Лабораторна робота №2

Побудова математичної моделі статичного об'єкта управління методом повного факторного експерименту.

Мета: освоїти методику активного експерименту та статистичного аналізу результатів експерименту.

Задача № 4.

n1=1; n2=2

Проведений повний факторний експеримент на тепловому об’єкті, що має два фактори: X₁ – змінювання величини напруги, що подається на електронагрівач і X₂ – змінювання швидкості обертання вентилятора, який подає в об’єкт холодне повітря. Повний факторний експеримент здійснюється в трьох повторностях. Базові дані наведені в Таблиці 1

Таблиця 1.

№ експ	План			Дані експерименту				Розрахункові значення
	X0	X1	X2	YU1	YU2	YU3	Ỳ		Ŷ
1	+1	+1	+1	51	48	50
2	+1	-1	+1	36	37,5	35
3	+1	+1	-1	58	62	60
4	+1	-1	-1	42	39,5	41

Значення функцій відгуку Y^* для кожного варіанта визначаються таким чином:

Y* = Y_uk * 1,n₁ + n₂ ,

n1=1; n2=2

тому Y* = Y_uk * 1, 2

де Y_uk - табличне значення функцій відгуку; k – номер повторності експерименту.

Для нашого варіанту таблиця матиме вигляд:

№ експ	План			Дані експерименту				Розрахункові значення
	X0	X1	X2	YU1	YU2	YU3	Ỳ		Ŷ
1	+1	+1	+1	61,2	57,6	60	73,44		61,2
2	+1	-1	+1	43,2	45	42	49,68		41,4
3	+1	+1	-1	69,6	74,4	72	84,96		70,8
4	+1	-1	-1	50,4	47,4	49,2	61,2		51

Визначити параметри лінійної математичної моделі

Y = b₀ + b_1* x₁ + b_2* x₂

Провести аналіз отриманих результатів на відтворюваність експериментальних даних, на значимість коефіцієнтів рівняння регресії, на адекватність математичної моделі.

Розв’язок.

Всі обчислення згідно наведених нижче формул виконуємо з допомогою програмного засобу Microsoft Excel

Метод повного факторного експерименту дає можливість отримати математичний опис досліджуваного процесу в деякій локальній області факторного простору, що лежить в околі вибраної точки з координатами (х01, х02, ··· ,х0п). Перенесемо початок координат факторного простору в цю точку. З цією метою

- масштаб по осі Х

Деколи величину Хі називають кодованою змінною

Метод повного факторного експерименту служить для отримання математичного опису процесу в вигляді відрізку ряду Тейлора . При цьому, зазвичай, обмежуються лінійною частиною розкладу і членами, що містять добуток факторів в першому ступені. Таким чином вдається знайти рівняння локальної ділянки поверхні відгуку, якщо її кривизна не надто велика.

Слід відмітити, що коефіцієнти шуканого рівняння визначаються на основі експериментальних даних і, як наслідок, несуть в собі відбиток похибки експерименту. Щоб підкреслити цю обставину, в рівнянні замість символів що означають істині значення коефіцієнтів, пишуть, маючи на увазі під цим відповідні вибіркові оцінки.

Отож, з допомогою повного факторного експерименту шукають математичний опис процесу у вигляді рівняння його називають рівнянням регресії першого ступеня, а коефіцієнти що до нього входять - коефіцієнтами регресії.

Для зручності обчислень коефіцієнтів регресії всі фактори в ході повного факторного експерименту варіюють на двох рівнях, що відповідають значенням кодованих змінних +1 і -1.

Таким чином, повним факторним експериментом називається система дослідів, яка містить всі можливі комбінації рівнів варіювання факторів.

Лінійний коефіцієнт для кожного фактора розраховується за формулою:

у цьому випадку Nu=4 за умови: Y = b0 + b1* x1 + b2* x2

Y1 = + * (+1) +(-4,8)* (+1)= 61,2

Y2 = + * (-1) +(-4,8)* (+1)= 41,4

Y3 = + * (+1) +(-4,8)* (-1)= 70,8

Y4 = + * (-1) +(-4,8)* (-1)= 51

Розраховуємо середню дисперсію відтворення процесу:

Підставивши табличні значення в формулу (2) знаходимо :

Знаходимо середнє квадратичне відношення для коефіцієнта регресії:

Проведемо оцінку за критерієм Кохрена:

Дисперсію кожної серії обчислимо за формулою:

в данному випадку n=3

В таблиці №7 з книги „Планування експерименту в хімічній технології” знаходимо табличне значення критерію Кохрена при похибці q=0,05

Висновок: дисперсії однорідні тому, що табличне значення більше ніж розрахункове . Діапазон можливих випадкових змін коефіцієнта регресії обчислюємо за формулою: . Значення критерію Стьюденса беремо з тієї ж книжки табл.№4.

Проведемо оцінку адекватності моделі за допомогою критерію Фішера:

в даному випадку

n=3 N=4 l=3

З тієї ж книжки за табл. №5 знаходимо за координатами

Висновок: виходячи з порівняння можна сказати, що наша модель є адекватною.

Контрольні запитання

1.Особливості активного експерименту.

Активний експеримент передбачає вимірювання та реєстрацію змінних, що входять в модель, після нанесення на об’єкт запланованих дій з метою визначення моделі об’єкта.

Особливості експериментальних досліджень активним методом.

Активний експеримент проводять за такими методами:

1. класичний (або послідовний активний експеримент);

2. метод планування експерименту;

3. нанесення певних дій — тестів на об’єкт управління в процесі управління об’єктом

2.Відмінності в методиці проведення активного експерименту класичним способом та методами планування експерименту.

Класичний метод полягає в тому, що вхідні змінні об’єкта (фактори) в процесі експерименту підтримуються на певних стабільних значеннях рівня. Кількість рівнів залежить від задачі досліджень, виду математичних моделей тощо. Основною особливістю класичного методу є те, що експеримент полягає у послідовному змінюванні від одного рівня до іншого, одного фактору до іншого при стабілізації інших факторів. Такий метод дозволяє отримати математичні моделі з достатньою точністю, але характеризуються значними витратами на експеримент.

3.Яким чином оцінюється відтворюваність експериментальних даних?

Відтворюваність результатів оцінюється за показниками відповідності та відтворюваності при зіставленні даних 2-х досліджень, проведених в однакових умовах. Формули їх розрахунку наведені нижче.

де, a – істинно позитивний результат;

b – хибний позитивний результат;

c – хибний негативний результат;

d – істинно негативний результат.

4.Охарактеризуйте методику визначення значущості коефіцієнтів рівняння регресії.

з допомогою повного факторного експерименту шукають математичний опис процесу у вигляді рівняння його називають рівнянням регресії першого ступеня, а коефіцієнти що до нього входять - коефіцієнтами регресії.

Для зручності обчислень коефіцієнтів регресії всі фактори в ході повного факторного експерименту варіюють на двох рівнях, що відповідають значенням кодованих змінних +1 і -1.

Таким чином, повним факторним експериментом називається система дослідів, яка містить всі можливі комбінації рівнів варіювання факторів.

5.Як встановлюється адекватність отриманих математичних моделей за результатами повного факторного експерименту?

Кількість експериментів, у яких n змінних, k різних факторів та в m повторностях (кількість паралельних дослідів):

M=m*kn .

(для повного дослідження об’єкта з 4-а змінними на 10-ти рівнях в 2-ох повторностях потрібно провести 20 тис. експериментів . А при проведенні повного факторного експерименту для лінійної моделі потрібно провести 32 експерименти (2*22 )).