Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

Чтобы определить среднюю величину ударной силы (реакции), надо дополнительно знать время удара т, которое можно найти эк­ спериментально.

Пример. При падении стального шара массой т = 1 кг с высоты Н—3 м яа

стальную плиту (4=0,56) получим u= Y 2 g H ~ 7 ,7 м/с и ц=Л»=4,3 м/с. Ударный импульс S = m o(l+ A )* 3 12 Н-с.

Если время удара т=0,0005 с, то средняя величина ударной реакции ЛГЗ(=

масс тела а начале удара образует с нормалью к плите угол а , а скорость и в конце удара — угол Р (рис. 377). Тогда уравнение (154) в про­ екциях на касательную т и нормаль п даст

М (“ * ~ t4 ) = 0 , M (un— on) = S.

Коэффициент восстановления в данном случае равен отношению модулей |и„| и |и„|, так как удар происходит только по направлению нормали к поверх­ ности (влиянием трения пренебрегаем). Тогда с учетом знаков проекций получим u „= —kv„. В результате окон­ чательно находим:

=Un= — kv„, S = M K | ( 1 + A ) .

Из полученных уравнений можно найти модуль и направление скорости в кон­ це удара и ударный импульс, если величины М , о, а и it известны. В частности, из первого равенства, замечая, что vz = |и„| tg а и ых = |u„l tg р, получаем

откуда

* = 1“ л I/I yn l = < g a / t g р.

Следовательно, при косом ударе отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения равно коэффициенту восстановления. Так как А< 1, то а < р , т. е. угол падения всегда меньше угла отражения.

| 155. ПРЯМОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР ДВУХ ТЕЛ (УДАР ШАРОВ)

При соударении двух тел удар называется прямым и централь­ ным, когда общая нормаль к поверхностям тел в точке касания про­ ходит через их центры масс и когда скорости центров масс в на­ чале удара направлены по этой общей нормали. Таким, в частности, будет удар двух однородных шаров, центры которых до удара дви­ жутся вдоль одной и той же прямой.

Пусть массы соударяющихся тел равны М г и М г, скорости их центров масс в начале удара vx и tiSl а в конце удара иг и иг. Прове­ дем через центры масс Сь С2 координатную ось Сгх, направленную всегда от Сх к С, (рис. 378). Тогда, чтобы произошел удар, должно быть vt^>vtx (иначе первре тело не догонит второе); кроме того, Uix^JUtx, так как ударившее тело не может опередить ударяемое.

Считая М и M t, vlx, vtx и Л известными, найдем и1х и utx. Для этого применим теорему об изменении количества движения к соударяющимся телам, рассматривая их как одну систему. Тогда ударные силы, действующие между телами, будут внутренними и

'LS‘k—0. В результате уравнение (154') дает Qtx=Qtx или

Второе уравнение найдем из выражения для коэффициента восстановления. При соударении двух тел интенсивность удара (ударный имлульс) зависит не от абсолютного значения скорости

«1*—»«*• Поэтому при ударе двух тел,

Система уравнений (157), (158) и по­ зволяет решить поставленную задачу.

Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, наДдем, составив уравнение (154') для какого-нибудь одного из тел, на­ пример для первого. Тогда

Действующий на тела ударный импульс при этом равен

2МгМ

'!*■ г (« ix— Vtx)-

SfH-A*.

Как видим, при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом.

402

Подставляя в правую часть равенства (163) шесто Т, и Tt их значения из формул (162), а вместо 27\— правую часть выражения (164), получим:

или

Разности (vtx—их) и (vtx—Ux) показывают, насколько уменьшилась при ударе скорость каждого из соударяющихся тел. Их можно назвать потерянными при ударе скоростями. Тогда из формулы (165) вытекает следующая теорема Карно *: кинетическая энергия, поте­ рянная системой тел при абсолютно неупругом ударе, равна той кинетической энергий, которую имела бы система, если бы ее тела двигались с потерянными скоростями.

Если удар не является абсолютно неупругим (ЬфО), то аналогич­ ными преобразованиями можно найти, что кинетическая энергия, потерянная при ударе двух тел, определяется равенством

(165')

Рассмотрим частный случай абсолютно неупругого удара по первоначальнане­ подвижному телу. В этом случае о ,= 0 и

Тогда

■ли

(166)

Формула.(166) показывает, какая энергия остается у. системы после удара. Отметим два интересных предельных случая.

Рис. 380

1. М а с с а у д а р я ю щ е г о т е л а м н о г о б о л ь ш е м а с с ы у д а ­

тик и механик) и видный деятель эпохи французской революции.

404

(166) дает.7*1» Г,. Следовательно, хотя удар и является абсолютно непругим, поте­ ря кинетической энергии при ударе почтя не происходит, и система после удара начнет двигаться почти с той же кинетической энергией, которая у нес была в на­ чале удара.

На практике такой результат нужно, очевидно, получать при забивании гвоз­ дей, свай и т. п. Следовательно, в этом случае нужно, чтобы масса молотка была

энергия расходуется на деформацию соударяющихся тел; по окончании удара тел4 можно считать неподвижными.

Практически такой результат нужно, очевидно, получать при ковке, клепке и т. п. Следовательно, в этих случаях нужно, чтобы масса поковки гместе с нако­ вальней (или масса заклепки вместе с поддержкой) была много бопъше массы мо­ лота (рис. 380, б).

« 157*. УДАР ПО ВРАЩАЮЩЕМУСЯ ТЕЛУ. ЦЕНТР УДАРА

Рассмотрим тело, имеющее ось вращения г (рис. 381). Пусть в некоторый момент времени к телу будет приложен ударный импульс

S.Тогда по уравнению (155')

Кit—Коt —mt (§),

так как моменты относительно оси г импульсивных реакций SA и SB, возникающих в подшипниках, будут равны нулю.

Условимся обозначать угловую скорость тела в начале удара через «о, а в конце удара — через Н. Тогда /( .* = ./ K n —J f i и окончательно получим:

Формула (167) определяет изменение угловой скорости тела при ударе. Из нее следует, что угловая скорость тела за время удара изменяется на величину, равную отношению момента ударного импульса к моменту инерции тела относительно оси вращения.

Задача 187. Колесо 1, вращающееся с угловой скоростью он .ударяет высту­ пом £>i о выступ Dt первоначально неподвижного колеса 2 (рис. 382). Радиусы ко­ лес и их моменты инерции относительно осей Ах и А г соответственно равны гг,

406

rt , Jlf Jt. Определить угловую скорость Q2 колеса 2 в конце удара, «ели коэффи­ циент восстановления при ударе равен к.

Р е ш е н и е . При ударе на колеса действуют численно равные ударные им­

пульсы Sj и S j (S1= S I= S ). Тогда, составив уравнение (167) для каждого из колес и учтя, что ш2= 0 , получим:

Так как скорости точек D, и D 2 в начале и в конце удара равны соответственно p,=ci>i/i, u1= Q 1r1, us= 0 , u.2= Q 2r2, то формула (158'), определяющая коэффициент восстановления при прямом ударе, даст

Исключив из уравнений (а) и (б) (2lt найдем окончательно

И м п у л ь с и в н ы е р е а к ц и и . Найдем, чему равны при ударе импульсив­ ные реакция подпятника А и подшипника В. Проведем оси Ахуг так, чтобы центр масс С тела лежал в плоскости Ауг (рис. 383, а). Изобразим искомые импульсивные реакции их составляющими вдоль этих осей. Пусть АВ=Ь, а расстояние точки С от оси Аг равно а. Составим уравнения (154') в проекциях на все три оси, а уравне­ ния (155') в проекциях на оси Ах и Ау (уравнение в проекции на ось Аг уже ис­ пользовано при получении равенства 167). Поскольку тело за время удара не пере­

мещается, векторы vc и ис будут параллельны оси Ах; следовательно, Q0x= = —Mvc = —.Маш, Qlx= —MaQ, Qy=

= Q * = 0. Используя одновременно при составлении уравнений (155') формулы (34) из § 115, получим

— Ма (Q — ш) = S 4Х+ Sbx+Sic,

0=Si4!/+>SflI( + St,, 0=S/(J4-S„

— J x z ^ —<t>)~ — SBvb + mx (S),

— Jttz (О—») = SBxb + mu (S).

(169)

Уравнения (168) и служат для опреде­ ления неизвестных импульсивных реакций SAx, $ Лу, SAt, SBx, SBy. Входя­ щая сюда разность Q—б> находится из равенства (167).

Ц е н т р у д а р а . Появлеяаепри ударе импульсивных реакций нежела­ тельно, так как может привести к ускорению износа или даже к разрушению ча­

стей конструкции (подшипников, вала и т. п.). Найдем, можно ли произвести удар по телу, закрепленному на оси, так, чтобы импульсивные реакции в подшипниках А и В вообще не возникли. Для э т о т найдем, при каких условиях можно удовлет­

ворить уравнениям (168), положив в них SA= S B= 0. Если SA = S B = 0, то 2-е и 3-е из уравнений (1-68) примут вид^_5у= 0 , S , = 0. Чтобы удовлетворить этим урав­

нениям, надо направить импульс S перпендикулярно плоскости Ауг, т. е. (по при­ нятому условию) плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс тела.

Допустим, что импульс S имеет такое направление (рис. 383, б). Поскольку при

Sa—Sb—О вид системы (168) не Зависит от выбора на оси Аг начала координат, проведем для упрощения дальнейших расчетов плоскость Оху так, чтобы импульс

S лежал в этой плоскости. Тогда тх (S )= т » (S)=0 и последниедва уравнения слстемы (168) при 5 д = 0 дадут j xa= j e t= 0. Это означает (см. J 104), что плоское»

406

Оху, в которой лежит импульс S, должна проходить через такую точку О, для ко­ торой ось г является главной осью инерции тела; в частности, как показано в § 104, условия JXi = J yt= 0 будут выполняться, если плоскость Оху является для тела

Sx= —S (см. рис. 383, б), оно принимает вид Ma(Q—<a)—S. Одновременно урав­

нение (167), так как в нашем случае m ,(S)=Sh, дает /*,(£2—<o)=Sh. Исключая из двух полученных равенств разность Q—со, находим

закрепления этой оси не возникло импульсивных реакций, надо:

1) чтобы ударный импульс был расположен в плоскости Оху, перпендикулярной оси г и проходящей через такую точку О тела, для которой ось г является главной осью инерции (в частности, плоскость Оху может быть плоскостью симметрии тела); 2) чтобы удар был направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через

ось вращения г и центр масс С тела;

3) чтобы ударный импульс был приложен на расстоянии h—Jt /Ma от оси (поту сторону от оси, где находится центр масс).

Точка К, через которую при этом будет проходить ударный импульс, не вызы­ вающий ударных реакций в точках закрепления оси, называется центром удара.

Заметим, что согласно формуле (169) центр удара совпадает с центром качаний физического маятника. Следовательно, как было показано в § 129, h>a, т. е. рас­ стояние от оси до центра удара больше, чем до центра масс. Если ось вращения проходит через центр масс тела, то а = 0 , и мы получаем h—oo. В этом случае цент­ ра удара на конечном расстоянии не существует, и любой удар по телу будет пере­ даваться на ось.

Приложения полученных результатов иллюстрируются следующими приме­ рами.

1. Пря конструировании вращающегося курка (см. задачу 189) или маятнико­ вого копра (прибор в виде маятника для испытания материалов на удар) и т. п. надо ось вращения располагать так, чтобы точка теЛл, производящая удар, была по от­ ношению к этой оси центром удара.

2.При работе ручным молотом его надо брать за рукоятку в таком месте, чтобы точка, которой производится удар, была относительно руки центром удара. В про­ тивном случае руку будет «обжигать».

3.При ударе палкой, чтобы не «обжечь» руку (рис. 384), надо ударять тем ме­ стом, которое по отношению к руке будет центром удара. Если палку считать од-

407

неродным стержнем длиной I, а ось вращения совпадающей с его концом, то тогда

а=1/2, Jj=Ml*/3 и h=J,lMa=2l/3.

Следовательно, (рис. 384) удар надо производить тем местом стержня, кото­ рое находится на расстоянии 2//3 от руки или ИЗ от другого конца стержня.

Задача 188. Мишень представляет собой тонкую однородную пластину, кото­ рая может вращаться вокруг оси Аг (рис. 385). Форма мишени — прямоугольный треугольник ABD с катетами A B = ll, A D = lt. Определить, где у мишени находит­ ся центр удара, если известно, что для пластины ABD осевой момент инерции

Jt =Ml\f6, а центробежный — Jvt= M lJ s/\2 (М — масса пластины, оси Ауг в плоскости пластины).

Р е ш е н и е . Так как у треугольной пластины ABD центр тяжести С на­ ходится на расстоянии а—1^3 от оси Аг, то по формуле (169) расстояние центра уда­ ра /С от той же оси будет h = J z/(Ma) = 3Jx/(Mll) = l1/2.

Остается определить,.на каком расстоянии Ь находится центр удара от оси Ау. Для этого надо найти на оси Аг точку О, для которой эта ось будет главной. Если через точку О провести оси Ох'у'г', параллельные осям Ахуг, то точка О

xh = 0 . Чтобы найти, когда выполняется второе условие, воспользуемся тем, что

(рис. 386) имеет угловую скорость ш. Определить скорость ударника в конце удара и импульсивное давление на ось А. Массы М и т курка и ударника, момент инерций /д курка отно­ сительно оси А, коэффициент восстановления k и расстояния а и Ь известны (точка С — центр масс курка).

Р е ш е н и е . Обозначим ударные импульсы, действующие на курок и ударник при ударе через

У момента Sb рзят знак минус, так как момент на­ правлен противоположно направлению вращения курка. Кроме того, поскольку для точки D курка, vD—u>b, a uD—Qb (vD — скорость в начале удара,

« д — в конце), то формула (158'), определяющая коэффициент восстановления при прямом ударе’двух тел, дает:

Для определения SA — импульсивной реакции, действующей со стороны оси на курок, составляем для курка уравнение (154) в проекциях на оси Ах и Ау. Учи­

вравенство (б) и заменяя ид его значением, получим окончательно

^= 77+/д т*1^ тА(1+*)Ш|

Пде« Ь =]д/ (Ма) точка D является центром удара и SA* =0.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

400

410