2 / 1_dz
.pdfМетод математической индукции и не только
Каждое задание стоит 1 балл. Некоторые задания решаются не только по индукции (может, по индукции и не решаются вовсе?!)) За такие альтернативные решения тоже можно получить по дополнительному баллу. Человек, решивший все 11 заданий, получает бонусные 9 баллов.
Задания имеют срок годности. Сдать их нужно до ноября.
1)Докажите, что 8 n 2 N 1 1! + 2 2! + ::: + n n! = (n + 1)! 1;
2)Докажите, что 8 n 2 N 1 + 3 + 5 + ::: + (2n + 1) = (n + 1)2;
3) |
Докажите, что |
8 |
n |
2 N |
1 |
|
2 + 2 |
|
3 + ::: + (n |
|
1) |
|
n = (n 1)n(n + 1) |
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
4) |
Докажите, что |
8 |
n |
2 N |
|
12 + 32 + 52 + ::: + (2n |
|
1)2 = n(2n 1)(2n + 1) |
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
8 a; b; c 2 N |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
5) Докажите, что |
|
ab + ac + bc 6 a2 + b2 + c2; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
6) Докажите, что |
8 a; b > 0; n 2 N anb + abn 6 an+1 + bn+1; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
7) Докажите, что |
8 a; b > 0; n 2 N (a + b)n 6 |
2n 1(an + bn); |
|
|
||||||||||||||||||
8)Докажите, что 8 n 2 N 22n+1 3n+3 + 1 ... 11;
9)Докажите, что 8 n 2 N 32n + 26n 5 ... 11
10)Докажите, что 8 n 2 N 32n 2n ... 7; 11) Докажите, что 8 n 2 N 32n+1 + 2n+2 ... 7: