Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Предел функции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Высшая математика для чайников. Предел функции

2011 год

2.Разложение в ряд Тейлора . Часть 1

Вданном разделе мы рассмотрим предел функции вида ⁄O. Что такое разложение ряда Тейлора и все его подробности я рассказывать не буду, так как это все написано в моей второй книге. В данном разделе я на примерах объясню принцип данной работы.

sin

& 6

120

7Y &

& 6

120

tg &

& 6

arcsin &

& 6

ln 1 &

& 6

ln > & Z

& 6

1 &

1 1 & & & & & 6

cos 1

& 6

'Y 1 &

& 6

arctg

& 6

ln 1

& 6

1 & 1 &

& 6

√1 & 1 &

8 &

& 6

В таблице представлены основные разложения по формуле Тейлора при условии, что → 0. Их

можно не запоминать, просто распечатайте и пользуйтесь ими. А сейчас мы разберем метод

Тейлора на конкретных примерах. Я называю данные примеры crash-примерами. Сейчас поймете, почему именно такое название ☺.

№1. Найти предел

lim cos arctg → ln 1

Решение:

Так как²в знаменателе одна функция, то представим ее формулой Маклорена до остаточного члена , то есть

Высшая математика для чайников. Предел функции

2011 год

O = − ∙ + ² = − + ²( )

Знаменатель дроби легко представить в виде ряда Маклорена. Нам все члены не нужны, поэтому мы берем самый первый, ненулевой. Теперь рассмотрим числитель. Так как знаменатель мы

разложили до остаточного члена

, то и числитель мы должны раскладывать точно до такого

же остаточного члена.

cos

= 1 − 2 +

→ ∙ cos

− 2 +

arctg

− 3 +

, так как уже знаем, что cos мы

Как видите, мы раскладываем cos

до остаточного члена

остаточный член

. В итоге, вот наш разложенный числитель:

помножим на , и он нам даст

² ¡

= − 2 +

− − 3 +

= − 6 +

Тогда

limO( ) =

→ ( )

−			+ ²
	−		+	²			1
	−	6	+				1
lim						=
lim				(	)	=	6
→				(	)		6

Вот мы с вами и посчитали первый предел ☺. Запутанно? Да. Но при помощи рядов Тейлора можно считать очень сложные и “непроходимые” пределы. Зная как это делать, вы потратите достаточно времени на поиск предела, но зато вы его в конечном счете посчитаете! Вы останетесь в выигрыше ☺.

№2. Найти предел

sin

+ ln(1 −

) − 2

−

lim

] tg(

→

) − arctg

Решение:

²( )

( ). Для этого разложим наши

Для начала рассмотрим знаменатель и попробуем найти функцию

функции tg(

)

и arctg . Теперь возникает вопрос,

какого остаточного члена нам

а до

раскладывать? Ну, для начала, давайте попробуем до

•O •

Å =

+ ²( )

= • +

² •, где

• = Å

Теперь подставим и найдем •O(Å )

•O Å = + ² + ²P + ² Q = + ²( )

Высшая математика для чайников. Предел функции

2011 год

Но давайте посмотрим на числитель. Там уже остаточный член при разложении будет больше чем

( ). Как я уже говорил, остаточный член везде должен быть одинаковым. Поэтому нам придется

раскладывать до

•O • = •

+ •3 + ² • , где • = Å

Теперь подставим и найдем •O(Å )

+ 3! +

+ d

² e

+ 3! +

+ 3!

•O Å

•

² •

² Ÿ

Теперь обратим внимание на второе слагаемое, т.е. на

3! +

Если мы раскроем скобки в числителе, то получится

2 +

+ 19 +

Но! Нам

не нужно, нам нужно

, как мы и договорились раньше. Поэтому мы можем

избавиться от членов

4 + 19

Потому что они дают нам

. Повторяю еще раз, если мы решили что в нашем примере

остаточный член будет представлен в виде

, значит он должен быть в каждом слагаемом

именно такой и не иначе! Соответственно, мы можем написать так:

•O Å

•

² •

+ 3!

+ 2

•3

Разложим второе слагаемое в знаменателе. Оно у нас уже есть в таблице

arctg

−

3 +

Таким образом, функция знаменателя O( ) раскладывается так

= +

− −

² ¡

Высшая математика для чайников. Предел функции

2011 год

Теперь перейдем к числителю. Для начала рассмотрим

−

У нас есть формула для вида дроби

1 −

Мы сделаем хитро. Разложим дробь до остаточного члена

, так как при умножении потом на

у нас получится оценка ² . А она как раз нам и нужна!²

1 − = 1 + + + ²

Тогда, при умножении на у нас получится

1 +

•

−

Разложим sin

, где

1 −

. Эта формула нам также известна (в таблице).

sin

•

² •

•

− 3!

² •

sin •

Здесь мы разложили так же до

, так как никаких умножений на

у нас нет. Теперь

подставим все под

и получим

² ]P

² Q ^

² Q

sin

−

+ +

−

Теперь рассмотрим нашу дробь

P + + + ² Q

Обратите внимание на числитель. Если мы раскроем скобки, то наша оценка² значительно увеличится, а нам этого не нужна. Нам нужно, что бы оценка оставалась . Что делать?

Избавляться от остальных членов! Таким образом дробь примет несколько другой вид

P + ² Q

	3!
		+ + +	,Э а потом выкинуть
Конечно, если хотите, то можете раскрыть все скобки
все , степень которых будет больше 3. Но вы	замучаетесь это делать, поэтому выкидывайте их
		P	² Q

сразу!

Итого, вот что у нас получится

Высшая математика для чайников. Предел функции

² Q

2011 год

sin

−

+ +

Рассмотрим второе слагаемое в числителе, то есть

)

ln(1 −

Слава богу, его разложение у нас уже есть в таблице

ln(1 −

) = −

− 2 − 3 +

Итого, мы можем записать нашу ( ) функцию

−

Теперь у нас есть разложенные функции ( ) и O( ). Мы можем найти наш предел

→

(

)

→ 5

(

)

lim

= lim

Мы нашли предел! Хочу сказать, что это высший уровень! Это не “чайник” и не “среднячок”. Это мега-студент, который может многое. Господа, повышайте свою самооценку и чувствуйте себя выше других, решая такие примеры ☺. Лично я искренне надеюсь, что вы все поймете (а может и уже поняли) все что я рассказываю вам.

Ну, что!? Идем дальше покорять вершины математики ☺!

№3.

•O P’

lim

− ln E

→

arctg( cos ) − tg

Решение:

Красота, не правда ли ☺? Ничего, справились с предыдущим, покорим и этот!

O( )

Будем представлять до

точности

как и в предыдущих номерах. Попробуем вывести

функцию

. Для этого рассмотрим cos

(его разложение нам известно)

нашу лучшую оценку ² .

cos

= 1 −

2 +

cos

Остаточный член представлен в виде

, так как на

мы умножаем

, который нам дает

Высшая математика для чайников. Предел функции

2011 год

cos

1 −

−

Теперь разложим arctg •, где • = cos (так же по таблице)

žE•O • = • − •3 + ² •

Тогда мы можем разложить arctg( cos )

−

2 +

arctg(

cos

) =

−

− d

² e

−

2 +

² nŸ

¡ o

то мы сразу же обратим внимание на то, что при раскрытии скобок мы никак не получим

членов и

Степень у

будет значительно выше. Поэтому мы избавляемся от ненужных нам

получаем

arctg(

cos

) =

−

Нам осталось разложить последнее слагаемое в знаменателе

•O

+ 3 +

Таким образом мы собрали все нужные нам данные для того, чтобы найти функцию O( ).

)

= arctg(

cos

) − tg

−

= −

(

Отлично! Мы смогли представить знаменатель с точностью до

. Поэтому мы смело можем

переходить к числителю.

Нам нужно разложить

− lnE

•O P ’

Если мы обратим внимание на числитель второй дроби, то есть на

−

Как вы вероятно уже поняли, мы начинаем с внутренних функций. Поэтому, для начала разложим
’!, где • = − .	’! = 1 + • + ²(•)

	85

Высшая математика для чайников. Предел функции

2011 год

²Как• видите, мы раскладываем с точностью до ²(•), так как ’ даст нам точность ² • , а ’ −

’ = 1 − + ²

’ = P1 − + ² Q = − + ²

Теперь разложим •O •, где • = ’ .

•O • = • + • + ² •

Подставим • и получим

•O P ’ Q = P − + ² Q + P − + ² Q + ² ]P − + ² Q ^

Рассмотрим числитель второй дроби

P − + ² Q

Если мы раскроем скобки, то у нас уже не будет точности ² , поэтому от других членов мы просто избавляемся.

•O P ’

Q P

² Q

= −

Отлично! Одно слагаемое мы смогли представить. Теперь рассмотрим второе lnE

Здесь есть тоже²своя хитрость. Так как мы делим на , то числитель² нам нужно представить с точностью до , что бы при делении точность всей дроби была .

ln(E ) = 2 ln(E )

Здесь мы применили просто свойство логарифма.

•

= 1 + 2 +

24 +

•

Теперь разложим ln(

ln • • = E• E

− 1. Мы

раскладываем ln(

+ 1), так как у нас нет

+ 1) , где =

формул разложения для .

− 1 − этим мы компенсируем нашу единичку.

Высшая математика для чайников. Предел функции

ln(• + 1) = • −

•2

•3 −

•4

+ ² •

2011 год

− d

+ d

² e

1 + 2

+ 24 +

² ¡

1 + 2

+ 24 +

1 + 2 + 24 +

− d

² e

+ 1 + 2 + 24 +

² nŸ

² ¡

1 + 2 + 24 +

Ну, что же. Здесь мы должны откинуть все члены, что бы оценка не увеличивалась, а так же и

оставалась на уровне

² . Вот что у нас получается в конечном итоге

² ¡

ln(

) = 2 ln(

) = 2 ln

1 + 2 + 24 +

= 2 r +

− d

² e

2 +

= 2

−

2 +

− 8

Таким образом, мы можем расписать нашу функцию ( )

−

− 1

−

= −

Отсюда можно найти предел

limO( ) =

→ ( )

→		7				²
							²
							²
	−		2	+
lim
−					+		( )
−			6		+		( )
			6

3 = 7

Высшая математика для чайников. Предел функции

2011 год

3.Разложение в ряд Тейлора . Часть 2

Вданной теме мы рассмотрим предел функции вида ? . Так же как и в прошлом разделе, рассмотрим все на примерах.

№1. Найти предел функции

→

√1

lim d

Решение:

cos

таблице.

Распишем разложение функции

. Это сделать легко, так как все разложения у нас есть в

√1

1 2

cos

1 2

d1 2

e Æ1 d 2

Ÿ 2 ² ¡

¡ Ÿ1

¡ 1

Ÿ1 2

Отсюда легко найти и предел

lim

lim Ÿ1 6 ²

’

→

Как считать второй замечательный предел мы с вами уже проходили, поэтому я не буду тратить сейчас на это времени.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.201591.65 Кб5Воробьев Сергей гр 9373.doc
#
04.12.2018247.47 Кб1Воробьев Сергей,группа 9373.docx
#
09.02.20151.6 Mб38Все про интегралы.doc
#
31.07.2019943.76 Кб1Вселенная 2.docx
#
09.02.20157.14 Mб160Второв В.Б. Конспект лекций по ТАУ.doc
#
09.02.201510.58 Mб40Высшая математика. Предел функции.pdf
#
22.09.20191.76 Mб9Вяткин_2_сем.docx
#
09.02.2015121.86 Кб24Г(х) (1).doc
#
16.12.20189.26 Mб62Гейтс.doc
#
19.11.201865.02 Кб15геогр.doc
#
18.08.201948.64 Кб6Герои поэмы.doc