Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

3) отношения амплитуд колебаний разных точек системы от начальных условий не зависят, так как определяются только зна­

чениями г'к(0), т. е. конфигурацией системы; 4) все точки системы в каждый момент времени, как видно из

равенств (137), находятся в одной и той же фазе ( k t + a ) и, следова­ тельно, одновременно проходят через положения равновесия и одновременно достигают максимальных отклонений от этого поло­ жения.

При решении задач наибольший интерес представляет опреде­ ление частоты k и периода т собственных колебаний системы, что существенно, например, для установления условий наличия или отсутствия резонанса (см. § 149). При этом достаточно определить из равенств. (132) и (133) коэффициенты а и с и воспользоваться формулами (136).

Задача 183. Определить частоту и период малых колебаний механической сис­ темы, рассмотренной в задаче 182 (см. § 147)!

Р е ш е н и е . В задаче 182 кинетическая энергия системы (стержня AD,

см. рис. 372) будет 7'=0,5Уд«ра. Следовательно, в этой задаче F (q)=F (у)—Jа = —const и

о = У ^ = т/*/3 . (а)

Далее, согласно формуле (133) и соотношениям (б) и (в), полученным в задаче

Задача 184. Механическая система состоит из весомых стержней /, 2 и диска 3, имеющих оси вращения в точках Ot, 0 JVО, соответственно и связанных друг с дру­ гом невесомыми стержнями АВ и DE (в точках A, B ,D , Е шарниры). В положении,

радиус диска. Кроме того, удлинение горизонтальной пружины X1= A ct+ A s>(= ==Xct4_/i9i. а удлинение вертикальной пружины Л,= А5д = M>j= ii<Pi• Тогда для потенциальной энергии системы, принимая во внимание формулы (64) и (64')

391

из § 127, получим значение

I*'= mig ^ cos <pi+ mtg A sta ф ,+ Ц- (X „ + 1 ^ )* + - y l[ ф!

или, полагая сое фх= 1—ф*/2 , sin ф2= ф 2 и учитывая, что /2ф1= ЛФ1•

(все постоянные величины включены в По). Отсюда находим

В положении равновесия, т. е. при Ф1= 0 , эта производная должна равняться нулю. Следовательно, должно быть /njg+2c1XCT= 0 или

Таким образом, в положении равновесия пружина сжата на эту величину. Далее получим

Тогда, согласно условиям (130), заключаем, что равновесие будет устойчивым,

если

Кроме того, из равенства (133) следует, что квазиупругий коэффициент

Для кинетической энергии системы получим значение

где mxiil3, т 2/|/3, mtr\l2 — моменты инерции тел 1 ,2 ,3 относительно их осей вра­ щения; ф1, <ps, ф, — угловые скорости этих тел. Но из найденных выше зависимо­

стей между ф! , фх и ф3, фх следует, что /гфа= / 1ф1 и /',ф,= / 1фх. Тогда, учтя еще ра­ венство (132), получим:

s 149. МАЛЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Как и в § 148, будем считать, что рассматриваемая механическая система при <7=0 находится в положении устойчивого равновесия. Исследуем ее малые колебания около положения равновесия еще в

когда она выведена из равновесного положения, кроме потенциаль­ ных сил начинают действовать еще силы вязкого сопротивления

392

(диссипативные силы) Fh= —цЛок= —щ (drh/dq)q*. Тогда обобщен­ ную диссипативную силу <?я можно найти по формуле (109) из § 143 и преобразовать окончательно [подобно тому, как это сделано в § 148 при получении равенства (132)] к виду

Теперь, составляя уравнение Лагранжа

и заменяя в нем Т, П и Qa их значениями (132), (133), (138), полу­ чим окончательно следующее дифференциальное уравнение зату­ хающих колебаний системы:

тельно, для малых колебаний системы с одной степенью свободы имеют место все результаты, полученные в § 95 для точки. Таким образом:

а) при к > Ь система совершает затухающие колебания с ча­

б) при k^Jb система совершает неколебательное движение. Закон движения системы дают во всех случаях уравнения,

полученные в § 95, если в них заменить х на q. Общие свойства

нической системы, рассмотренной в п. 1, действуют еще возмущаю­

В итоге в правой части уравнения Лагранжа (139) добавится еще сила Q, и из него окончательно получится следующее дифференци­ альное уравнейие вынужденных колебаний системы:

остальные обозначения указаны в равенствах (140'), Уравненйе (142) совпадает с уравнением (91) из § 96. Следова­

тельно, все результаты, полученные в § 96 для точки, имеют место

* На условия устойчивости равновесия (130) эти силы не влияют, так как при равновесии и*=0 , а следовательно, н f * = 0 .

393

и для малых колебаний системы с одной степенью свободы, а соот­ ветствующие уравнения будут определять закон движения системы, если в них заменить х на q. Эго относится и к результатам; полу­ ченным в § 96 для случая отсутствия сопротивления (Ь—0), и ко всем рассмотренным в § 96 свойствам вынужденных колебаний. В частности, резонанс при малом сопротивлении будет тоже иметь место, когда pa?k.

| ISO. МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Колебания Системы с несколькими степенями свободы, имеющие важные прак­ тические приложения, отличаются от колебаний системы с одной степенью свобо­ ды рядом существенных особенностей. Чтобы дать представление об этих особен­ ностях, рассмотрим случай свободных колебаний системы с двумя степенями сво­ боды.

Пусть положение системы определяется обобщенными координатами qit qt и при <h= ? 2= 0 система находится в устойчивом равновесии. Тогда кинетическую и потенциальную энергии системы, с точностью до квадратов малых величин мож­ но найти так же, как были найдены равенства (132), (133), и представить в виде:

си> cii — величины постоянные. Если воспользоваться двумя уравнениями Ла­ гранжа вида (131) и подставить в них эти значения Т и П, то получим сле­ дующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двуя степе­

где А , В, к, а — постоянные величины. Подставив эти значения qlt qt в уравнения (148) ■ сократив на sin (M +a), получим

Ч тобы уравнения (147) давали для Аж В решения, отличные от нуля, опреде­ литель этой системы должен быть равен нулю или, иначе, коэффициенты при А я В в уравнениях должны быть пропорциональны, т. е.

Отсюда для определенна А*получаем следующее уравнение, называемое уравнением частот:

Корни hr\ и этого уравнения вещественны и положительны; это доказывает­ ся математически, но может быть обосновано и тем, то иначе кх= ЧЛ;] и к2 =

—TJ/C2 не будут вещественны и уравнения (145) не будут иметь решений вида

(146), чего для системы находящейся в устойчивом равновесии, быть не может (после возмущений она должна двигаться вблизи положения qx = q2 = 0).

394

Определив из (149) кj и к2, найдем две совокупности частных решений вида (146). Если учесть, что согласно (148) В =пА , эти решения будут:

где nx и n, — значения, которые n получает из (148) при k = k lt и k = k t соответ­ ственно.

Колебания, определяемые уравнениями (150) и П5П. называются главными ко­

лебаниями, а их частоты ^ и (г 2 - собственными частотами системы. При этом, колебание с частотой к{ (всегда меньшей) называют первым главным колебанием,

а с частотой kt — вторым главным колебанием. Числа пх и л,, определяющие от­ ношения амплитуд (или самих координат, т. е. qt/qt) в каждом из этих колебаний, называют коэффициентами формы.

Так как уравнения (145) являются линейными, то суммы частных решений (150) и (151) тоже будут решениями этих уравнений:

Равенства (152), содержащие четыре произвольных постоянных Af, А ш, си, сц, определяемых по начальным условиям, дают общее решение ураввеяжй (145) ■ определяют закон малых колебаний системы. Эти колебания слагаются из двух главных колебаний с частотами Лх и А, и не являются гармоначескиаш. В частных случаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одно из главных колебаний (например, первое, если Л ,= 0) и колебание будет гармони­

ческим.

Собственные частоты kt и коэффициенты формы я*, я, яе зависят от началь­ ных условий и Являются основными характеристиками малых колебаний системы; решение конкретных вадач обычно сводятся к определению этих характеристик.

Сопоставляя результаты «того я предыдущего параграфов, можно получить представление о том, к чему сведется исследование затухающих и вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы. Мы этого рассматривать не будем. Отметим лишь, что при вынужденных колебаниях резонанс у такой системы может

Задача 185. Определить собст­ венные частоты и коэффициенты формы «алых колебаний двойного физического маятника, образован­ но-* стержнями 1 в 2 одинаковой массы т и длины I (рис. 374, а).

Р е ш е н и е . Выберем в каче­ стве обобщенных координат малые

углы <?>] и <р2. Тогда T =Q ,5(Jw <p\+mv2c ->rJ2c<P2)> где Jr10=m /2/3, Ji c =m ^ !\ 2 и, при требуемой точности подсчетов, vc = v A + vCA = l<f>i + 1ф2/2. В итоге

Далее П = —0,5mglcos <pl - mgl (cos <pl + 0,5 cos <р2) или, полагая cos<p = 1 —<р2/2,

395

Из равенств (а) и (б) видно, каковы здесь значения о д .о * ,, On, сц н рм (сц=0). При этих значениях коэффициентов уравнение частот (149) примет вид

*■-'6 f *,+ т ( т )*-«•

Подставляя теперь в любое из отношений, стоящих в левой частя равенства (148),

Таким образом, при первом главном колебании оба стержня будут в каждый момент времени'отхлонены от вертикали в одну и ту же сторону (рис. 374, а) и 1,43, а при втором главном колебании — в разные стороны (рис, 374, б)

" W>»/4>il=2.10.

Глава XXXI

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА

§151. ОСНОВНОЕ .УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ УДАРА

При движении тела под действием обычных сил, рассматривав­ шихся до сих пор, скорости точек тела изменяются непрерывно, т. е. каждому бесконечно малому промежутку времени соответствует бесконечно малое приращение скорости. Действительно, если им­ пульс любой силы Fk за промежуток времени т представить в виде Fjpr, где FJP — среднее значение этой силы за время т, то теорема об изменении количества движения точки, на которую действуют силы Fh, дает

m(Wi— «,) = 2 ^ рт.

Отсюда видно, что когда время т бесконечно мало (стремится к нулю), то при обычных силах и приращение скорости Av=vx— будет тоже величиной бесконечно малой (стремящейся к нулю).

Однако если в числе действующих сил будут очень большие силы (порядка 1/т), то приращение скорости за малый промежуток времени т окажется величиной конечной.

Явление, при котором скорости точек тела за очень малый (близкий к нулю) промежуток времени т изменяются на конечную величину, называется ударом. Силы, при действии которых проис­

ходит удар, будем называть ударными силами Fys. Промежуток времени г, в течение которого происходит удар, назовем временем удара.

Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяются в значительных пределах, то в теории удара в качестве меры вза­ имодействия тел рассматривают не сами ударные силы, а их ймпуль-

396

сы< Ударный импульс

X

~ § ^уд =

о

является величиной конечной. Импульсы неударных сил за время х будут величинами очень малыми и ими практически можно пренебречь.

Будем в дальнейшем обозначать скорость точки в канале удара о,

а скорость в конце удара и. Тогда теорема об изменении количества движения точки при ударе примет вид *

т. е. изменение количества движения материальной точки за время удара равно сумме действующих на. точку ударных импульсов. Урав­ нение (153) является основным уравнением теории удара и играет в

теории удара такую же роль, как основной закон динамики ma—F при изучении движений под действием неударных сил.

В заключение отметим, что перемещение точки за время удара будет равно цсрт, т. е. величине очень малой, которой практически можно пренебречь.

Итак, из всех полученных результатов вытекает следующее:

1)действием неударных сил (таких, например, как сила тяже­ сти) за время удара можно пренебречь;

2). перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь

нсчитать тело во время удара неподвижным;

3)изменения скоростей точек тела за время удара определяются

основным уравнением теории удара (153).

f 162. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УДАРА

Рассмотрим, какой вид принимают общие теоремы динамики для системы материальных точек при ударе.

в § lit , сохраняет свой вид и для случая удара. Но так как импуль­ сами обычных сил при ударе пренебрегают, то*в правой части оста­ нутся только ударные импульсы. Следовательно, при ударе

т. е. изменение количества движения системы за время удара равно сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на систему.

В проекциях на любую координатную ось х уравнение (154)

397

Если геометрическая сумма всех внешних ударных импульсов равна нулю, то, как видно из уравнения (154), количество дви­ жения системы за время удара не изменяется. Следовательно, внут­ ренние ударные импульсы не могут изменить количества движения

объясняется это тем, что точки системы за время удара не переме­ щаются. Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Обозначим равнодействующую внешних ударных импульсов, дей­

ствующих на точку с массой тк, через S%, а равнодействующую действующих на ту же точку внутренних ударных импульсов — че­

рез SJ. Тогда по уравнению (153) будет mk{uh—vh) —S‘k+ S { или

mkuk ~ m kvk + S‘k + S i -

Входящие в это равенство векторы приложены к точке, которая, как. было указано, за время удара остается неподвижной. Тогда, беря моменты этих векторов относительно какого-нибудь центра О, по теореме Вариньона, справедливой для любых векторных вели­ чин, найдем, что

« о (/"*«*) = т0 (m„vk) + т0 (S{) + т0 (Si).

Составляя такие равенства для всех точек системы и складывая кх почленно, получим

2ш0 (m*ufc) — 2m0 (m*r*) = Zm0 (SJ) + 2m0 (Sj).

Суммы, стоящие слева, представляют собой главные моменты количеств движения системы относительно центра О в конце и в

начале удара, которые обозначим К\ и К,. Стоящая справа сумма моментов внутренних ударных импульсов по свойству внутренних сил равна нулю. Окончательно находим

т. е. изменение за время удара главного момента количеств движения системы относительно какого-нибудь центра равно сумме моментов относительно того же центра всех действующих на систему внеш­

Из полученных уравнений следует, что если сумма моментов внешних ударных импульсов относительно какого-нибудь центра (или оси) равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этого центра (или оси) за время удара не

Э98

В качестве предельных случаев рассматривают случай абсолют­ но упругого удара (6=1), при котором кинетическая энергия тела после удара полностью восстанавливается, и случай абсолютно неупругОго удара (&=0), когда удар заканчивается в первой стадии и вся кинетическая энергия тела теряется на его деформацию и нагре­ вание.

Экспериментально величину k можно найти, если рассмотреть шар, свободно падающий на плиту с предварительно измеренной высоты Н, и определить с помощью стоящей рядом вертикальной

k = u/v= V h/H.

Значение коэффициента восстановления для тел из различных материалов дается в соответствующих справочниках. В частности, можно считать при скоростях соударения порядка 3 м/с для удара дерева о дерево Л «0,5, стали о сталь Л«0,56, стекла о стекло kf& «0 ,9 4 .

§ 154. УДАР ТЕЛА О НЕПОДВИЖНУЮ ПРЕГРАДУ

Рассмотрим тело (шар) Массой М, ударяющееся о неподвижную плиту. Действующей на тело ударной силой будет при этом реакция

плиты; импульс этой силы за время удара назовем 5. Пусть нормаль к поверхности тела в точке его касания с плитой проходит через центр масс тела (для шара это будет всегда). Такой удар тела назы­ вается центральным. Если скорость v центра масс тела в начале удара направлена по нормали п к плите, то удар будет прямым» в противном случае — косым.

1. С л у ч а й п р я м о г о у д а р а . Составляя в этом случае уравнение (154) в проекции на нормаль п (см. рис. 375) и учитывая,

S = M (l+ A )y .

Как видим, ударный импульс будет тем больше, чем больше коэффициент восстановления k. На эту зависимость S от Л и было указано в § 153.

400