13-09-2013_22-41-52 / ГЛАВА ОИ -ОФ-13

11

ГЛАВА «Интегральное преобразование Лапласа.Операционное Исчисление»

Экзаменационные задачи.

1) Изобразить графики : у1=x²d(x); у2=x²d(x-1); у3=(x-1)²d(x); y3=(x-1)²d(x-1);

2) Вычислить несобственный интеграл , определив его как значение оригинала g? в точке р?

3. Найти изображение периодического прямоугольного сигнала с периодом Т=1.

4. Найти изображение третьей оригинала.

==================================================================

§1 Единичная функция Хевисайда и кусочно-непрерывная функция.

1) “единичная функция Хевисайда” 

Приложения

О́ливер Хе́висайд (англ. Oliver Heaviside; 18 мая 1850 — 3 февраля 1925) — английский учёный-самоучка, инженер, математик и физик. Впервые применил комплексные числа для изучения электрических цепей, разработал технику применения преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений

ЭКЗ-1: Изобразить графики : у1=x²d(x); у2=x²d(x-1); у3=(x-1)²d(x); y3=(x-1)²d(x-1);

ЭКЗ-2: Найти аналитическое выражение периодической ступенчатой функции и её изображение.

2. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку



§2 Оригинал, изображение, преобразование Лапласа, операционное соответствие.

«Функция≡отображение≡оператор»F - однозначное соответствие между множествами S и Y:

Определение 1. Функция f:R®R, f(x) называется оригиналом fÎOr, если :

1. "x<0 f(x)º0 ; 2) f интегрируема (кусочно-непрерывна) на любом конечном промежутке [a,b] 3) экспоненциально ограничена по модулю: "xÎR $M ≥0,a_fÎR:úf(x)ú £ M∙e^a_f^∙x ( f возрастает не быстрее некоторой экспоненты). a_f называется показателем экспоненциального роста оригинала f.

Замечание. В дальнейшем будем представлять/подразумевать функцию – оригинал в виде f(x)∙δ(x).

Примеры.

Функции – оригиналы:

f1(x)=δ(x): ; f2(x)=exp(5x)cos(2x)d(x): | f2(x)|≤1∙e^5x  М₂=1;a₂=5;

cos(x) и jsin(x): Icos|=|j|∙|sinI ≤ 1 Þ M=1; a=0;

 f(x)=exp(x²) – не оригинал, т.к.exp(x²) возрастает БЫСТРЕЕ exp(ax) "aÎR

 Очевидно, что всякая функция, имеющая точки разрыва 2 рода, не является оригиналом.

Пусть f - оригинал: |f(x)|≤M∙e^af∙x. Рассмотрим несобственный интеграл : . Из оценки подынтегральной функции |f(x)e^-px| ≤Me^αx∙e^-px= Me^(α-p)x и сходимости при s>0 следует, что несобственный интеграл сходится абсолютно для s=p-α_f >0  p>α_f и определяет функцию .

Определение 2.

Если f - оригинал с показателем экспоненциального роста a_f , функция, определяемая несобственным интегралом , называется изображением оригинала f.



Определение 3. Однозначное соответствие L, которое функции-оригиналу f ставит в соответствие функцию-изображение оригинала , называется оператором Лапласа или

.

Оператор Лапласа взаимнооднозначен . Пару взаимообратных преобразований называют «операционным соответствием»

Пьер-Симо́н Лапла́с (1749 —1827) — выдающийся французский математик, механик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей.

1785: Лаплас становится действительным членом Парижской Академии наук. В этом же году, на одном из экзаменов, Лаплас высоко оценивает знания 17-летнего абитуриента Бонапарта. Впоследствии их отношения были неизменно тёплыми.

ПРИМЕРЫ.

(1) .

(2)

(3)

(4) L(e^μ∙x)=

 Операционные соответствия:

Из определения L(f) и свойств интеграла следует свойство линейности преобразования Лапласа : L(c1f1(x)+c2f2(x)) = c1L(f1) + c2L(f2)=.

Например, L(2x-3e^2x)=2L(x)-3L(e^2x)=

1

2

Экз-3: Вычислить несобственный интеграл , определив его как значение изображения некоторого оригинала (g?) в некоторой точке (р?).

§3Теорема Смещения

Пусть

Теорема смещения. При умножении оригинала f на экспоненту e^μx аргумент p в изображении заменяется на ( p-b) (смещается на b)

Доказательство.

Следствия :

Оригинал f(x)∙δ(x)	Изображение	L(eμx∙f(x))
1	1/p	1/(p-μ)
X	1/p2	1/(p-μ)2
Xn	n!/pn+1	n!/ (p-μ)n+1
ebx	1/(p-b)	1/(p-b-μ)
sin(bx)	b/(p2+b2)	b/((p-μ)2+b2)
cos(bx)	p/(p2+b2)	(p-μ)/[(p- μ)2+b2]

1

2 найти оригинал по его изображению

3 SOS! 

ТЕОРЕМА (запаздывания). При «смещении» аргумента оригинала на изображение умножается на множитель (при умножении изображения на аргумент x оригинала заменяется на ):

Док-во

.

Замечания.

1) Сравните: т. смещения т. запаздывания

2) Функция Хевисайда как «включатель/ выключатель» позволяет записать аналитическое выражение - для «отрезка функции»:  записать аналитическое выражение для кусочно - непрерывной функции и найти её изображение.



3) Для нахождения изображения кусочно - непрерывного оригинала необходимо каждое слагаемое оригинала привести «к виду теоремы запаздывания»:

Например,

ЭКЗ-3:Найти изображение периодического прямоугольного сигнала с периодом Т=1.

§4 Свертка оригиналов и её изображение. Интегрирование и дифференцирование оригинала.

Пусть .

Определение. Сверткой оригиналов f(x), g(x) называют функцию, задаваемую интегралом



Утверждение. Изображение свертки оригиналов равно произведению изображений этих оригиналов



Замечание.

Теорема о свертке "удобна" при восстановлении оригинала по его изображению.

Например,

Следствие 1. (Теорема «Интегрирование оригинала»)

«Интегрированию оригинала соответствует деление его изображения на “p”:

Доказательство. Положим в т. о свертке

Следствие 2. (Теорема «Дифференцирования оригинала») Если и f'(x) – оригинал, то (при дифференцировании оригинала его изображение умножается на р).

Доказательство.

Экз. Найти изображение третьей производной оригинала.

§5 Дифференцирование изображения оригинала

Пусть

Теорема (дифференцирование изображения оригинала)

Дифференцированию изображения оригинала соответствует умножение оригинала на «-х»:

Док-во:

Следствие. (Дополнение таблицы ОИ : L(x∙f(x)) : L(e^μx ∙[x∙f(x)] :)).

 x∙cos(2x)δ(x); [xcos(2x)]∙e^-2xδ(x)

ИДЗ-1 по теме «Операционное исчисление».

Задание.

Вар.	1) f(p)	2)	3) f(x)	4) f(x)
1				xcos(2x)e-2x Двайт - 860. 07

1. Найти оригинал f(x) по заданному его изображению f(p), разложив рациональную дробь на простейшие или используя теорему о свертке оригиналов.

2. Восстановить оригинал f(x) по заданному его изображению, предварительно приведя к «табличному виду».

3. Изобразить график заданного оригинала f(x), записать его аналитическое выражение, используя теорему запаздывания и функцию Хевисайда, и найти изображение оригинала.

4. Вычислить несобственный интеграл , определив его как значение изображения оригинала g(x) в точке ====================================================================

Пример выполнения.

Вар.	1) f(p)	2) f(p)	3) f(x)	4) f(x)
1				xcos(2x)e-2x Двайт - 860. 07

По теореме о свертке оригиналов:

[4]