Вища математика_економ2013-2014 / KR-2

Завдання контрольної роботи 2.

Тема векторна алгебра, аналітична геометрія на площині

Завдання 1. Знайти довжину вектора а=(ax;ay;az), його направляючі косинуси.

Завдання 2. Задано вершини трикутника А(xA,уA,zA), B(xB,уB,zB), C(xC,уC,,zC). Знайти проекції на координатні осі векторів AB BC, AB BC , довжину векторів AB BC, AB BC , їх направляючі косинуси та найбільший кут

трикутника АВС.

Завдання 3. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах a=(ax,ay,az), b=(bx,by,bz).

Завдання 4. Встановити, чи компланарні задані вектори a; b; c ?

1

Завдання 5

1.В трикутнику з вершинами А, В, С знайти: а/ довжину сторони АВ;

б/ рівняння прямої АМ, яка паралельна стороні ВС; в/ рівняння висоти ВF;

г/ рівняння медіани АД;

д/ внутрішній кут трикутника ˆ ;

C

е/ координати точок N і K, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини; є/ площу трикутника АВС.

В.1 А(-3;5), В(11;-12), С(-7;12). В.2 А(-3;4), В(-4;-3), С(8;1). В.3 А(2;5), В(-6;-4), С(6;-3). В.4 А(-5;-2), В(7;6), С(5;-4). В 5 А(-7;3), В(2;-1), С(-1;-5). В.6 А(-8;-2), В(2;10), С(4;4). В.7 А(-10;5), В(14;-2), С(-4;22). В.9 А(0;7), В(6;-1), С(2;1). В.10 А(1;-1), В(6;4), С(-2;2). В.11 А(-2;1), В(3;6), С(5;2). В.12 А(3;1), В(6;3), С(4;6). В.13 А(-2;1), В(5;2), С(0;-6). В.14 А(0;7), В(6;-1), С(2;3). В.15 А(3;6), В(5;2), С(0;-6). В.16 А(-2;1), В(5;2), С(0;-6).

В.17 А(-15;-7), В(9;-14), С(-9;10). В.18 А(10;10), В(14;3), С(-4;27). В.19 А(-6;6), В(18;-1), С(0;23).

В.20 А(-12;6), В(12;-1), С(-6;23). В.21 А(-8;3), В(6;-4), С(-9;0). В.22 А(-9;11), В(15;4), С(-3;28). В.23 А(-2;0), В(2;4), С(4;0). В.24 А(-8;-2), В(2;10), С(4;4). В.25 А(-7;3), В(2;-1), С(-1;-5).

2

Завдання 6

осі ОХ.

5.Еліпс проходить через точки М(3 ;-2) і N(-23 ;1). Записати рівняння еліпса, якщо його осі лежать на осях координат. Знайти фокуси, ексцентриситет і фокальні радіуси точки М. 6.Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо велика вісь еліпса дорівнює 16, а ексцентриситет 5/4.

9.Дана парабола y2 8x . Записати рівняння хорди параболи, яка в точці А(2;3) ділиться пополам.

її.

11.Знайти координати точки відносно вихідної системи координат, якщо ця точка має координати (43 ;4) у системі повернутій відносно вихідної на кут 30 0 .

Варіант 2.

2.Дано точки А(-4;0), В(-1;4). Знайти точки А1 і В1 симетричні з даними, відносно осі ОY. Обчислити периметр трапеції АВВ1А1.

3.Дано точки О(0;0) і А(-3;0). На відрізку ОА побудувати паралелограм, діагоналі якого перетинаються в точці В(0;2). Записати рівняння сторін і діагоналей паралелограма.

4.Записати рівняння траекторії точки М(x;y), яка при своєму русі залишається вдвічі ближче до точки А(-1;1), ніж до точки В(-4;4).

5.Записати канонічне рівняння еліпса, знаючи, що відстань між фокусами дорівнює 8, а мала

піввісь дорівнює 3. Знайти його ексцентриситет.

6.Гіпербола , симетрична відносно осей координат, проходить через точку М(6; 22 ) і має уявну піввісь 2. Записати рівняння гіперболи і знайти відстань від точки М до фокусів.

7.Записати рівняння кола, що має центр у фокусі параболи y2=2рx, яке дотикається до її директриси.

A2a2+B2в2=С2.

9.З фокуса параболи y2=8x, як із центру, описано коло так, що спільна хорда кривих рівновіддалена і від фокуса параболи і від її вершини. Записати рівняння кола.

10.Записати в полярних координатах рівняння лінії x2-y2=a2.

11.Знайти кут, на який повернуто координатні осі, якщо формули перетворення мають вигляд:

2.На осі ординат знайти точку рівновіддалену від початку координат і від точки А(-2;5).

3.Записати рівняння лінії, по якій рухається точка М(x;y), рівновіддалена від точок А(0;2) і

В(4;-2).

4.Дано точки А(-3;0) і В(3;6). Записати рівняння кола, діаметром якого є відрізок АВ.

5.Знайти довжину хорди еліпса x2+2y2=18, що ділить кут між осями пополам.

3

6. Записати рівняння гіперболи, що має вершини в фокусах, а фокуси в вершинах

7. Написати рівняння параболи і її директриси, якщо парабола проходить через точки перетину прямої x-y=0 і кола x2+y2+4y=0 і симетрична відносно осі OY.

8. Записати рівняння дотичних до еліпса x2+4y2=20, паралельних бісектрисі першого координатного кута.

Варіант 4.

2. На осі абсцис знайти точку віддалену від точки А(-2;3) на35 одиниць.

3.Записати рівняння лінії, по якій рухається точка М(х;у) рівновіддалена від початку координат і від точки А(-4;2). Чи лежать на цій лінії точки В(-2;1), С(2;3), Д(1;7)?

4.Дано точку А(-4;6). Записати рівняння кола, діаметром якого є відрізок ОА.

5.Еліпс, симетричний відносно осей координат, проходить через точки М(2;3 ) і В(0;2). Записати його рівняння. Знайти фокуси, ексцентриситет і відстань від точки М(x;y) еліпса до його фокусів.

6.Записати рівняння гіперболи, що має ексцентриситет a2 , проходить через точку (2а;а3 ) і

симетрична відносно осей координат.

7.Записати рівняння параболи, що має ексцентриситет 2 , проходить через точки (0;0) і(1;-3) та симетрична відносно осі OY. Знайти рівняння директриси.

8.Записати рівняння дотичних до еліпса x2+2y2=8, проведених з точки (6;0).

Записати рівняння діаметра, спряженного з діаметром y=2x.

10.Записати в прямокутних координатах рівняння лінії cos a . Побудувати дану лінію.

11.У системі, повернутій відносно вихідної на кут 900 , дано точку М(-15;20). Знайти координати цієї точки відносно вихідної системи.

Варіант 5.

2.Точка В симетрична до точки А(4;-2) відносно бісектриси першого координатного кута. Знайти довжину АВ.

3.Пряма 2x-y+8=0 перетинає осі OX і OY в точках А і В. Точка М ділить відрізок АВ у відношенні АМ:МВ=3:1. Записати рівняння перпендикуляра, встановленого в точці М до прямої АВ.

4.Записати рівняння дотичних, проведених з початку координат до кола, що проходить через точки А(1;-2), В(0;-1), С(-3;0).

5.Записати канонічне рівняння еліпса, знаючи, що велика піввісь дорівнює 6,а ексцентриси-тет дорівнює 0,5. Знайти фокуси еліпса.

6.Записати канонічне рівняння гіперболи, якщо відстань між фокусами дорівнює 10, а між вершинами 2а=8.

7.На параболі y2=6x знайти точку, фокальний радіус-вектор якої дорівнює 4,5.

4

4.Записати рівняння траекторії руху точки М(x;y), яка в своєму русі залишається вдвічі ближче до точки А(0;-1) ніж до точки В(0;-4). Побудувати траекторію руху.

5.Знайти ексцентриситет еліпса, якщо відстань між фокусами дорівнює відстані між кінцями великої і малої осей.

6.Записати рівняння дотичних до гіперболи x2-4y2=16, проведених з точки А(0;-2).

7.Скласти рівняння множини точок площини, рівновіддалених від точки F(0;2) і прямої y=4. Знайти точки перетину цієї кривої з осями координат і побудувати її.

9.Дана парабола y2=-4x. Через точку (-2;-1) провести хорду, що ділиться в цій точці пополам.

10.Записати в прямокутних координатах рівняння лінії cos =а. Побудувати її.

11.Відносно двох систем координат XOY і X1O1Y1, що мають той самий напрямок осей, відомі координати деякої точки (-8;14) і (-16;6). Знайти координати початку кожної з цих двох систем відносно іншої.

Варіант 7.

2.На осі ординат знайти точку, віддалену від точки А(4;-1) на 5 одиниць. Пояснити побудовою, чому одержується два розв’язки.

3.Дано дві вершини трикутника А(-4;3) і В(4;-1) і точка перетину висот М(3;3). Знайти третю вершину С.

4. Записати рівняння кола, що дотикається до осей координат і проходить через точку А(1;3).

5.Написати рівняння параболи, що проходить через точки (0;0) і (2;-4) і симетрична відносно осі

OY.

6.На еліпсі 9x2+25y2=225 знайти точку , відстань від якої до правого фокуса в 4 рази більша відстані від неї до лівого фокуса.

7.Записати канонічне рівняння гіперболи, знаючи, що відстань від однієї з її вершин до фокусів дорівнює 9 і 1.

5

5.Еліпс, симетричний відносно осей координат, фокуси якого знаходяться на осі OX, проходить через точку М (-4; 21 ) і має ексцентриситет 3/4. Записати рівняння еліпса.

6.Записати канонічне рівняння гіперболи, якщо дійсна піввісь дорівнює 25 , а ексцетриситет

1,2 .

7.Скласти рівняння множини точок площини, рівновіддаленних від точки F(0;6) і від прямої y=12. Знайти точки перетину цієї кривої з осями координат.

8.Записати рівняння дотичної до параболи y2=2рx .

9.Гіпербола проходить через точку М(6;5 ) , симетрична відносно осей координат і має дійсну піввісь а=4. Записати рівняння перпендикулярів, опущених з лівого фокуса гіперболи на її асимптоти.

10.Записати в полярних координатах рівняння лінії y=x. Побудувати її. 11.Знайти координати точки М(23 ;2) у системі повернутій на кут - /4 .

Варіант 9.

2.На осі знайти точку, рівновіддалену від початку координат і від точки А(-2;-1).

3.Дано точки А (-2;0) і В(2;-1) . На відрізку ОА побудовано паралелограм ОАСD, діагоналі якого перетинаються в точці В.Записати рівняння сторін та діагоналей паралелограма .

4. Коло дотикається до осі ОХ в початку координат і проходить через точку А(0;-4). Записати рівняння кола.

5.Записати канонiчне рiвняння елiпса, у якого вiдстань від одного із фокусів до кінців великої осі дорівнює 6 і 2.

6.Записати рівняння гіперболи, асимптоти якої y= x, а директриси x= 6 .

11. Точка М відносно двох різних систем координат з однаковими напрямками осей має координати (7;10) і (-8;1). Визначити координати початку кожної системи відносно іншої.

дорівнює 2.

6.На гіперболі 9x2-16y2=144 знайти точку, відстань від якої до правого фокуса вдвічі менша ніж до лівого.

7.Написати рівняння параболи, симетричної відносно осі ОХ, що проходить через початок координат і точку М(1;-4).

9.Записати рівняння дотичної до параболи y2=8x, паралельної прямій x+y=0 .

10.Записати в полярних координатах рівняння лінії x2+y2=x. Побудувати її.

11.Знайти кут, на які повернуто координатні осі, якщо формули перетворення координат мають вигляд:

x= 22 х' - 22 y ' , y= 22 x ' + 22 y ' .

6

Варіант 11.

2. На прямій 2x-y=0 знайти точку, що знаходиться від точки А(4;3) на відстані 3 одиниці.

3.Знайти точку, симетричну точці А(5;7) відносно прямої x+2y=4 .

4.Дано точки А(-2;0) і В(3;5). Записати рівняння кола, діаметром якого буде відрізок АВ.

5.Записати рівняння множини точок площини, сума відстаней кожної з яких від точок А(-2;0) і

Варіант 12.

2. На прямій y+x=0 знайти точки, які знаходяться від точки А(0;5) на відстані 10 одиниць.

3.Знайти точку, симетричну точці А(7;7) відносно прямої x+2y=4 .

4.Записати рівняння прямої, на якій лежить діаметр кола x2+y2-2x+8y+4=0 паралельний прямій x=y .

5.Записати рівняння еліпса, симетричного відносно осей OX і OY у якого відстань між фокусами дорівнює 5, а мала піввісь дорівнює 3.

6.Знайти ексцентритет гіперболи, асимптота якої утворює з дійсноювіссю кут 600 .

7.Директриса параболи є пряма y=-2. Вершина знаходиться в початку координат. Записати рівняння параболи.

8.Показати, що якщо пряма Ax+By+C=0 - дотична до параболи y2=2рx, то B2р=2AС.

9.Показати, що точка А(0;3) лежить внутрі кола x2+y2-4x+2y+1=0 .

10.Записати в прямокутних координатах рівняння лінії 2sin2 =2 .Побудувати її.

11. Знайти кординати точки відносно вихідної системи, якщо ця точка має координати (23 ;2) у системі, повернутій відносно вихідної на кут 300 .

Варіант 13.

2.На осі ОУ знайти точки, віддалені від точки А(2;3) на 5 одиниць

3.Для точки А(8;2) знайти точку, симетричну даній відносно прямої x-2y+2=0.

4.Записати рівняння прямої, на якій лежить діаметркола x2+y2-2x+8y+4=0 , паралельної осі OY.

ніж до лівого фокуса.

6.Скласти рівняння гіперболи, асимптоти якої y= 23 x , а ексцентриситет 52 / 6 .

7.Записати рівняння параболи, що проходить через точки (0;0), (-1;2) і симетричної відносно осі

OY .

7

9. На гіперболі x2-y2=4 знайти точку, фокальні радіус-вектори якої перпендикулярні.

10.Записати в полярних координатах рівняння лінії (x2+y2)2=a2(x2-y2). Побудувати її.

11.У системі , повернутій відносно вихідної на кут 450 , дано точку (-2;4). Знайти координати цієї точки відносно вихідної системи.

Варіант 14.

2.На осі ординат знайти точку, віддалену від точки А(4;2) на 10 одиниць.

3.Написати рівняння лінії, по якій рухається точка М(x;y), залишаючись вдвічі далі від осі OY, ніж від осі OX .

4.Записати рівняння дотичнихдо кола x2 +y 2 -8x-4y+16=0, паралельних осям координат.

5.Написати канонічне рівняння еліпса, у якого відстань між фокусами дорівнює 4, а мала піввісь дорівнює 3. Знайти фокуси, ексцентриситет і фокальні радіуси точки М(x;y).

6.Записати рівняння гіперболи, вершини якої знаходяться у фокусах, а фокуси у вершинах

еліпса x 2 y2 1.

25 9

7. Записати рівняння параболи, що проходить через точки (0;0) і (2;-6), симетричної відносно осі OY. Записати рівняння директриси.

9. Дана парабола y2=-4x. Через точку (-2;-1) провести хорду, що ділиться цією точкою пополам. 10. Записати в полярних координатах рівняння лінії x2-y2=b2 .Побудувати її.

11. Дано точку А(4;-2). Знайти координати цієї точки в новій системі координат при повороті осей на кут 300 .

Варіант 15.

2. На прямій x+y=3 знайти точки, які знаходяться від точки А(-2;1) на відстані 5 одиниць.

3. Дві сторони паралелограма задані рівняннями y=x-2 і 5y=x+6. Діагоналі його перетинаються в початку координат. Записати рівняння діагоналей паралелограма.

4.Записати рівняння кола, що проходить через початок координат, і через точки перетину прямої х+у+а=0 з колом х2+у2=a2.

5.Записати канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що відстань між фокусами дорівнює 5, а мала піввісь дорівнює 3.

6. Знайти ексцентриситет гіперболи, асимптота якої утворює з дійсною віссю кут 600 .

7.Написати рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точки (2;2) і осі OY.

8.Довести, що дотична до гіперболи буде бісектрисою кута між радіусами-векторами точки дотику.

9.На еліпсі x 2+5 y 2=20 знайти точку, радіуси-вектори якої перпендикулярні.

10.Записати в полярних координатах рівняння лінії х2+у2=aх. Побудувати її.

11. Дано точку A(4;-2). Знайти координати цієї точки в новій системі координат при повороті осей на кут 450 .

Варіант 16.

2.Дано точки A(2;3) і B(4;5). Знайти третю вершину С правильного трикутника АВС.

3.Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну його вершину A(0;2) і рівняння висот ВМ: X+Y=4 і СМ: y=2x, де М-точка перетину висот.

4. Дано точки A(-3;0) і B(3;6). Записати рівняння кола, діаметром якого служить відрізок АВ.

9. Записати рівняння дотичних до параболи у2=8х, проведених з точки A(0;-2).

8

10.Записати в прямокутних координатах рівняння лінії =a(1+cos ). Побудувати її.

11.Дано точку M(-23 ;4). Знайти координати цієї точки в новій системі координат при повороті осей на кут 600 без зміни початку координат.

Варіант 17.

2.На осі абцис знайти точки рівновіддалені від початку координат і точки A(-2;1).

3.Для токи А(4;1) знайти точку, симетричну даній відносно прямої x-2y=0.

4.Записати рівняння траекторії руху точки М(х;y), яка при своєму русі залишається вдвічі ближче

11. Дано точку M(x;y). Як зміняться координати цієї точки, якщо завісь абсцис взяти вісь ординат і за вісь ординат взяти вісь абсцис.

Варіант 18.

2. Дано точки А(-2;-1) і В(3;4). Знайти третю вершину С правильного трикутника АВС.

3.Знайти проекцію точки А(-1;1) на пряму 2x-3y=6.

4.Записати рівняння кола, що проходить через початок координат і точки перетину параболи x2=8y з прямою y=3.

5.Знайти спільні точки еліпса x2+4y2=4 і кола, що проходить через фокуси еліпса, центр якого знаходиться в його верхній вершині.

6.Для гіперболи y2=a2+x2 знайти координати її фокусів та кут між асимптотами.

7.Записати рівняння параболи, що проходить через точки (0;0) і (-1;2), симетричної відносно осі

OX.

10. Записати в прямокутних координатах рівняння лінії: sin( + /4)=2 . Побудувати її.

11. Дві системи координат мають однаковий напрямок осей. Перша система координат відносно другої має початок у точці (-3;5). Знайдіть координати початку координат другої системи відносно першої.

Варіант 19.

2.Дано точки А(-4;0), В(-1;2). Знайти точки А1 і В1 симетричні з даними точками відносно осі ОХ. Обчислити периметр трапеції ABA1B1 .

3.Написати рівняння лінії, по якій рухається точка М(х;у), рівновідалена від точок А(2;0) і

В(4;-2).

4. Написати рівняння кола, що проходить через точки А(1;-2), В(-3;0) і С(0;-1).

5.Знайти ексцентриситет еліпса, якщо відстань між фокусами дорівнює відстані між кінцями великої і малої півосей.

6.Написати канонічне рівняння гіперболи, якщо велика піввісь дорівнює 5, а ексцентриситет

8/7.

7.Написати канонічне рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точки (2;0) і прямої у=2.

Написати рівняння еліпса.

10. Записати в прямокутних координатах рівняння лінії 2 sin2 =2a2. Побудувати її.

9

11. Відносно двох систем координат ХОУ і Х1О1У1, що мають той самий напрям осей, відомі координати точки (-4;7) і(-8;3). Знайти координати початку кожної системи відносно іншої.

Варіант 20.

2.Дано точки А(1;1), В(5;-3). Знайти третю вершину правильного трикутника АВС.

3.Для точки А(8;2) знайти точку, симетричну до даної відносно прямої х-2у+2=0.

4.Дано точки А(3;-2) і В(3;6). Записати рівняння кола, діаметр якого є відрізок АВ.

5.Знайти спільні точки еліпса х2+4у2=4 і кола, що проходить через фокуси еліпса, а центр знаходиться в його нижній вершині.

6.Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі симетрично відносно початку

координат, якщо дійсна піввісь дорівнює 8, а ексцентрситет 5/4.

11. Відносно двох систем координат ХОУ і Х1О1У1, що мають той самий напрям осей, відомі координати точки (-2;3) і (-7;6). Знайти координати початку кожної системи відносно іншої.

Варіант 21.

2.Точка В симетрична до А(4;-2) відносно бісектриси першого координатного кута. Знайти довжину АВ.

3.Записати рівняння лініІ, по якій рухається точка М(х;у), залишаючись вдвічі далі від осі ОХ ніж осі ОУ.

4. Знайти кут між радіусами кола х2+у2+4х-6у=0, проведеними в точках перетину її з віссю ОУ. 5. Записати канонічне рівняння еліпса, директрисами якого будуть прямі х= 43 , а велика піввісь якого дорівнює 2.

6.Записати рівняння гіперболи, асимптоти якої у= х, а директриси х= 6 .

7.Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точки (0;0) і від прямої х=-2.

9. Еліпс, симетричний відносно осі ОХ і прямої х=-5, проходить через точки (-1;1,8) і (-5;3). Записати рівняння еліпса.

10. Записати в полярних координатах рівняння лінії х2+у2=у. Побудувати її.

11. Координати точки у вихідній системі координат (-2;2). Знайти координати цієї точки в новій системі, якщо при тому самому напрямку осей початок координат перенесено в точку (3;2).

Варіант 22.

2.На осі абсцис знайти точку рівновіддалену від початку координат і від точки А(4;12).

3.Знайти проекцію точки А(5;7) на пряму х-2у-4=0.

4.Записати рівняння кола, центр якого знаходиться в точці А(2;0) і яке проходить через точку В(- 3;-6).

5.Еліпс, симетричний відносно осей ОХ і ОУ, проходить через точки М(23;6 ). Написати його рівняння.

6.Написати рівняння гіперболи з фокусами на осі ОХ, якщо довжина її дійсної осі дорівнює 12, а ексцентриситет дорівнює 4/3.

10