Добавил:
ac3402546@gmail.com Направление обучения: транспортировка нефти, газа и нефтепродуктов группа ВН (Вечерняя форма обучения) Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Термодинамика и теплопередача в технологических процессах нефтяной и газовой промылшенности

.pdf
Скачиваний:
129
Добавлен:
01.06.2021
Размер:
7.08 Mб
Скачать

Теплопередача в технологических процессах…

141

 

 

емкость тела, Дж/(кг·К); ρ – плотность тела, кг/м3; qv – объемная плотность тепловыделения, Bт/м3; – оператор Лапласа.

Уравнение (2.13) называется дифференциальным уравнением теплопроводности.

В цилиндрических координатах уравнение (2.13) имеет следующий вид:

t

2t

 

1 t

 

1 2t

 

2t

 

q

 

 

 

= a

 

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

+

 

 

 

+

v

,

(2.14)

∂τ

r

2

 

 

 

 

2

 

∂ϕ

2

z

2

cр ρ

 

 

 

r r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где r – радиус вектор; ϕ – угол наклона радиуса-вектора.

Чтобы получить конкретное решение уравнения (2.13) для рассматриваемого случая, необходимо ввести полное математическое описание данного конкретного процесса теплопроводности. Эти частные особенности называются условиями однозначности или краевыми условиями, включающими:

геометрические условия (форма, размеры тела);

физические условия (физические свойства тела и его параметры);

начальные условия (распределение температуры в теле в начальный момент времени);

граничные условия, определяющие взаимодействие тела с окружающей средой.

Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела, как функция координат и времени

tc = f (x, y,z,τ),

(2.15)

где tc – температура поверхности тела.

В частном случае, если температура поверхности тела постоянна, выражение (2.15) имеет вид tc = idem.

Граничные условия второго рода. Задается распределение плотности теп-

лового потока на поверхности тела, как функция координат и времени

 

qc = f (x, y,z,τ) .

(2.16)

В частном случае, когда плотность теплового потока на поверхности тела остается постоянной, имеем qc = q0 = idem .

Граничные условия третьего рода. Задается температура окружающей среды tж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой (уравнение Ньютона-Рихмана)

q = α (tc tж ) если tс > tж ,

(2.17)

где α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2.К), численно равный плотности теплового потока, подведенного (отведенного) к единице поверхности тела при разности температур между поверхностью тела и окружающей среды в 1 градус.

142

Часть 2

 

 

Из закона сохранение энергии следует, что теплота, подведенная (отведенная) к поверхности тела, распространяется в теле по закону Фурье. Следовательно, на основании уравнений (2.8) и (2.17) имеем

 

 

t

 

 

α (tc

tж ) = −λ

 

.

(2.18)

 

 

 

n

п

 

 

 

 

 

 

Индекс «п» означает, что температурный градиент относится к поверхности тела.

Выражение (2.18) можно записать в виде

 

t

= −

α

(tс

tж ) .

(2.19)

 

 

 

λ

 

 

n

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (2.19) является аналитическим выражением граничных условий третьего рода.

Граничные условия четвертого рода. Отражают условия теплообмена системы тел, имеющих различные значения коэффициентов теплопроводности. Между телами предполагается идеальный контакт. Тогда, при постоянной тепловом потоке, получаем

λ1

 

t1

 

 

= λ2

 

t2

 

,

(2.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

с

 

 

n

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где λ1 , λ2 – коэффициенты теплопроводности первого и второго тела, соответственно.

Теплопроводность плоской стенки

t

При установившемся (стационарном) тепловом режиме ∂τ = 0 и уравнение (2.13) принимает вид

a 2t +

 

qv

= 0

или 2t +

qv

= 0 .

(2.21)

c

р

ρ

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Развернутая форма оператора 2t зависит от выбранной системы координат. При отсутствии внутренних источников теплоты qv = 0 и уравнение теплопроводности при стационарном температурном поле запишется в виде

2t = 0 .

(2.21а)

Определим тепловой поток через изотропную плоскую стенку. Предполагая, что температура меняется только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (рисунок 2.2а) имеем:

Теплопередача в технологических процессах…

143

 

 

t = t = 0 y z

и

2t = d2t = 0 .

x2 dx2

(2.22)

(2.22а)

а

б

Рис. 2.2. Теплопроводность плоской однослойной (а) и многослойной (б) стенки

Интегрируя уравнение (2.22а), имеем

 

 

 

 

dt

= C .

 

(2.23)

 

 

 

 

dx

1

 

 

 

 

 

 

Второе интегрирование дает

 

 

 

t = C x + C .

(2.24)

1

 

 

2

 

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий первого рода:

при

x = 0,

t = tc1,

C2

= tc1,

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.25)

при

x = δ,

t = t ,

C

= −

tc1 tc2

.

 

 

 

c2

1

 

 

δ

 

 

 

 

 

 

144

Часть 2

 

 

Подставляя постоянные интегрирования в соотношение (2.24), получим уравнение распределения температуры в плоской стенке

t = t

tc1 tc2

x .

(2.26)

δ

c1

 

 

 

 

 

Из выражения (2.26) следует, что температура в плоской стенке изменяется по линейному закону.

t

По закону Фурье q = −λ n и, с учетом формул (2.23) и (2.25), получим

q =

λ

(tc1 tc2 ) .

(2.27)

 

δ

 

 

Тепловой поток определяется следующим образом

Q = q F =

λ

(t

 

t ) F .

(2.28)

 

δ

 

c1

c2

 

 

 

 

 

λ

Отношение δ называется тепловой проводимостью плоской стенки. Обрат-

δ

ная величина λ представляет собой удельное термическое сопротивление пло-

ской стенки.

Уравнения (2.27) и (2.28) могут быть представлены следующим образом:

q =

tс1 tс2

,

 

(2.29)

 

 

 

 

δ

 

 

 

 

λ

 

Q = q F =

tс1 tс2

.

(2.30)

 

 

 

 

 

δ

 

λ F

Таким образом, можно утверждать, что величина удельного или полного теплового потока зависит от термического сопротивления стенки.

Рассмотрим передачу теплоты теплопроводностью через плоскую трехслойную стенку (рисунок 2.2б) при условиях: толщина слоев стенки δ1 , δ2 , δ3 ; коэффициенты теплопроводности материалов соответственно λ1 , λ2 , λ3 ; контакт между стенками идеальный и температуры на границе смежных слоев одинаковы. Перенос теплоты происходит в стационарных условиях – плотность теплового потока по всем слоям стенки имеет одно и то же значение (q = idem).

Теплопередача в технологических процессах…

145

 

 

Запишем выражения плотности теплового потока через стенки

q =

λ1

(tс1 tс2 ) =

λ2

(tс3 tс2 ) =

λ3

(tс3 tс4 )

(2.31)

δ

δ

2

δ

3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Выделим из этого ряда равенств разности температур (падение температуры по слоям стенки):

tс1 tс2 =

tс2 tс3 =

tс3 tс4 =

q

 

δ1

= q R ;

 

λ1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

q

 

δ2

 

= q R ;

 

λ2

 

 

2

 

 

 

 

 

q

δ3

 

= q R .

 

 

 

λ3

3

 

 

 

(2.32)

(2.32а)

(2.32б)

Складывая левые и правые части уравнений, получаем: слева – изменение температуры в стенке tс1 tс4 , справа – произведение плотности теплового потока q и термического сопротивления трехслойной плоской стенки

R1 + R2 + R3 = R

 

 

δ

1

 

δ

2

 

δ

3

 

= q (R1 + R2 + R3 ).

 

tс1 tс 4

=

q

 

+

 

+

 

 

(2.33)

λ

 

λ 2

 

 

 

 

 

1

 

 

λ 3

 

 

Таким образом, для плотности теплового потока через плоскую трехслойную стенку получим следующее выражение:

q =

 

 

tс1 tс4

 

 

=

 

tс1 tс4

 

.

(2.34)

δ1

 

δ2

 

 

 

 

 

 

 

+

+

δ3 R

+ R + R

 

 

λ

 

λ

 

λ

 

1

2

3

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

В общем случае для многослойной плоской стенки, состоящей из n – слоев, это выражение для плотности теплового потока запишется так

q =

tс1 tс(n+1)

=

tс1 tс(n+1)

=

tс1 tс(n+1)

,

(2.35)

δi

Ri

 

 

 

 

R

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

λ

i

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где R – общее термическое сопротивление теплопроводностью многослойной плоской стенки.

146

Часть 2

 

 

Как следует из соотношения (2.35), плотность теплового потока прямо пропорциональна разности температур tс1 tс(n+1) и обратно пропорциональна термическому сопротивлению стенки R.

Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассмотрим процесс передачи теплоты теплопроводностью через цилиндрическую однослойную стенку (рисунок 2.3) с внутренним диаметром d1=2r1 и наружным диаметром d2=2r2 в условиях стационарного температурного поля

t

 

 

 

= 0 . Внутренние источники теплоты отсутствуют (qv=0).

 

∂τ

 

Рис. 2.3. Теплопроводность цилиндрической стенки

Дифференциальное уравнение теплопроводности через цилиндрическую стенку (2.14) в рассматриваемых условиях имеет вид

t

2t

 

1 t

 

1 2t

 

2t

 

 

 

= a

 

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

+

 

 

 

=0.

(2.36)

∂τ

r

2

r r

r

2

 

∂ϕ

2

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Температуры на наружной и внутренней поверхности цилиндрической стенки неизменны и ось z совмещена с осью цилиндра

2t

= 0

и

2t

= 0 .

(2.36а)

∂ϕ2

z2

 

 

 

 

Теплопередача в технологических процессах…

147

 

 

В данном случае температура изменяется только по радиусу

 

 

 

d2t

+

1

 

dt

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2r r dr

Граничные условия:

 

 

 

 

 

 

 

при

r = r1

t = tс1 ,

при

r = r2

t = tс2 .

(2.37)

(2.38)

(2.38а)

Для решения уравнения (2.37) введем новую переменную

u =

dt

, тогда

 

 

 

 

 

 

 

dr

уравнение (2.37) запишется в виде

 

 

 

 

du

+

u

= 0 .

(2.39)

 

 

 

 

dr r

 

 

 

Интегрируя соотношение (2.39), получим

 

 

 

ln u + ln r = ln C1 .

(2.40)

Потенцируя выражение (2.40) и переходя к первоначальным переменным,

получаем

 

 

 

dt = C

dr

.

(2.41)

 

1

r

 

После интегрирования имеем

 

 

 

t = C1 lnr +C2 .

(2.42)

Постоянные интегрирования С1 и С2 можно определить из граничных условий (2.38):

 

tc1 = C1 lnr1 +C2 ;

tc2 = C1 lnr2 +C2 .

(2.43)

Решая уравнение (2.43) относительно С1 и С2, найдем:

 

С1

=

tc1 tc2

;

С2

= tc1 (tc1 tc2 )

ln r1

.

(2.43а)

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

ln

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

1

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя полученные значения С1 и С2 в уравнение (2.42), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t = tc1 (tc1 tc2 )

r1

.

 

 

 

 

(2.44)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

148

Часть 2

 

 

Выражение температурного поля (2.44) представляет собой уравнение логарифмической кривой.

То обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим.

Вслучае плоской стенки плотность теплового потока q остается одинаковой для всех изотермических поверхностей.

Вслучае цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность будет величиной переменой, так как величина площади поверхности зависит от радиуса.

Для определения теплового потока через цилиндрическую стенку воспользуемся законом Фурье

Q = −λ

t

F .

(2.45)

 

 

r

 

Подставляя в уравнение Фурье значение градиента температуры (2.41) получим (учитывая, что F = 2 π r ) выражение для теплового потока через цилиндрическую стенку

 

Q =

2 π λ ℓ (tc1 tc2 )

 

 

 

 

(2.46)

 

 

 

ln

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q =

2 π λ ℓ (tc1

tc2 )

=

 

π ℓ (tс1

tс2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(2.46а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

d2

 

 

 

 

 

1

ln

d2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

2λ

 

d

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Тепловой поток может быть отнесен либо к единице внутренней или внешней поверхности, либо к единице длины.

Тепловой поток через единицу площади внутренней поверхности (q1)

q =

Q

 

=

(tc1

tc2 )

 

 

 

 

 

 

.

(2.47)

π d

 

 

1

 

1

 

 

 

d2

 

 

1

 

 

d1

2λ ln d

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тепловой поток через единицу площади внешней поверхности (q2)

q =

Q

 

=

(tc1 tc2 )

 

 

 

 

 

 

 

,

(2.48)

π d

 

 

 

1

 

2

 

 

 

d2

 

 

 

2

 

 

d2

2λ ln d

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теплопередача в технологических процессах…

149

 

 

Тепловой поток через единицу длины цилиндрической стенки ( q)

q =

Q

=

π (tc1

tc2 )

 

 

 

 

 

 

,

(2.49)

 

 

 

 

 

 

 

1

ln

d2

 

 

 

 

 

 

 

2λ

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Тепловой поток, отнесенный к единице длины

q, имеет размерность Вт/м

и называется линейным тепловым потоком.

Рассуждая аналогично, как при получении расчетного соотношения теплового потока для многослойной плоской стенки, можно получить выражение для определения линейного теплового потока в случае многослойной цилиндрической стенки

 

 

 

 

 

 

 

=

π

(tc1

 

tc(n+1) )

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

,

(2.50)

 

 

 

 

 

i=n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

di+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

i

 

 

d

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=n

1

 

 

di+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где величина

 

ln

называется линейным термическим сопротивлением

2λ

 

 

i=1

i

 

d

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теплопроводности многослойной цилиндрической стенки.

Из уравнения (2.50) может быть определена температура на границе любых

двух слоев

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

j

1

 

d

i+1

 

 

tc( j+1)

= tc1

 

l

 

 

ln

 

.

(2.51)

 

π

i

di

 

 

 

2

i=1

 

 

 

Теплопроводность криволинейной стенки

При передаче теплоты через произвольные криволинейные стенки тепловой поток определяется по такому же уравнению, как и для плоской стенки, только в выражение вводится расчетная поверхность теплопередачи

Q =

λ

Fm (tc1 tc2 ).

(2.52)

 

δ

 

 

Расчетная площадь поверхности теплопроводности Fm определяется в зависимости от формы стенки, через которую происходит передача теплоты:

F + F

для плоской стенки Fm = Fma = 1 2 ; 2

для цилиндрической стенки Fm = FmL = (F2 F1 )ln(F2 F1 );

для сферической стенки Fm = FmG = F1 F2 .

150

Часть 2

 

 

Тепловой поток через многослойные криволинейные стенки определяется по уравнению [17]

Q =

tс1

tс(n+1)

,

(2.53)

 

 

λ δFi

 

 

n

 

 

 

 

i=1

i mi

 

где δi , λi , Fmi – толщина, коэффициент теплопроводности и расчетная поверхность рассматриваемого i слоя.

Уравнения (2.52) и (2.53) называются обобщенными уравнениями стационарной теплопроводности.

Подставляя в уравнения (2.52) или (2.53) значения расчетных поверхностей можно получить уравнение теплопроводности для плоской, цилиндрической или сферической стенки.

2.3. Теплопроводность при нестационарном температурном поле

Решить задачу теплопроводности при нестационарном температурном поле – значить установить зависимость между температурой t, временем τ и координатами тела x, y, z. Такая зависимость получается решением дифференциального уравнения теплопроводности при определенных условиях однозначности.

При отсутствии внутренних источников тепла дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

t

 

2t

 

2t

 

2t

 

 

= a 2t

= a

 

 

+

 

 

+

 

 

.

(2.54)

∂τ

x

2

y

2

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (2.54) является линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Решение такого уравнения представляет собой сумму частных решений, в которых постоянные интегрирования Сi имеют определенные значения. Соответствующим подбором постоянных Ci, удовлетворяют решение исходному дифференциальному уравнению и условиям однозначности.

Дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных решаются как классическими методами (методы разделения переменных и источников, преобразования Лапласа), так и численными методами [5, 15, 20].

Метод разделения переменных. По этому методу решается уравнение теплопроводности, а затем, исходя из начальных и граничных условий, определяются постоянные в общем решении. Частное решение выражается произведением двух функций, одна из которых U(τ) зависит только от времени τ, а другая P(x, y, z) зависит только от координат

t = C U(τ) P(x, y, z) ,

(2.55)

где С – произвольная постоянная.