Теория вероятности и математическая статистика / Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова
.pdf
событие Н 3 – наудачу выбранная лампа принадлежит третьей партии.
Так как события образуют полную группу событий и событие F может наступить с одним из этих событийгипотез, то для нахождения вероятности события F можно воспользоваться формулой полной вероятности (3.12).
3
P(F )= ∑ P(H i ) P(F | H i )
i =1
Найдем вероятности гипотез H1 , H 2 , H 3 , то есть P(H1 ),
P(H 2 ), P(H 3 ), используя классическое определение вероятности
P(Hi ) = mni ,
где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; mi – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события H i .
Общее число равновозможных элементарных исходов испытания n = 20 + 30 + 50 = 100 . Число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события H1 (то есть события, состоящего в том, что выбранная наудачу лампа из первой партии) равно m1 = 20 .
Тогда вероятность события H1 :
P(H1 ) = |
m1 |
= |
20 |
|
= |
|
20 |
= 0,2 . |
|
n |
20 + 30 |
+ 50 |
100 |
||||||
|
|
|
|
||||||
Аналогично находим вероятности событий H2 и H 3 .
41
Для события H 2 |
имеем: n = 100 |
и m2 |
|
= 30 . Тогда |
|||||||||||
P(H2 ) = |
|
m2 |
= |
|
|
30 |
|
|
= |
|
30 |
= 0,3 . |
|||
|
n |
|
|
+ 30 |
+ 50 |
100 |
|||||||||
|
|
|
20 |
|
|
|
|||||||||
Для события H3 |
имеем: n = 100 |
и m3 = 50 . Тогда |
|||||||||||||
P(H 3 ) = |
m3 |
|
= |
|
|
50 |
|
|
= |
|
50 |
= 0,5 . |
|||
n |
|
|
|
+ 30 |
+ 50 |
100 |
|||||||||
|
|
|
20 |
|
|
||||||||||
Таким образом, по условию, вероятности гипотез:
P(H1 ) = 0,2 ,
P(H2 ) = 0,3 ,
P(H3 ) = 0,5 .
Найдем условные вероятности события F при условии, что события H1 , H 2 , H 3 соответственно наступили, то есть вероятности
P(F | H1), P(F | H2 ), P(F | H3 ). В предложенной задаче эти вероятности даны в условии задачи.
P(F | H1) = 0,7,
P(F | H2 )= 0,8,
P(F | H3 ) = 0,9 .
Тогда, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, найдем вероятность события F:
42
P(F)= P(H1) P(F | H1 )+ P(H2 ) P(F | H2 )+ P(H3 ) P(F | H3 )=
= 0,2 0,7 +0,3 0,8 +0,5 0,9 = 0,14+0,24+0,45 = 0,83.
Ответ: искомая вероятность P(F ) = 0,83 .
Задание № 5 связано с применением формулы Байеса (3.13).
Задание 5
В больницу поступили пациенты трех социальных групп. 30% пациентов принадлежат первой социальной группе, 20% – второй и 50% – третьей. Вероятность заболевания туберкулезом для представителей каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведенные анализы случайно выбранного пациента показали наличие туберкулеза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.
Решение. Испытание состоит в том, что наудачу берут анализ у одного пациента из 100% (30%+20%+50%=100%) поступивших в больницу.
Рассмотрим событие F – выбранный пациент болен туберкулезом.
Рассмотрим гипотезы:
событие Н1 – наудачу выбранный пациент принадлежит к первой социальной группе;
событие Н 2 – наудачу выбранный пациент принадлежит ко второй социальной группе;
событие Н 3 – наудачу выбранный пациент принадлежит к третьей социальной группе.
По условию задачи необходимо найти вероятность события
H 3 F (условную вероятность события Н 3 при условии, что собы-
43
тие F наступило, то есть вероятность P(H 3 F ) или P(H 3 | F )), то есть события состоящего в том, что наудачу выбранный пациент принадлежит к третьей социальной группе, если известно, что он болен туберкулезом.
Так как события H1 , H 2 , H 3 образуют полную группу собы-
тий, и событие F произошло вместе с одним из этих событий- |
|||||
гипотез, то для нахождения вероятности |
PF (H 3 ) (или P(H 3 |
|
F )) |
||
|
|||||
воспользуемся формулой Байеса (3.13): |
|
|
|
|
|
P(H 3 | F )= |
P(H 3 ) P(F | H 3 ) |
||||
P(F ) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
где P(F ) – полная вероятность события F, которая может быть определена по формуле полной вероятности (3.12):
3
P(F )= ∑P(H i ) P(F | H i ).
i =1
Для применения формулы Байеса и формулы полной вероятности необходимо найти вероятности гипотез H1 , H 2 , H 3 , то есть
P(H1 ), P(H 2 ), P(H 3 ). Это можно осуществить, используя классическое определение вероятности:
m P(H i ) = ni ,
где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; mi – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события H i .
44
В нашем случае общее число равновозможных элементарных исходов испытания n = 100% ( 30% + 20% + 50% =100% ). Число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события H1 , то есть события, состоящего в том, что наудачу выбранный
пациент принадлежит к первой социальной |
группе, равно |
|||||||||||
m1 = 30% . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда вероятность события H1 : |
|
|
||||||||||
P(H1 ) = |
m1 |
= |
|
30% |
|
= 0,3 . |
|
|||||
n |
100% |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично находим вероятности событий H 2 |
и H 3 : |
|||||||||||
P(H 2 ) = |
m2 |
|
= |
|
20% |
|
= 0,2 ; |
|
||||
|
|
|
100% |
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
P(H3 ) = |
m3 |
|
= |
|
50% |
|
= 0,5 . |
|
||||
|
100% |
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
Таким образом, по условию вероятности гипотез: P(H1 )= 0,3 ,
P(H 2 )= 0,2 , P(H 3 )= 0,5 .
Найдем условные вероятности события A при условии, что события H1 , H 2 , H 3 соответственно наступили, то есть вероятно-
сти P(F | H1 ), P(F | H2 ), P(F | H3 ). В предложенной задаче эти вероятности даны в условии задачи.
P(F | H1)= 0,02,
P(F | H2 ) = 0,03,
P(F | H3 )= 0,01.
45
Тогда, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, найдем вероятность события F:
P(F)= P(H1) P(F | H1)+ P(H2 ) P(F | H2 )+ P(H3 ) P(F | H3 )= = 0,3 0,02+0,2 0,03+0,5 0,01= 0,006+0,006+0,005= 0,017.
Подставляя найденные вероятности в формулу Байеса, получим вероятность искомого события:
P(H |
3 |
| F )= |
0,5 0,01 |
= |
0,005 |
≈ 0,294 |
. |
|
|
||||||
|
0,017 |
|
0,017 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Ответ: искомая вероятность P(H 3 | F )≈ 0,294 .
46
Тема 4.
ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
В этой теме изучается так называемая схема повторных независимых испытаний или схема Бернулли. Схема Бернулли подразумевает выполнение четырех основных условий: а) количество повторных испытаний конечно, б) они являются независимыми; в) исходом каждого испытания является либо «успех» либо «неудача»; г) в каждом испытании вероятность «успеха» постоянна. В этой теме рассматриваются п последовательных независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с постоянной вероятностью p = P( A) . Результат испытаний – появление k раз события А, которое чередуется в любом порядке с n − k
раз не появлением события А, то есть появлением события A – события противоположного событию A.
Перечислим основные формулы и вычислительные схемы.
1. Для нахождения вероятности того, что событие A наступит ровно k раз при проведении n независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли, применяется формула Бернулли1:
|
P (k) = C k p k q n−k |
, |
(4.1) |
|
|
n |
n |
||
где |
p – вероятность наступления события A в каждом испыта- |
|||
нии; |
q =1 − p – вероятность события, противоположного событию |
|||
A, то есть q = P( A) =1− P( A) =1− p ;
1 Я. Бернулли (1654–1705) – швейцарский математик.
47
Cnk = |
n! |
= |
n( n −1 )K(n − (k −1)) |
= |
n( n −1 )K(n − (k −1)) |
|
|
k ! (n − k )! |
|
1 2 K k |
. |
||||
|
|
|
k ! |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы Бернулли следует, что |
|
|
|
||||
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
∑Pn |
(k) = ∑Cnk pk qn−k |
=1 |
|
|
|
|
|
k =0 |
k =0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Иногда необходимо бывает найти наивероятнейшее число (k0 ), то есть число испытаний, при котором достигается максимальная вероятность в n независимых испытаниях. Наивероятней-
шее значение k0 числа наступления события A при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, является целым числом и находится в интервале, который можно найти по формуле
np − q ≤ k0 ≤ np + p . |
(4.2) |
Длина указанного интервала равна единице, поэтому если границы интервала – целые числа, то имеются два наивероятнейших числа, которые совпадают с граничными значениями интервала, определяемого формулой (4.2), в противном случае – только одно, которое определяется по формуле (4.2) и выбирается из усло-
вия того, что наивероятнейшее число k 0 – целое. |
|
3. Вероятность того, что событие A наступит не менее k1 |
раз и |
не более k2 раз при проведении n независимых испытаний, |
удов- |
летворяющих схеме Бернулли можно найти по формуле: |
|
Pn (k1 ≤ k ≤ k2 )= Pn (k1 )+ Pn (k1 +1)+K+ Pn (k2 )= ∑k2 Pn (k). |
(4.3) |
k=k1 |
|
48
4. Вероятность Pn (1≤ k ≤ n) того, что событие A наступит хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, можно
найти по формуле: |
|
Pn (1≤ k ≤ n)=1−qn . |
(4.4) |
5. Вероятность того, что событие A при проведении n независимых испытаний наступит:
а) менее k1 раз, определяется по формуле
Pn (k < k1 )= Pn (0 ≤ k ≤ k1 −1)= Pn (0)+ Pn (1)+ Pn (2)+K+ Pn (k1 −1); |
(4.5) |
б) более k1 раз, определяется по формуле |
|
Pn (k > k1 )= Pn (k1 +1≤ k ≤ n)= Pn (k1 +1)+ Pn (k1 + 2)+K+ Pn (n); |
(4.6) |
в) не менее k1 раз, определяется по формуле |
|
Pn (k ≥ k1 )= Pn (k1 ≤ k ≤ n)= Pn (k1 )+ Pn (k1 +1)+K+ Pn (n); |
(4.7) |
г) не более k1 раз, определяется по формуле |
|
Pn (k ≤ k1 )= Pn (0 ≤ k ≤ k1 )= Pn (0)+ Pn (1)+ Pn (2)+K+ Pn (k1 ). |
(4.8) |
Формулы (4.5) – (4.8) являются следствием формулы (4.3).
6. Если число независимых испытаний велико, то для нахождения вероятности того, что событие A наступит ровно k раз при проведении n независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли, формулу Бернулли применять (чисто технически) достаточно сложно. В этих случаях применяют асимптотические (локаль-
49
ную и интегральную) формулы Муавра – Лапласа и асимптотическую формулу Пуассона.
а). Локальная формула Муавра – Лапласа2:
|
|
|
|
|
Pn (k) ≈ |
ϕ(x) |
, |
(4.9) |
|
|
|
|
|
|
npq |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ϕ(x) = |
1 |
e |
−x2 2 |
, x = |
k − np |
(таблица значений функции |
ϕ( x ) |
||
2π |
|
npq |
|||||||
приведена в приложении 1 в настоящих методических указаниях).
Функция ϕ(x) обладает следующими свойствами:
1) |
функция ϕ(x) является четной, то есть ϕ(−x) = ϕ(x) ; |
|
2) |
функции ϕ(x) монотонно убывает при положительных зна- |
|
чениях аргумента; |
|
|
3) |
limϕ(x)= 0 |
; |
x→∞ |
||
4) |
для всех значений x > 5 значение функции ϕ(x) ≈ 0 . |
|
б). Интегральная формула Муавра – Лапласа:
|
|
|
Pn (a ≤ k ≤ b) ≈ Φ(x2 ) − Φ(x1 ) , |
|
|
(4.10) |
||||
где Φ(x) = |
1 |
x |
−z 2 2 |
dz – функция Лапласа, x1 |
= |
a − np |
, x2 |
= |
b − np |
|
|
∫e |
|
|
|
|
|||||
|
|
npq |
npq |
|||||||
2π |
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
(таблица функции Лапласа приведена в приложении 2 в настоящих методических указаниях).
Функция Φ(x) обладает следующими свойствами:
1) функция Φ(x) является нечетной, то есть Φ(−x) = −Φ(x) ;
2 А. Муавр (1667–1754) – английский математик; П. Лаплас (1749–1827) – французский математик и астроном.
50