vm_labs / Лаб раб 7
.docСанкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
Кафедра МО ЭВМ
Вычислительная математика
Отчет
по выполнению лабораторной работы N7
Преподаватель: Щеголева Н.Л.
Студент группы 4351: Усенко А.В.
Санкт-Петербург, 2006
Постановка задачи
Требуется, используя квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, вычислить значения заданного интеграла и, применив правило Рунге, найти наименьшее значение (наибольшее значение шага ), при котором каждая из указанных формул дает приближенное значение интеграла с погрешностью , не превышающей заданную.
Порядок выполнения работы.
-
Составить программы-функции для вычисления интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона.
-
Составить программу-функцию для вычисления подынтегральной функции.
-
Составить головную программу, содержащую оценку по Рунге погрешности каждой из перечисленных выше квадратурных формул, удваивающих до тех пор, пока погрешность не станет меньше , и осуществляющих печать результатов: значения интеграла и значения для каждой формулы. ( = 0.01; 0.001; 0.0001)
-
Провести вычисления по программе, добиваясь, чтобы результат удовлетворял требуемой точности.
-
Результаты работы оформить в виде краткого отчета, содержащего сравнительную оценку применяемых для вычисления формул.
Вариант задания – 16. Интеграл
Общие сведения
Повышения точности численного интегрирования добиваются путем применения составных формул. Для этого при нахождении определенного интеграла отрезок разбивают на четное число отрезков длины и на каждом из отрезков длины применяют соответствующую формулу. Таким образом получают составные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
На сетке , , , составные формулы имеют следующий вид:
формула прямоугольников
;
формула трапеций
;
формула Симпсона
,
где - остаточные члены. При приближенные значения интегралов для всех трех формул (в предположении отсутствия погрешностей округления) стремятся к точному значению интеграла [1,7,8].
Для практической оценки погрешности квадратурной можно использовать правило Рунге. Для этого проводят вычисления на сетках с шагом и , получают приближенные значения интеграла и и за окончательные значения интеграла принимают величины:
- для формулы прямоугольников;
- для формулы трапеций;
- для формулы Симпсона.
За погрешность приближенного значения интеграла для формул прямоугольников и трапеций тогда принимают величину , а для формулы Симпсона .
Результаты вычислений
Метод прямоугольников |
************ Rectangle ***************** Eps = 0.0100 N I(n) I(n/2) |I(n)-I(n/2)|/3 4 -0.084814 -0.080096 0.001573
************ Rectangle ***************** Eps = 0.0010 N I(n) I(n/2) |I(n)-I(n/2)|/3 4 -0.084814 -0.080096 0.001573 8 -0.086013 -0.084814 0.000399
************ Rectangle ***************** Eps = 0.0001 N I(n) I(n/2) |I(n)-I(n/2)|/3 4 -0.084814 -0.080096 0.001573 8 -0.086013 -0.084814 0.000399 16 -0.086313 -0.086013 0.000100 32 -0.086389 -0.086313 0.000025
|
Метод трапеций |
************** Trapec ****************** Eps = 0.0100 N I(n) I(n/2) |I(n)-I(n/2)|/3 4 -0.089618 -0.099141 0.003174
************** Trapec ****************** Eps = 0.0010 N I(n) I(n/2) |I(n)-I(n/2)|/3 4 -0.089618 -0.099141 0.003174 8 -0.087216 -0.089618 0.000801
************** Trapec ****************** Eps = 0.0001 N I(n) I(n/2) |I(n)-I(n/2)|/3 4 -0.089618 -0.099141 0.003174 8 -0.087216 -0.089618 0.000801 16 -0.086614 -0.087216 0.000201 32 -0.086464 -0.086614 0.000050
|
Метод Симпсона |
************** Simpson ***************** Eps = 0.0100 N I(n) I(n/2) |I(n)-I(n/2)|/3 4 -0.076183 0.000000 0.005079
************** Simpson ***************** Eps = 0.0010 N I(n) I(n/2) |I(n)-I(n/2)|/3 4 -0.076183 0.000000 0.005079 8 -0.085149 -0.076183 0.000598
************** Simpson ***************** Eps = 0.0001 N I(n) I(n/2) |I(n)-I(n/2)|/3 4 -0.076183 0.000000 0.005079 8 -0.085149 -0.076183 0.000598 16 -0.086256 -0.085149 0.000074
|
Вывод
Как видно из результатов вычислений, методы прямоугольников и трапеций имеют сходную точность, тогда как метод Симпсона оказался самым точным. Формулы прямоугольников и трапеций дают результат, сильно зависящий от величины шага h, что сказывается на точности вычисления определенного интеграла особенно в тех случаях, когда функция имеет немонотонный характер. При использовании вместо отрезков прямых, заменяющих криволинейные фрагменты графика функции f(x), фрагментов парабол, проводимых через три соседних точки графика(подобная геометрическая интерпретация лежит в основе метода Симпсона для вычисления определенного интеграла) точность вычислений становится заметно выше даже при большей величине шага h.