =…₌ _k = 0. Для двух функций линейная независимость выражается тождеством , где k – постоянная, или тождеством , где хотя бы один их коэфициентов ₁, ₂ отличен от нуля.

Определителем Вронского называется функциональный определитель (вронскиан) . Если функции , линейно зависимы, то определитель тождественно равен нулю. Если – линейно независимые частные решения линейного д.у. k-го порядка, то определитель Вронского отличен от нуля при любых х.

Фундаментальной системой решений линейного однородного д.у. п-го порядка называется любая совокупность п линейно независимых частных решений уравнения.

Теорема. Общее решение линейного однородного д.у. имеет вид

,

где – фундаментальная система решений (W(x)  0),

– произвольные постоянные.

Пример. Установить линейную зависимость или независимость функций .

Линейная комбинация функций есть многочлен 3-й степени , имеющий не более трёх корней, и обращающийся в ноль тождественно только в случае . Функции линейно независимы.

Пример. Доказать, что , если функции линейно зависимы.

Пусть и один из коэффициентов отличен от нуля, например, . Тогда , , и

.

Прибавляя к первому столбцу определителя второй, умноженный на –₂, и третий, умноженный на –₃, получим определитель с нулевым первым столбцом, который тождественно равен нулю.

Пример. Показать, что при функции линейно независимы.

.

Функции линейно независимы, т.к. при любых значениях х.

Пример. Показать, что общее решение уравнения может быть записано виде .

_При

_При

Определитель Вронского: .

Функции образуют фундаментальную систему частных решений уравнения .

Общее решение д.у.: .