Attachments_gmus@yandex.ru_2013-10-25_15-43-02 / Ряды 1-4
.doc
ГЛАВА «ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ»
Экзаменационные задачи по теме «Ряды».
1. записать ч.ряд, вычислить a1,a5, a10; S1, S5, S10 с 3 в.з.ц.
§1 Числовой ряд: основные понятия и примеры.
Пусть задана числовая последовательность Определим другую числовая последовательность
Определение 1. Пара числовых последовательностей
называется числовым рядом, при этом последовательность (1) называется последовательностью членов ряда (an – n-ый член ряда), а (2) - последовательностью
частичных сумм ряда ( Sn- n-ая частичная сумма ряда).
Очевидно, что любая из последовательностей (1), (2) однозначно определяет и другую (т.е. числовой ряд). В дальнейшем выражение будем называть числовым рядом. ------------ЭКЗ-1: записать ч.ряд, вычислить a1,a5, a10; S1, S5, S10 с 3 в.з.ц. ------------------------------------------ Определение 2. Если существует конечный предел частичных сумм ряда , говорят, что «ряд сходится», этот предел называют «суммой ряда» и пишут . В противном случае говорят, что «ряд расходится» .
Примеры.
-
Геометрическая прогрессия со знаменателем “q”
Известно::
ряд сходится при |q|<1 к сумме ряда S= b1/(1-q) (сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии) и расходится, если |q| > 1.
(2)
(3)
§2 Свойства сходящегося числового ряда.
Из определения сходимости числового ряда и свойств пределов следуют очевидные свойства числовых рядов:
3.
4. Так как
Числовой ряд и «остаток ряда» сходятся и расходятся одновременно.
Следствие. Для сходящегося ряда верно числовое равенство
,
при этом . Следовательно, частичная сумма сходящегося ряда даёт «приближенное значение» суммы ряда
АЛГОРИТМ исследования числового ряда:
[1] исследование сходимости/ расходимости ряда:
[2] Получение некоторой «оценки» суммы сходящегося ряда.
Задача [1] решается либо «по определению» ,
либо с помощью «признаков сходимости/расходимости» рядов – теорем, устанавливающих связь между сходимостью/расходимостью ряда и свойствами членов ряда.
Теорема (необходимый признак сходимости и достаточный признак расходимости ч. ряда).
(а) Если числовой ряд сходится, предел модуля его общего члена равен нулю;
(б) если предел модуля общего члена ряда не равен нулю, ряд расходится
Док-во.
(а) Пусть ч.р. сходится ч.т.д.
(б) докажем “методом от противного”. Пусть ??
Предположим, что ряд сх. (*), , что противоречит условиюпредположение (*) не верно ряд расходится; ч.т.д.
[2] Для получения «оценки» суммы сходящегося числового ряда используется числовое равенство S=SK+RK:
Определение. Если ряд сходится и получена оценка «сверху» суммы его остатка
интервал, «накрывающий» сумму ряда S, называют “оценкой суммы ряда с погрешностью 2ΔК» .
Правила вычислений: 1) Все промежуточные вычисления выполняются в «полной разрядной сетке»: SK, ΔK, SK ± ΔK 2) Левый конец интервала округляется «по недостатку» , правый – «по избытку»:
§3 Положительные числовые ряды. Интегральный признак сходимости. Интегральная оценка суммы ряда.
Рассмотрим «положительный числовой ряд» . Очевидны
Свойства положительного ряда.
1. Частичные суммы положительного ряда монотонно возрастают
,
-
Известно, что монотонно-возрастающая и ограниченная сверху функция имеет предел.
Следовательно, ряд сходится , если его частичные суммы ограничены СВЕРХУ, т.е. , причем имеют место неравенства
Рассмотрим положительную функцию и ее сужение на множество натуральных чисел N – положительную последовательность и сравним несобственный интеграл и числовой ряд .
По определению сходимости несобственного интеграла и числового ряда
Утверждение (интегральный признак сходимости положительного числового ряда).
Положительный числовой ряд :
(1) сходится и расходится одновременно с несобственным интегралом ,
(2) для сходящегося ряда имеет место
- «интегральная оценка» суммы его остатка и
-.
Следствия.
-
Для сходящегося положительного ряда «-оценка» его суммы имеет вид
-
Известно,что
Пример . Найти с погрешностью сумму ряда .
Используя интегральную оценку суммы остатка ряда, решим неравенство
------------------------------------------------
ЭКЗ-2 Найти погрешность приближенной формулы и записать соответствующую оценку суммы ряда . Сравнить полученную оценку с оценкой
. -------------------------------------------
§4 Положительные числовые ряды. Признаки сравнения.
Теорема1(признак сравнения). Если , то : (1) из сходимости рядаследует сходимость ряда и (2) из расходимости ряда следует расходимость ряда.
Док-во.
(1) Пусть ряд
-
Доказать самостоятельно методом «от противного».
Пример.
Утверждение 2 (предельный признак сравнения).
Если существует конечный предел отношения членов положительных рядов , ряды сходятся и расходятся одновременно.
------------------------------------------------------------------------
Замечание. Предельный признак сравнения является основным «инструментом» исследования сходимости и расходимости положительных рядов, общий член которых содержит только степенные функции: ;
(Для установления соотношения равносильности из каждого множителя, представляющего сумму слагаемых, рекомендуется вынести “старшее слагаемое”.)
Примеры.
3.