vm_labs / Лаб раб 8

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Кафедра МО ЭВМ

Вычислительная математика

Отчет

по выполнению лабораторной работы N8

Преподаватель: Щеголева Н.Л.

Студент группы 4351: Усенко А.В.

Санкт-Петербург, 2006

Постановка задачи

В лабораторной работе требуется, используя квадратурную формулу Гаусса наивысшего порядка точности, вычислить приближенное значение заданного интеграла.

Интеграл предлагается вычислить по квадратурной формуле Гаусса с восемью узлами:

, ;

,;

,;

,.

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Составить программу-функцию для вычисления интеграла по формуле Гаусса.

2. Составить программу-функцию для вычисления значений подынтегральной функции.

3. Составить головную программу, содержащую обращение к вычислительным процедурам и осуществляющую печать результатов.

4. Результаты работы оформить в виде краткого отчета, содержащего характеристику используемого метода вычислений, его точности и полученное значение интеграла.

Вариант задания – 16. Интеграл

Общие сведения

В квадратурной формуле Гаусса

узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Для приближенного вычисления интеграла по конечному отрезку выполняется замена переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид

,

где ; - узлы квадратурной формулы Гаусса; - гауссовы коэффициенты .

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов.

Результаты вычислений

x=-0.96028986 a=0.10122854 I=0.09826770

x=-0.79666648 a=0.22238103 I=0.28965773

x=-0.52553242 a=0.31370664 I=0.51212621

x=-0.18343464 a=0.36268378 I=0.71530029

x=0.18343464 a=0.36268378 I=0.87438030

x=0.52553242 a=0.31370664 I=0.98457512

x=0.79666648 a=0.22238103 I=1.05030614

x=0.96028986 a=0.10122854 I=1.07730111

Integral I = 0.53865056

Вывод

Оценив результат, можно сделать вывод, что вычисление интегралов с помощью квадратурных формул Гаусса дает очень высокую точность. Различия в первых восьми знаках не выявлено. При использовании n узлов гарантируется, что формула будет точна для полиномов максимальной степени 2n-1. У нас 8 узлов – следовательно формула точна для полиномов до 15-ой степени включительно. Точность этого метода вычисления интегралов в разы выше, чем для методов прямоугольников, трапеций и Симпсона, где функция интерполировалась полиномами степени не выше 2-ой.