Zadanie_na_kursovuyu_i_laboratornye_raboty / Заочники весна 2019 / Блок / Блок

4. Методологические основы квалиметрии моделей и полимодельных комплексов

Таким образом, полезность и точность результатов, получаемых с использованием моделей УСД РС, определяется степенью адекватности моделей и объектов.

Функционал адекватности в соответствии с работой [61] должен обладать следующими свойствами:

где– множество возможных моделей программного управления изменением РС;

– множество возможных вариантов множеств (наборов) значений признаков реальной РС;

b),

где модель более адекватно описывает РС, характеризуемый набором признаков, чем РС, описываемых набором признаков;

При этом предполагается, что параметры каждой модели оптимальным образом настроены на конкретную РС.

В заключение отметим, что при проведении структурной адаптации моделей РС необходимо постоянно вести учет и прогнозирование изменения значенийнаборапризнаковРСисредытакимобразом,чтобысвоевременно провести корректировку структуры и параметров рассматриваемых моделей. При этом, выбирая величину промежутка времени, на который осуществляется прогнозирование, значений признаков РС, приходится искать такое компромиссное решение, которое, с одной стороны, обеспечит полу-

чение как можно более точного набора признаков , с другой стороны, выбираемый интервал времени должен быть достаточно большим для того, чтобы имелось время, отводимое на конструирование новой модели РС, настройки ее параметров до включения в работу [77, 85].

4.4.2. Алгоритмы параметрической адаптации моделей управления структурной динамикой развивающейся ситуации

Ранее в подразделе 4.4.1 была проведена формальная постановка трех подклассов задач параметрической адаптации моделей УСД РС (С 5.1, С 5.2, С 5.3), которые в общем виде были записаны с использованием формул

(4.36)‒(4.38).

В основе решения рассматриваемых задач лежат две основных группы методов:

– идентификационные методы параметрической адаптации;

141

Квалиметрия моделей и полимодельных комплексов

– методы параметрической адаптации на основе имитационного моделирования.

Упрощеннаясхема(дляодиночноговыходаРС)идентификационныхметодов параметрической адаптации для модели (4.33)‒(4.35) сводится к следующей оптимизационной задаче, решаемой с использованием различных модификацийградиентныхпроцедур:необходимоминимизироватьквадратичную невязку между выходным воздействием y(t<k>), получаемым с реального объекта (РС), и выходным воздействием, получаемым с помощью моделиy(t<k>), на основе коррекции вектора параметров βΘ. В этом случае основные формальные соотношения данной задачи запишутся в следующем виде:

. (4.46)

Типовые соотношения градиентного метода имеют следующий вид:

, (4.47)

где для оценивания градиента (4.2.2) необходимо иметь оценки производных вида

. (4.48)

В формулах (4.46)–(4.48) параметр регулирует скорость сходимости градиентной процедуры, а вектор e<Θ,Ȋ> – единичный орт в пространстве параметров βΘ; gȊ – база оценки [62, 63]. Основная трудность коррекции параметров модели УСД РС состоит в оценке градиента функции локальной невязки выходов реальной РС и модели УСД РС по корректируемым параметрам. Однако указанная процедура производится только на основе информации, полученной в результате реализованного в объекте (РС) управления на предыдущем k–1-м цикле управления (см. формулы (4.36), (4.37)), либо в результате имитации процессов УСД РС на k-м цикле управления

(см. формулу (4.38)).

Если на следующем (k+1-м) цикле управления РС понадобится иное управление, которое опирается на неизвестные ранее свойства РС (а так и бывает на практике в большинстве случаев), то модель УСД РС не будет в полной мере «готова» к этому. Это обстоятельство делает целесообразным реализацию следующей процедуры формирования управляющих воздействий: необходимо на каждом цикле управления добавлять к оптимальному управлению u ⃰(t<k>) так называемое «изучающее» приращение управления δu ⃰(t<k>),которое,«неслишкомискажая»оптимальноеуправление,позволяло бы качественнее корректировать модель УСД РС [8]. Другими словами, речь идет о планировании экспериментов в процессе управления РС. Приращение δu ⃰(t<k>) следует определять таким образом, чтобы произведенная наееосновекоррекцияпараметровмодели∆βΘ позволилабысинтезировать более точную модель УСД РС.

142

4. Методологические основы квалиметрии моделей и полимодельных комплексов

В этом случае суммарное управление преследует две цели: добиться наиболее полноговыполнения поставленного перед РС комплекса задач и одновременно построить с требуемой степенью адекватности модель УСД РС. Очевидно, что в этом случае управление должно быть тоже оптимальным. Указанное управление, преследующеедвойную цель, получило название дуального, т. е. двойственного [61,

62]. При дуальном управлении формируется уже другой показатель качества управления, определяющий суммарные потери от недостижения цели управления (за счет присутствия добавки δu(t<k>)) и потери, вызванные неточностью модели УСД РС [8]. Минимизация этих потерь и дает возможность определить оптимальное дуальное управление.

4.4.3. Алгоритмы структурной адаптации моделей управления структурной динамикой развивающейся ситуацией

Рассмотрим две группы алгоритмов структурной адаптации моделей УСДРС,основанныенаситуационномвыбореконкретноговариантаструктуры моделей из фиксированного множества вариантов моделей. В первой группеалгоритмовприреализацииситуационного(прецедентного)подхода предлагается использовать методы нечеткой кластеризации.

Вэтом случае предварительно (до этапа применения РС) осуществляется разбиение множества многоструктурных макросостояний РС: S = { Sδ}

={S1, ..., SK∆} на классы эквивалентных структурных состояний, которым сопоставляется конкретная структура θ полимодельного комплекса вида (4.24)–(4.31). Адаптивный выбор конкретной структуры полимодельного комплекса осуществляется уже на этапе применения РС на основе решения задачи распознавания текущего многоструктурного макросостояния РС и определения его принадлежности к одному из заданных классов эквивалентных многоструктурных макросостояний σθ (θ = 1, ..., Θ).

Формально постановка задачи нечеткой кластеризации множества многоструктурных макросостояний РС сводится к следующему: известно множество многоструктурных макросостояний S = {S1, ..., SK∆}; каждое из них характеризуется конечной совокупностью показателей (признаков) Jδ (δ = 1, ..., K∆), с помощью которых оцениваются различные аспекты функционирования РС.

Вэтих условиях требуется произвести оптимальное разбиение (либо покрытие) множества S на конечное множество σ = {σ1, ..., σΘ} нечетких кластеров (классов эквивалентности), каждый из которых описывается своим полимодельным комплексом. Сформулированную задачу можно записать следующим образом:

; (4.50)

143

Квалиметрия моделей и полимодельных комплексов

гдеJδ –заданныевекторы,каждыйизкоторыххарактеризуетSδ многоструктурное макросостояние РС;

Iθ – искомые точки m´-мерного пространства, нахождение которых фиксирует положение центров-кластеров и, в то же время, каждый такой вектор может рассматриваться как образ некоторого полимодельного комплекса, представляющего данный кластер;

µθδ – переменные, характеризующие степени принадлежности Sδ к классу σθ;

задающего метрику в евклидовом пространстве R m´.

Функционал (4.49) есть не что иное, как взвешенная с весами из множества {µθδ} дисперсия, характеризующая разброс точек множества {Jδ} относительно центров Iθ [1, 39]. Смысл задачи оптимизации состоит в нахождении при заданных ограничениях (4.50)‒(4.51) такого положения центров (таких характеристик полимодельных комплексов) и таких степеней

Сформулированная задача является сложной многоэкстремальной задачей с альтернативами, зависящими от двух групп параметров: {µθδ} и {Jδ}. Один из возможных способов ее решения основан на итеративной процедуре, в ходе реализации которой происходит поочередное определение вели-

чин µθδ и JδK´, k´ = 1, ..., m´.

Для запуска данной процедуры необходимо каким-то образом задать начальное приближение одной из групп параметров. Рассмотрим методи-

где – оценка предпочтительности варианта включения Sδ в состав класса σθ по сравнению с вариантом включения в состав класса σθ´. Далее задача поиска сводится к решению следующей системы алгебраических уравнений, записанных в матричном виде

где – единичная матрица размерности Θ × Θ, – максимальное собственное число матрицы С;

144

4. Методологические основы квалиметрии моделей и полимодельных комплексов

–вектор,компонентыкоторогозадаютпервоеприближение(оценку) степени принадлежности Sδ к каждому из классов σθ.

В общем случае, в результате работы данного алгоритма мы имеем не разбиение, а пересечение множеств: σθ ∩ σθ´ ≠ , θ, θ´ {1, ..., Θ}. Для получения разбиения (однозначного сопоставления множества многоструктурных состояний заданному полимодельному комплексу) следует ввести

Из соотношения (4.54) следует, что степень принадлежности Sδ к классу σθ (к полимодельному комплексу Mθ) является величиной, обратно пропорциональной сумме квадратов величин, представляющих собой отношение расстояния точки Jδ от центра–го кластера к расстояниям этой точки до соответствующего центранекоторого другого кластера.

η(·, ·) – некоторая мера отклонения, например, η(·, ·) = | – |;

ε´ – заданное пороговое значение, то необходимо остановить итерационный процесс. В противоположном случае – переход на шаг 1.

На этапе реализации плана изменения РС выбор структуры полимодельного комплекса Mθ (θ = 1, ..., Θ), соответствующей складывающейся обстановке, осуществляется следующим образом. С заданной периодичностью проводится мониторинг структурной динамики РС, в ходе которого осуществляется контроль реализации плана изменения РС и определение ее текущего многоструктурного макросостояния Sδ (δ = 1,

..., K∆). Далее, используя формулу (4.53), определяется µΘδ, сравнение с заданными пороговыми значениями lΘ. В том случае, если µθδ > lΘ, целесообразно Sδ описывать полимодельным комплексом Mθ. Таким образом, в зависимости от складывающейся ситуации происходит адаптивный выбор структуры полимодельнго комплекса, который в наилучшей степени описывает функционирование РС (в смысле формулы (4.49)) в данной ситуации.

Вторая группа алгоритмов структурной адаптации моделей УСД РС базируется на эволюционном (генетическом) подходе. Проиллюстрируем общую схему реализации указанных алгоритмов на примере структурной адаптациимодели,описывающейдинамикуизмененияоднойизкомпонент, входящих в состав вектора выходных характеристик РС [вектора y(t<k>)]. В этом случае невязка, вызванная несоответствием фактического значения

145

Квалиметрия моделей и полимодельных комплексов

указанной компоненты y(T<k>), отражающей изменение РС, ее значениям, получаемым на модели Mθ, запишется в следующем виде

. (4.55)

Для упрощения будем предполагать, что возмущающие воздействия ξ(t) описываются стохастическими моделями. В этом случае можно ввести в

рассмотрение следующий показатель качества модели Mθ:

где 0 ≤ g ≤ 1 – коэффициент «забывания», который как бы «обеспечивает» информацию, полученную на предыдущих шагах (циклах управления) [61–

при последнем шаге, так как при этом предыстория вся «забыта».

В работе [62] предлагается обобщить формулу (4.56), заменив весовой коэффициент g(K–k) функцией f(K):

Здесь f(·) – монотонно убывающая функция «забывания», обладающая следующими свойствами:

. (4.58)

Тогда алгоритм структурной адаптации моделей УСД РС сводится к поиску такой структуры Mθ´, для которой

Таким образом, для реализации предлагаемого алгоритма необходимо на каждом цикле управления k = 1, ..., K для конкурирующих структур моделей УСД РС Mθ, θ =1,...,Θ рассчитывать показатели качества (4.59), сравнивать их между собой и выбирать ту структуру модели Mθ´, у которой этот показатель минимален. После структурной адаптации должна проводиться соответствующая параметрическая адаптация модели Mθ´, о которой речь шла в п. 4.4.2.

При наличии возмущающих воздействий ξ(t) особое значение приобретает выбор функции «забывания» f(α). Чем выше уровень помех в РС, тем медленнее должна убывать эта функция. С другой стороны, при интенсивном изменении структуры РС f(α) должна уменьшаться достаточно быстро, чтобы быстрее «забывать» результаты предыдущих шагов, уже играющих наданныймоментмалуюрольиз-забыстрогоизмененияструктурыРС[62].

Можнопоказать[61,62],чтоалгоритмыструктурнойадаптациимоделей УСД РС, основанные на их конструировании (синтезе) из некоторого множества элементарных составляющих моделей (модулей), по своему содер-

146

4. Методологические основы квалиметрии моделей и полимодельных комплексов

жанию близки к алгоритмам решения задач структурно-функционального синтеза облика РС. Отличие состоит лишь в интерпретации получаемых результатов.

Проиллюстрируем данное положение на примере решения задачи структурной адаптации моделей УСД РС с использованием алгоритмов, базирующийся на технологии эволюционного моделирования [63].

Анализ соотношений, определяющих общую процедуру структурной адаптации моделей УСД РС (см. формулы (4.39)–(4.41)), показывает, что для ее практической реализации необходимо задать конкретные алгоритмы итеративного конструирования (выбора) указанных моделей (полимодельных комплексов). Данные модели будем в дальнейшем обозначать следую-

щим образом:, где k – текущий номер цикла УСД РС (k = 1, …, K);

l ‒ текущий номер итерации, в ходе которой осуществляется конструирование (выбор) облика модели (моделей) РС (l = 1, …, L); Θ – текущий номер модели, выбираемой из репозитория моделей (банка моделей, множества моделей) и/или конструируемой на основе данных моделей (Θ = 1, …, Θ). Обозначим данный репозиторий моделей, введя в рассмотрение следующее множество:

. (4.60)

Применительно к рассматриваемым проблемам квалиметрии моделей и полимодельных комплексов можно предложить одну из возможных модификаций указанных технологий, включающую следующие основные этапы.

Этап 1. Предполагается, что к началу реализации k-го цикла моделирования РС (k = 1,…, K) на основе предыдущих циклов моделирования и этапов реализации обобщенной процедуры УСД РС сформирована «память»

измоделей (полимодельных комплексов), отличающихся друг от друга разной степенью детализации и формами описания рассматриваемой РС (например, статические и динамические модели; аналитические и имитационные модели; детерминированные модели и модели, описывающие факторы неопределенности; математические, логико-алгебраические, ло- гико-лингвистические модели; комбинированные модели и т. п.). Наличие указанного репозитория моделей вытекает из необходимости реализации на практике принципа неокончательных решений (свободы выбора решений по Д. Габору [14]), в соответствии с которым при многоэтапном принятии решений необходимо на каждом из этапов сохранять возможность выбирать альтернативные решения, сформированные ранее на предыдущих этапах. Пусть в течение некоторого времени (t<k> (T<0,k>, T<f,k>) – см. фор-

мулу(4.35))используетсямодель(полимодельныйкомплекс)РСследующего вида; где Θ {1,..., Θ<k>}. Одновременно, в соответствии с ранее изложенной процедурой, осуществляется мониторинг структурных состояний РС и значений показателей, характеризующих качество ее описания, а такжестепеньадекватности(полезности)используемоймодели(см.форму-

лы (4.39)–( 4.41)).

147

недопустимый уровень соответствия используемой модели реальному структурному состоянию РС, другими словами, возникает необходимость коррекции модели (моделей). Для этого необходимо из репозитория

моделейвыбрать наиболее предпочтительную модель, которую в последующем и предполагается модифицировать или, в терминологии эволюционного моделирования, – мутировать. Согласно технологии указанного

моделирования выбор некоторой моделиопределяется дискретным распределением вероятностей следующего вида:

, (4.61)

где– значение обобщенного показателя качества модели на предыдущих этапах моделирования РС;

d – величина «памяти» (предыстории), в которой сохраняются сведения о функционировании модели. Следует подчеркнуть, что расчет данного показателя качества предполагается каждый раз осуществлять как на основе решения задачи многокритериального выбора вида (4.24)–(4.31), так и решения, собственно, задачи оценивания показателя вида (4.39). Таким образом, несмотря на случайный характер выбора очередной модели (поли-

модельного комплекса), большую возможность осуществить мутацию получает та модель, которая на предыдущих циклах управления имела

лучшие значения обобщенного показателя качества .

Этап 3. На этом этапе происходит мутация (синтез) новой модели. С этой целью будем использовать алгоритмы случайного поиска, предложенные ранее профессором Л. А. Растригиным [62]. Однако, в отличие от классического подхода, когда осуществляется случайный выбор допустимого решения из пространства альтернатив, будем осуществлять случайное варьирование компонент вектора сопряженной системы. Это связано с тем, что в основу предлагаемой обобщенной процедуры структурной адаптации моделей РС (а точнее, моделей, описывающих заданный класс процессов управления в объекте-оригинале) был положен метод локальных сечений, являющийся модификацией принципа максимума Л. С. Понтрягина на случай задания смешанных ограничений [66–67].

Главная особенность и достоинство использования данного метода состоит в том, что сопряженные переменные являются динамическими приоритетами,определяющимизначимостьсоответствующихструктур,параме- тров,режимовфункционированияобъекта-оригиналаимодели,входящихв состав РС, описывающих данный объект-оригинал в конкретных условиях обстановки. Из-за большой размерности как вектора структурных состояний данной системы, так и вектора сопряженных переменных одновременное варьирование всех компонент последнего вектора нецелесообразно.

148

4. Методологические основы квалиметрии моделей и полимодельных комплексов

Анализ показал, что в том случае, если расхождение между показателями качества модели и реальными значениями данных показателей, полученными на основе решения задачи мониторинга структурных состояний РС, являются незначительными, следует начинать варьирование тех компонент вектора сопряженной системы, которые являются менее приоритетными, что в конечном итоге позволит сэкономить ресурсы в управляемой системе. Самоварьированиеможнопроводить,используямодели,методыиалгоритмы квалиметрического, анализа, синтеза [68,69] и случайного поиска [40, 42, 62, 63]:

–с многофакторным многокритериальным варьированием;

–с линейной тактикой,

–бионические (эволюционный алгоритм случайного поиска, популяционный алгоритм случайного поиска, поведенческий алгоритм случайного поиска).

Еслиизменениявпараметрахиструктурахреальносуществующегообъ- екта-оригинала существенно отличаются, а время, отводимое на корректировку модели, ограничено, то варьированию следует подвергать сопряженные переменные, имеющие максимальные значения.

Этап4.Наданномэтапедляполученныхпослеварьированияначальных значенияхвекторасопряженныхпеременных,атакжевектораструктурного состояния основной системы проводится расчет программ УСД РС (повторяется вторая фаза обобщенной процедуры). При этом проводится количественное оценивание показателей качества моделей УСД РС для различных

где r – заданное число, которое определяет число будущих циклов УСД

шлого» и «будущего». Если хотя бы одно из перечисленных далее неравенств не выполняется:

,

,

то соответствующая модель «забывается», убирается из репозитория и помещается в его архив. Следует отметить, что данные неравенства сформированы исходя из предположения о том, что в исходной постановке решается задача минимизации обобщенного показателя качества. В том случае если неравенства оказываются выполненными, данная модель остается в списке активно используемых моделей на < k >цикле управления. На

этом заканчивается l-я итерация варьирования репозитория моделей . Далее, если позволяют временные, ресурсные и другие ограничения, повторяются этапы 2–5; если возникает необходимость продолжить выполне-

149

Квалиметрия моделей и полимодельных комплексов

ние этапа 1, то в этом случае происходит обращение к модифицированному

(измененному) репозиторию , в котором наряду со «старыми» моделями могут присутствовать «обновленные». При указанном обращении с вероятностью

(4.62)

выбирается соответствующая модель УСД РС, которая будет использовать-

ся с момента времени на < k > цикле управления либо до очередного момента модификации модели (полимодельного комплекса), возможные причины которой описаны ранее (см. этап 1), либо до начала < k + 1>цикла управления, где будет приниматься решение о необходимости перехода на новую модель либо использования старой модели.

Впредложенной процедуре структурной адаптации моделей не даны ответы на следующие вопросы:

– исходя из каких соображений назначается величина Θ<k>, которая характеризует текущее количество моделей, находящихся в репозитории;

– исходяизкакихсоображенийназначаютсяпороги(границы)значений показателей качества моделей, используя которые, происходит отбрасывание «неадекватных» моделей.

Ответы на данные вопросы требуют дополнительных теоретических и экспериментальныхисследований,которыезависятотконкретнойпредметной области, описываемой соответствующей РС.

Вподразделах 5.5, 5.6 на конкретных примерах будет показано, как на практикереализуютсяперечисленныеалгоритмыпараметрическойиструктурной адаптации моделей УСД РС.

150