Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1185_matstat / ТВиМС2.doc
Скачиваний:
19
Добавлен:
09.02.2015
Размер:
735.23 Кб
Скачать

Введение в математическую статистику.

Пусть имеется статистический эксперимент P( P,  ).

Статистическая гипотеза – любое предположение о виде или свойствах теоретического распределения.

Пусть H0 – некоторая гипотеза. Требуется по результатам наблюдений принять гипотезу H0 или одну из предполагаемых альтернативных гипотез. Каждая гипотеза может быть описана как множество точек параметрического множества, для которых соответствующее свойство имеет место. Если гипотеза H имеет вид H:  = *, то она называется простой. В противном случае, соответствующая гипотеза – сложная.

Основной проблемой принятия решения в ходе эксперимента является выбор гипотезы с некоторой достоверностью, поэтому исследователь имеет право на ошибку:

Фактическая

ситуация

Решение исследователя

Принять H0

Принять H1

Верна H0

Верное решение

Ошибка 1-го рода

Верна H1

Ошибка 2-го рода

Верное решение

При этом обычно ошибка 1-го рода является наиболее нежелательной.

Идея подхода Пирсона состоит в том, чтобы ограничить вероятность ошибки 1-го рода некоторым наперед заданным числом , называемым уровнем значимости критерия. При этом вероятность ошибки 2-го рода должна быть по возможности минимальной.

Мощностью критерия в данном случае является функция

() = 1- P(ош. 2-го рода).

Возникает задача:

Sup P(ош. 1-го рода)  ,

() max.

Если решение этой задачи существует, то оно называется равномерно наиболее мощным критерием.

15) Лемма Неймана-Пирсона (рэндомизированный и нерэндомизированный вариант).

Вводится 0<(x)<1,

Где (x) – вероятность отвержения гипотезы,

1-(x) - вероятность принять гипотезу.

Если (x) = 1, xW и

(x) = 0, xW, то критерий нерэндомизированный.

Лемма Неймана-Пирсона ( нерэндомизированный вариант).

В условиях поставленной задачи существует единственный (с точностью до множества нулевой вероятности) наиболее мощный критерий уровня значимости и не зависящий от мощности.

Критическая область: W = {x: > C}

Доказательство:

Докажем, что мощность всех других критериев с W1 меньше мощности критерия с W:

(W)  (W1).

что и требовалось доказать.

Лемма Неймана-Пирсона ( рэндомизированный вариант).

В условиях поставленной задачи существует единственный (с точностью до множества нулевой вероятности) наиболее мощный критерий уровня значимости и не зависящий от мощности.

Данный критерий представляется в виде:

Доказательство:

критерии зависит от уровня значимости и не зависит от мощности, что и требовалось доказать.

16) Применение леммы Неймана-Пирсона к конкретным ситуациям.

17) Одновыборочный и двувыборочный критерий Стъюдента.

Одновыборочный

18) Независимости Xcр и S2 для нормальной выборки.

19) Вывод распределения Стъюдента.

20)Параметрический и непараметрический критерий 2. Примеры применения.

Пусть x1, x2,… xn – выборка наблюдений случайной величины X. Проверяется гипотеза H0, утверждающая, что X имеет функцию распределения FX(x).

Проверка гипотезы H0 при помощи критерия 2 осуществляется по следующей схеме. По выборке наблюдений находят оценки неизвестных параметров предполагаемого закона распределения случайной величины X. Далее, область возможных значений случайной величины X разбивается на r множеств 1, 2,… r, например, r интервалов в случае, когда X – непрерывная случайная величина, или r групп, состоящих из отдельных значений, для дискретной случайной величины X.

Пусть nk – число элементов выборки, принадлежащих множеству k, k=1,2,…r. Очевидно, что . Используя предполагаемый закон распределения случайной величиныX, находят вероятности pk того, что значение X принадлежит множеству k, т.е. pk = P[Xk], k=1,2,…r. Очевидно, что .Полученные результаты можно представить в виде следующей таблицы:

Число наблюдений

Всего

1

2

r

Наблюдаемое

n1

n2

nr

n

Ожидаемое

np1

np2

npr

n

Выборочное значение статистики критерия 2 вычисляется по формуле

Гипотеза H0 согласуется с результатами наблюдений на уровне значимости , если

,

где - квантиль порядка 1-a распределения 2 с r-l-1 степенями свободы, а l - число неизвестных параметров распределения, оцениваемых по выборке; если же , то гипотеза H0 отклоняется.

????

Соседние файлы в папке 1185_matstat