Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2551.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

16.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1212

Требования к экзамену по разделу «Линейная алгебра»

Необходимо уметь:

1.Вычислять определитель второго порядка, третьего порядка («треугольниками» и разложением по произвольной строке или столбцу), четвертого и высших порядков.

2.Складывать, перемножать, транспонировать матрицы.

3.Вычислять миноры квадратных матриц, находить алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Вычислять миноры матриц произвольного порядка.

4.Решать системы линейных уравнений методами Крамера, матричным, Гаусса.

5.Решать матричные уравнения.

6.Находить ранг матрицы по определениюИ, методом окаймляющих миноров, с помощью линейных преобразований матрицы.

7.Проверять совместность системыДлинейных уравнений на основании теоремы Кронекера–Капелли, выделять базисные и свобод-

ные переменные и решать произвольные системы линейных уравнений. А

8.Находить собственные числа и собственные векторы матриц.

1.Матрицы и действияис ними.

2.Определители, х свойства и вычисление.

3.МинорыС, алгебра ческ е дополнения.

4.Крамеровск е с стемы линейных уравнений, их решение по формулам Крамера.

5.Крамеровские системы линейных уравнений, их решение матричным методом.

6.Решение матричных уравнений.

7.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

8.Теорема Кронекера–Капелли.

9.Решение произвольных систем линейных уравнений. Базисные переменные. Свободные переменные.

10.Собственные числа и собственные векторы матриц. Харак-

теристическое уравнение.Необходимо знать следующиеб темы:

125

Библиографический список

1.Шипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. − М. : Высшая школа, 2012 . − 479 с.

2.Карасева, Р.Б. Высшая математика дистанционно : учеб. по-

соб. / Р.Б.Карасева. − Омск : СибАДИ, 2008. − Ч. 1. −148 с.

3.Карасева, Р.Б. Тесты по математике : учеб. пособ. / Р.Б. Карасева, Е.Ю. Руппель [и др.]. − Омск : СибАДИ, 2013. −109 с.

4.Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной

алгебры : учебник для вузов /Д.В. Беклемишев. − М. : Наука, 1984. − 256 с.

5. Карасева, Р.Б. Математика [Электронный ресурс] : практикум

для студентов технических направлений заочной формы обучения /
				И
Р.Б. Карасева, С.В. Матвеева, Е.Ю. Руппель. – Электрон. дан. – Омск :
СибАДИ,	2016.	–	Режим	доступа:	http://bek.sibadi.org/
				Д
fulltext/esd94.pdf. – Загл. с экрана (дата обращения к ресурсу:
24.10.2016).
6. Карасева, Р. Б.		Математика: линейная алгебра, векторная ал-

гебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ,

дифференциальное исчисление функции одной действительной пере-
	б	/ Р. Б. Карасева. –
менной [Электронный ресурс] : учебное пособие
Электрон. дан. – Омск : Си ДИ, 2016. –		Режим доступа:
и
http://bek.sibadi.org/fulltext/esd106.pdf.А– Загл. с экрана (дата обраще-
ния к ресурсу: 24.10.2016).
С

126

																					Приложение 1
												Виды матриц
		a				a			...		a
				11		12						1n
A =		a21				a22			...		a2n		= (a	)	– матрица размерности m × n ,
						...			...			...	ij	m,n
		...				...			...			...
						am2			...
		am1				am2			...		amn
где m − число строк; n − число столбцов.
a				a		...		a
	11			12					1n
a21				a22		...		a2n			,	А	m = n – квадратная порядка п.
						...			...			n,n
... ...						...			...
				an2		...
an1				an2		...		ann						Д
				1	0	0								Д
				1	0	0									1,		i =	j;
				0	1	0									1,		i =	j;		– единичная (квад-
E3 =				0	1	0	, En = (δij ) δij =													– единичная (квад-
													А			0,	i ≠	j
				0	0	1											И
ратная).				0	0	1
			0		0	0					б
O =			0		0	0		,	O = (0) a					= 0,		i, j –			нулевая (размер про-
													ij
			0		0	0
			0		0	0
извольный).					С
извольный).
a				0		0
	11			a22		0		и													диагональная
	0			a22		0			,		Dn = (dij ) dij = 0, i ≠ j –										диагональная
	0			0		a
						33
(квадратная).
a				a		a
	11			12		13
	0			a22		a23			,	Tn		= (tij ) tij = 0					при		i > j –		верхняя	тре-
	0			0		a
						33
угольная (размер произвольный).
a				0		0
	11			a22		0			,	Tn		= (tij ) tij = 0					при			i < j –	нижняя	тре-
a21				a22		0			,	Tn		= (tij ) tij = 0					при			i < j –	нижняя	тре-
a				a		a
	31			32		33

угольная (размер произвольный).

127

Приложение 2

Действия над матрицами

1. Сложение (вычитание) матриц C = A ± B .

Матрицы А и В должны иметь одинаковые размеры;

= A

± B

± b

12 ±

m, n

± b

2. Умножение матрицы на число C =αA.

Матрица А

произвольного размера;

= αA

αa

12 .

m,n

αa

•

ИC

C = (−1)A = −A – матрица, противоположная матрице A .

3. Умножение матриц C = AB

Соотношение размеров:

= m

;

= (c

+ a b

+ + a b

m,n

= A

k,n

)

= ( ∑aАb ) = (a b

p j

) .

m,k

i j

k j

i1 1 j

i2 2 j

j i

Свойство:

AB ≠ BA.

4. Транспонирован е матрицы А.

Матрица А

произвольногои

размера;

A =

(ai j ) – матрица размера m × n ,

транспонированная матрица: AТ

= (a

имеет размер n × m.

AT =

21 .

5. Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженной на число α .

Размер матрицы произвольный.
a	a	a		+ α a	21	a + α a	22
A = 11	12	~	11		21	12	22	.
				a21		a22
a21	a22			a21		a22

128

Приложение 3

Определители

Определителем квадратной матрицы порядка n >1 называется число

det A = ∑n (−1)k +i aik Mik

k =1

где Mik – минор порядка (n −1)

матрицы A,

соответствующий эле-

менту aik .

1. Определитель 2-го порядка:

a11

a12

= a a

− a a

a21

a22

2. Определитель 3-го порядка:

а) разложение по 1-й строке:

a11

a12

a13

a22

a23

a21

a23

a21

a22

= a

− a

+ a

;

a31

a32

a33

б) по правилу Сарруса (треугольниками).

Перемножить выделенные элементы и выполнить указанные сложе-

ния и вычитания:

a11

a12

a13

a21

a22

a23

─

a31

a32

a33

─

a11

a12

─

a11

a12

a13

─

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a31

a32

a33

a31

a32

a33

a31

a32

a33

129

Приложение 4

Обратная матрица

A−1 − обратная матрица к A = (aij )n,n , если A A−1 = A−1 A = E .

Нахождение обратной матрицы A−1:

1.Вычислить определитель матрицы A. (Если det A = 0 , то A−1 не существует.)

2.Составить матрицу A = (Ai j ), где Ai j – алгебраические допол-

нения элементов ai j матрицы A .

3. Транспонировать A.

4. Умножить

A на

det A

~ T

−1

5. A

(A) .

det A

Свойства обратной матрицы:

1. (A

−1

= A;

)

2. (AB)−1 = B−1A−1;

−1

= (A

−1

3. (A

)

) ;

−1

и4. A

130

Приложение 5

Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1;
a x		+ a	22	x	+ + a	x	= b ;
	21 1			2		2n n	2


		+ am 2 x2			+ + am n xn = bm.
am1x1

a21

a22

a2n

Матрица коэффициентов системы: A =

m 2

m n

И.

Столбец свободных членов: B = b2

Дm

a11

a12

a1n

a22

a2n

a21

Расширенная матр ца с стемы:

A* =

am1

am 2 am n bm

Матрица-столбец из переменных:

1. Метод Крамера решения крамеровских систем [число неиз-

вестных системы совпадает с числом уравнений (m = n ) и определитель системы отличен от нуля]:

x1 = ∆∆1 ; x2 = ∆∆2 ; ; xn = ∆∆n ,

131

Окончание прил. 5

где ∆ = det A ≠ 0 , ∆i – определитель, который получается из опреде-

лителя системы, если в нем i-й столбец заменить столбцом свободных членов (i =1, 2, ,n).

2. Матричный метод решения крамеровских систем [число неизвестных системы совпадает с числом уравнений (m = n ) и определитель системы отличен от нуля]:

X= A−1B.

3.Метод Гаусса решения произвольных систем.

Приведение расширенной матрицы системы с помощью эле-

ментарных преобразований, производимых только над строками этой

матрицы к трапециевидному виду.

Разрешаются элементарные преобразования:

– прибавлять к любой строке другую строку, умноженную на

любое число;

– переставлять строки A*;

A* на любые числа, кроме нуля;

– умножать строки матрицы

– вычеркивать одну из двух пропорциональных строк;

– вычеркивать нулевую строку.

Возможные результаты:

а)

с стема меет единственное решение (совмест-

на);

б)

система имеет бесконечно много решений (со-

вместна);

в) 0 0=1 система противоречива, решений не имеет (несовместна).

132

Приложение 6

Ранг матрицы

Ранг матрицы А – наибольший порядок минора этой матрицы, отличный от нуля. Обозначение: r(A), rang(A).

Элементарные преобразования, не меняющие ранга матри-

цы:

– перестановка строк матрицы;

– вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

– умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

– прибавление к элементам одной строки соответствующих эле-

ДИ уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был ра-

ментов другой строки;

– те же операции со столбцами.

системы

вен рангу расширенной матрицы системы: r(A)= r(A *).

Если система совместна то есть r(A) = r(A*), то возможны слу-

чаи:
а) r(A)= r(A *)= r = n (рангАравен числу неизвестных).
Система m	л нейных уравнений с		n неизвестными совместна,
		б
определена, имеет ед нственное решение.
б) r(A) = r(A*)= r < n (ранг меньше числа неизвестных).
	и
С

Система m линейных уравнений с n неизвестными совместна, определена, имеет бесконечно много решений.

133

Приложение 7

Собственные векторы, собственные значения матрицы

A − квадратная матрица; X − неизвестный числовой вектор; λ − неизвестное число.

Собственные значения матрицы A ─ нетривиальные решения

λ уравнения AX = λX ;		собственные векторы ─ нетривиальные
решения Х.
Нахождение собственных чисел: составить и решить характе-
ристическое уравнение						И
или		det(A − λE)= 0,				И
		det(A − λE)= 0,

	a11 − λ	a12			a1n
	a11 − λ	a12			a1n
			А
	a21	a22 − λ			a2n
				Д			= 0 .
		б
	an1	an2		ann − λ
	и
С

134

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1212

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.202116.32 Mб22547.pdf
#
07.01.202116.47 Mб102548.pdf
#
07.01.202116.58 Mб62549.pdf
#
07.01.2021374.21 Кб1255.pdf
#
07.01.202116.64 Mб442550.pdf
#
07.01.202116.81 Mб92551.pdf
#
07.01.202116.85 Mб192552.pdf
#
07.01.202117.36 Mб122553.pdf
#
07.01.202117.48 Mб182554.pdf
#
07.01.202117.58 Mб12555.pdf
#
07.01.202117.65 Mб202556.pdf