9. Дифракция света. Метод зон Френеля

Для определения результирующей амплитуды всех волн в точке наблюдения Френель предложил метод разбиения волновой поверхности на кольцевые зоны, называемые зонами Френеля.

Рассмотрим применение этого метода в случае плоской волны. Пусть плоский фронт волны F в некоторый момент времени находится на расстоянии |OP| = b от точки наблюдения Р (рис. 1.20). Все точки фронта волны согласно принципу Гюйгенса–Френеля испускают вторичные сферические волны, которые распространяются по всем направлениям и через некоторое время достигают точки наблюдения Р. Результирующая амплитуда колебаний в этой точке определяется векторной суммой амплитуд всех вторичных волн.

Поскольку волновой фронт F плоский, колебания всех его точек имеют одинаковое направление и происходят в одной фазе. Вместе с тем все точки фронта F находятся на разном расстоянии от точки Р. Выбирая точку Р в качестве центра, строим ряд концентрических сфер, радиусы которых начинаются с b и увеличиваются последовательно на половину длины волны λ/2. При пересечении с фронтом волны F эти сферы образуют на нем концентрические окружности, и на данном фронте появляются кольцевые зоны (зоны Френеля) с радиусами ρ1, ρ2, ρ3, ... На рис. 1.20 изображение зон Френеля развернуто на 90° так, как они выглядят из точки Р.

Так как |OA| = ρ1, |OA|² = |AP|² – |OP|², b, радиусы зон Френеля равны

Таким образом, радиус k-й зоны Френеля

Амплитуды колебаний от зон Френеля пропорциональны их площадям. Площадь первой зоны (круг)

Площадь второй зоны (кольцо)

Площадь третьей зоны (кольцо)

Следовательно, площади зон Френеля примерно одинаковы и равны

S_k  b

Согласно принципу Гюйгенса–Френеля каждая зона Френеля служит источником вторичных волн. Их амплитуды примерно одинаковы, так как площади зон равны. При этом колебания, возбуждаемые в точке Р двумя соседними зонами, противоположны по фазе, поскольку разность хода соответствующих волн от этих зон до точки наблюдения Р равна λ/2. Поэтому при сложении в точке Р колебания от соседних зон должны ослаблять друг друга. В связи с этим амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть записана в виде знакопеременного ряда

A = A₁ – A₂ + A₃ – A₄ + …

где А_k – амплитуда колебания в точке P, возбуждаемого действием k-й зоны Френеля. В этом выражении все амплитуды от нечетных зон входят со знаком «плюс», а от четных – со знаком «минус».

Расстояние от k-й зоны до точки P медленно возрастает с увеличением номера зоны k. Следовательно, амплитуды А_k монотонно убывают с увеличением k и образуют монотонно убывающую последовательность

Вследствие монотонного и медленного убывания A_k можно с высокой степенью точности положить, что амплитуда колебаний от зоны с номером k равна среднему арифметическому амплитуд колебаний от двух соседних зон Френеля:

Представляя нечетные амплитуды в виде полусуммы: А_k= А_k/2 + А_k/2, записываем выражение амплитуды результирующего колебания в виде

Согласно предыдущей формуле, все выражения в круглых скобках равны нулю, так что

т. е. результирующая амплитуда, создаваемая в точке наблюдения Р всей поверхностью волнового фронта F, равна половине амплитуды, создаваемой лишь центральной (первой) зоной Френеля. Таким образом, колебания, вызываемые в точке P волновой поверхностью F, имеют такую же амплитуду, как если бы действовала только половина первой (центральной) зоны.

Оценим размеры зон Френеля. Пусть дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии L = 1 м от препятствия, а длина волны света λ = 600 нм (красный свет). Тогда радиус первой зоны Френеля

Следовательно, до точки наблюдения P свет распространяется как бы в узком канале, сечение которого равно половине первой (центральной) зоны Френеля, что соответствует прямолинейному распространению света.

Если на пути волны поставить диафрагму с отверстием, оставляющим открытым только центральную (первую) зону Френеля, амплитуда в точке P будет равна A1, что в два раза больше амплитуды, создаваемой всем волновым фронтом в отсутствие диафрагмы (A₁/2). Соответственно интенсивность света в точке P при наличии диафрагмы будет в четыре раза больше, чем при ее отсутствии. Это не противоречит закону сохранения энергии – просто произошло ее перераспределение.