Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
11
Добавлен:
07.02.2015
Размер:
226.55 Кб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання контрольної роботи по темі „Функції багатьох змінних”

 

 

 

 

 

z ln x2 y

Завдання 1. Знайти і зобразити область визначення функції.

 

 

 

 

 

 

В 1.

 

 

 

 

 

 

В 2.

z x2 y2 9 18 x2 y2

 

 

 

 

В 3.

z arctg xy arcsin x

 

 

 

 

В 4.

z ln cos xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 5.

z 2xy y2

 

 

 

 

 

В 6.

z

x2 4 4 y2

 

 

 

 

 

 

В 7.

z

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

В 8.

z

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

В 9.

z arccos x y

 

1

 

 

 

 

В 10.

z

1

 

 

x2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 11.

z x

ln xy

 

 

 

 

 

 

В 12.

z arcsin

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

В 13.

z

 

ysin x

 

 

 

 

 

 

В 14.

z 2

x y

 

 

 

 

 

 

 

В 15.

z

 

4 x2 y2 x2 y2 9

 

 

В 16.

z

sin x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

В17.

z arctg

1 x2 y2

 

 

 

 

 

В 18.

z cos x

y2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

В 19.

z arccos x2 y2

 

 

 

 

 

В 20.

z arcsin x y

 

 

 

 

 

 

 

В 21.

z

 

ln xy

 

 

 

 

 

 

В 22.

z

 

 

 

2

 

y2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 x

y2 x2

 

 

В 23.

z log2

x

cos y

 

 

 

 

В 24.

z

x

ln 2x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 25.

z

 

 

 

 

x

 

 

ln x

 

 

 

 

В 26.

z

x2 y2

1 ln 16 x2

y2

 

 

 

2x2 3y

 

 

 

 

 

 

 

 

z ln 3 x2

y2 2x

 

 

 

 

 

 

В 27.

z log4 x

x2 y2 4

 

 

 

 

В 28.

 

 

 

 

 

 

В 29.

z

 

8 x2 y2

2 y

 

 

 

 

В 30.

z

 

xy ln x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання 2. Знайти границю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 1.

 

 

 

 

2y

x

 

 

В 2.

 

y 1

2xy

 

 

 

 

 

В 3.

lim

 

 

x

 

 

lim 1

 

x

 

 

 

 

lim

 

y

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

y 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

В 4.

lim

x2 y2

 

 

 

В 5.

lim arctg x y

 

 

 

 

В 6.

lim 1

 

x2

y2 1

 

x 0

x2 y2

 

 

 

 

x 0

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

x2 y2

 

y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0

 

 

 

 

 

 

В 7.

lim

 

x2 y

 

 

 

 

В 8.

lim

1 x 1 y

 

 

 

 

В 9.

lim

tg xy

 

x2 y2

 

 

 

 

1 x y

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

x 0

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

 

 

В 10.

lim

x4 y4

 

 

 

В 11.

lim

 

x y

 

 

 

 

 

 

В 12.

lim

 

y 2

xy

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

x

y

 

 

 

 

x x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5

 

 

y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

В 13.

lim

x3 y3

В 14.

lim

xy 4 2

В 15.

x2 y2

 

xy

 

x 0

 

x 0

 

 

 

y 0

 

 

 

y 0

 

 

 

 

В 16.

lim

tg xy

В 17.

lim

 

y xy

В 18.

y

 

1

x

 

 

x 3

 

 

x

 

 

 

y 0

 

 

 

y 2

 

 

 

 

В 19.

lim

3 x2 y 9

В 20.

lim

x2 2y

В 21.

 

5x2 y

x3 y3

 

x 0

 

 

x 0

 

 

y 0

 

 

 

y 0

 

 

 

 

В 22.

lim

5x2 y

В 23.

lim

x y

 

В 24.

3 y3

2xy2

 

 

x

 

x 0

 

 

 

y

 

 

 

y 0

 

 

 

 

В 25.

lim

2

xy 4

В 26.

lim

3

xy 9

В 27.

 

x 0

 

x

 

x 0

 

x

 

 

y 0

 

 

 

y 0

 

 

 

 

В 28.

lim

tg xy

В 29.

lim

x y4

1

В 30.

xy

2xy2

1

 

x 0

 

x 0

 

 

y 0

 

 

 

y 0

 

 

 

 

Завдання 3. Побудувати лінії рівня функції

В 1. z x2 2x 2 y2

4

В 4. z x2 y2 2y 4

В 7. z 4 x y 2

В 10. z 1 x y 2

В 13. z x2 y

В 16. z x2 y2

4 8

В 19. z x2 y

В 22.

z

2

x2

 

y2

4

9

 

 

 

 

В 25.

z

2cos 5x

 

 

 

3y

 

 

В 28. z x2 y2

4

Завдання 4.

z

В 1. Знайти частинні похідні x ,

z

В 2. Знайти частинні похідні y ,

 

В 2.

z y2 x2

 

 

В 3.

 

В 5.

z y ln x

 

 

В 6.

 

В 8.

z arcsin

x y

 

В 9.

 

 

 

 

 

x

 

 

 

В 11.

z 1 x y

 

В 12.

 

В 14.

z 1 sin 3x y

 

В 15.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

В 17.

z

y2

x2 1

 

В 18.

 

 

 

4

16

 

 

 

В 20.

z x ln y

 

 

В 21.

 

В 23.

z arctg x

 

 

В 24.

 

 

 

 

y

 

 

 

 

В 26.

z x2 2x y2 1

В 27.

 

В 29.

z x2 y2

4y

 

В 30.

2 z

функції z ex y 2cos

x

.

y2

y

 

 

 

 

 

 

2 z

функції z

x

arccos 2xy .

x2

 

 

y2

 

 

 

 

lim sin xy x 0 xy

y 1

lim 4 x 5 y x 0 1 x y

y 5

lim

3x2

2y

xy

 

x

 

y

 

 

lim

 

xy

 

 

x 0

5

x2 y 25

y 0

 

 

lim

sin x2 y

 

x2 y

x 0

 

y 0

 

lim

 

xy

7

xy 49

x 0

y 0

 

 

z 2xy 4

z ln x y2

z xy2

z arcsin xy

z xy

z x2 y2

z x2 y2 4

z x3 5 y

z yx2

z x y 2

В 3. Знайти повний диференціал dz та частиннупохідну 2 z

 

функції

z xln xy2 cos x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

y

В 4. Знайти частинні похідні

2 z

 

,

 

 

2 z

 

функції

z ex 1 tg 2xy .

 

 

 

x2

 

 

 

 

y2

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

В 5. Знайти частинні похідні

2 z

 

,

 

2 z

 

функції

z xarctg

x

 

1

cos y2 .

x y

 

x2

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 6. Знайти частинні похідні

2 z

 

,

 

2 z

 

функції

z exy

1

cos y .

 

 

x y

 

y2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 7. Знайти частинні похідні

z ,

 

 

 

2 z

функції z x ln 2x y x y .

 

 

x

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 8. Знайти частинні похідні

2 z

 

,

 

2 z

 

функції

z ln x2 2y 2y cos x .

 

x y

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 9. Знайти частинні похідні

z ,

 

 

 

2 z

функції z x2 y3 x cos xy .

 

 

 

x

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 10. Знайти частинні похідні

2 z

 

,

 

2 z

функції z x2 y y ln x2 .

 

 

x y

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 11. Знайти частинні похідні

z

,

 

 

2 z

 

функції

z exy arcsin

x2

 

.

x

 

 

y2

 

y

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В12. Знайти повний диференціал dz

2 z

В13. Знайти частинні похідні x2 ,

2 z

В14. Знайти частинні похідні x y ,

z

В 15. Знайти частинні похідні x ,

2 z

В 16. Знайти частинні похідні x2 ,

2 z

В 17. Знайти частинні похідні x y ,

2 z

В 18. Знайти частинні похідні x y ,

2 z

В 19. Знайти частинні похідні x2 ,

z

В 20. Знайти частинні похідні x ,

та частиннупохідну

2 z

функції

z ln x

arctg x y .

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

y

 

2 z

функції

z x cos 2y

 

 

x

 

.

 

y2

x

2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

функції

 

z arctg

x y

.

 

 

 

y2

 

1 xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

функції

z

exy arcsin

 

x

.

 

 

y2

y

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z функції

z ln x2 xy2 cos x .

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

2 z

функції

 

z ln x2

y2 arccos xy .

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

функції

 

z xe xy

 

1

.

 

 

 

 

y2

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

функції

z arcsin

x y exy2 .

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

2x2 y cos x

 

 

 

 

 

 

y

функції z

tg x2

y

.

 

 

 

 

 

В 21. Знайти повний диференціал dz функції z

x3 y sin x .

 

y

2 z

В22. Знайти частинні похідні x y ,

2 z

В23. Знайти частинні похідні x2 ,

2 z

В24. Знайти частинні похідні x y ,

2 z

В25. Знайти частинні похідні x y ,

z

В 26. Знайти частинні похідні x ,

В 27. Знайти повний диференціал dz

2 z

В 28. Знайти частинні похідні x y ,

z

В 29. Знайти частинні похідні x ,

z

В 30. Знайти частинні похідні x ,

2 z

функції

z cos 3xy

4 x2 .

y2

 

 

 

 

y2

2 z

функції

z sin x 2y ln xy .

y2

 

 

 

 

 

 

2 z

функції

z xye xy .

y2

 

 

 

 

 

 

2 z

функції

z

x2

y2

.

y2

ln x

 

 

 

z

функції z exy3

sin x2 y2 2 .

y

 

 

 

 

 

 

функції z 2xy x2 y3 sin xy .

 

 

 

 

 

xy

 

2 z

функції

z xy x .

 

y2

 

sin x2 y2

z

 

 

y

функції z ln xy ln xy .

z

функції z sin x2

ln x2 y exy .

y

 

 

 

 

 

 

Завдання 5. Обчислити наближено за допомогою повного диференціала

 

 

 

 

 

 

 

В 1.

sin 330 cos 580 .

 

В 2.

cos320 sin580 .

 

В 3.

tg460 cos 590 .

 

 

В 4. 1,02 3 0,97 2 .

 

В 5. 1,03 4,02 .

 

В 6. 1,04 3 2,08 2 .

 

 

В 7.

1,01 3,04 .

 

 

 

В 8.

1,03 4 2,01 3 .

 

В 9.

1,001 4,03 .

 

 

 

В 10.

3,952 3,152 .

 

В 11.

sin310 cos620 .

 

В 12. 1,02 4

1,01 2 .

 

 

В 13.

4,992 2,052 .

 

В 14. 1,02 4

1,99 3 .

 

В 15. tg440 cos 610 .

 

 

В 16. 2,02 3

2,99 2 .

 

В 17. 1,005 3,99 .

 

В 18. 2,07 2 1,99 4

 

 

В 19.

1,012 2,052 .

 

В 20.

sin 470 tg310 .

 

В 21. ctg440 sin910 .

 

 

В 22. 1,06 1,98 .

 

 

 

В 23. 3,04 2

2,03 2 .

 

В 24. 3,03 3

4,95 2 .

 

 

В 25. 1,1 4,1.

 

 

 

 

В 26. 1,01 3,02 .

 

В 27. 1,04 2

1,97 2 .

 

 

В 28. 1,05 4

3,01 2 .

 

В 29. 1,001 4,01 .

 

В 30.

 

1,032 4,042 .

 

 

Завдання 6. Знайти частинні похідні

z

та

z складної функції :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

v

 

z ln x2

y2

 

 

 

 

В 1.

z x2 sin y

, де

x uv,

 

y u2v3 .

 

В 2.

, де

x u

,

y u v .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

В 3.

z

x

x

 

, де x uv,

y u2 v2 .

 

В 4.

z xexy

, де

x

u ,

y u v .

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

В 5.

z

 

x y2

, де

x uv,

y x sin y .

В 6.

z ex

, де

x

v ,

y u2v .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

u

 

 

 

В 7.

z sin x

, де

x uv,

y u2

v .

 

y

 

 

 

 

 

 

 

В 9.

z arctg x2 y

, де

x

u2

v2 ,

y v .

 

 

 

 

 

 

 

 

u

В 11.

z x4 cos y , де

x v2 ,

y u v .

 

 

 

 

 

u3

 

 

 

В 13.

z x y3

, де

x x2 y

4 ,

y u2 .

 

z ln x2

y4 , де

 

 

 

v3

В 15.

x u 2v,

y u ev .

В 8. z

y

, де x euv ,

y v u .

 

 

x

 

 

 

В 10.

z ex y3

, де x uv,

y u .

 

 

 

 

 

v2

В 12.

z

1

exy , де x u2 v2 , y sin uv .

 

 

y

 

 

 

 

 

x

 

 

 

В 14.

z xe y

 

, де x uv,

y 1 u2 v2 .

В 16.

z x y

, де x uv2

, y u .

 

 

xy

 

v2

В 17.

z x3 sin y , де

x u2 ,

y u3

v4 .

В 18.

z y ln x3 , де x uv, y

 

v

.

 

 

v

 

 

 

 

z cos x4 y , де

x u 5

 

u 1

 

В 19.

z x sin x y

, де x 2u 3v,

 

y u2v3 .

В 20.

,

y uv2

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

В 21.

z x arcsin x y , де x u2 2uv,

y u2 .

В 22.

z x2 y x4 ln y , де

x uv,

y u 3v .

 

 

 

 

 

v3

 

 

 

 

 

 

В23.

В25.

В27.

В29.

z xyexy

, де

x u3v4 ,

y

v 1

.

В 24.

z

x

, де

x uv2 , y

 

u2

.

 

u

exy

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

x

 

, де x u

,

y uv .

 

В 26.

z x y , де x u 2v,

 

y u2v v3 .

 

x2 y2

 

v

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

z y arccos x

, де x

 

u v ,

y uv .

В 28.

z

 

1

, де x u2v4

,

y u4v6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

z cos x

, де

x u2 ,

 

y u2v4 .

 

В 30.

z

sin x y , де x v u, y uv ev .

 

y

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання 7. Перевірити, чи виконується для даної функції вказане співвідношення :

В 1. z ln

1

,

x2 y2

 

 

В2. z y ln ex e y ,

В3. z x sin xy ,

2 z 2 z 0 .x2 y2

2 z

 

2 z

 

0 .

 

2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x y

 

x xz y yz 2z .

В 4. u

 

1

 

 

,

 

x2 y2 z2

В 5. z

y

 

 

y

 

x

xln 1

x

,

 

 

 

 

2u 2u 2u 0 .x2 y2 z2

x2 2 z 2xy 2 z y2 2 z 0 .

x2 x y y2

 

y

 

2 z

 

z

 

 

z

 

2 z

 

В 6.

z xe x ,

x

2

2

y

0.

 

 

 

x y

 

x

 

 

y

 

y2

 

В 7.

z xy , y

2 z

1 y ln x

z

0.

 

 

x y

x

 

 

В 8. z 2ln

1

,

x2 y2

В 9. z e x x y ,

2 z 2 z 0 .x2 y2

2 z 2 z 2 z z .x2 y2 y

 

 

x

 

 

z

 

 

z

 

 

 

 

В 10.

z e y2 ,

 

2x

y

0 .

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

В 11.

z ln x2

xy y2 ,

 

 

x z y

z

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

В 12.

z xy

y2

,

x

z

y

z

xy

z .

x

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 13.

z

1

 

,

y

z

 

x

z

0 .

 

 

 

 

x2 y2

 

 

x

 

 

y

 

 

 

В 14. z 3yx2 ln xy ,x2 xz xy yz y2 0 .

В15.

В16.

В17.

z ye y

x2

x2 y2

z

 

z

 

2 y2 ,

xy

xyz .

 

 

 

x

 

y

 

z x sin

y ,

x z 2y

z

z .

 

 

x2

x

y

 

 

 

z sin x y ln x y ,

 

2 z

 

2 z .

 

 

 

 

x2

 

y2

 

1

 

x2

В 18. z

4 y ,

y

e

 

 

 

В19. z arctg xy ,

В20. z cos2 x y ,

z 2 z .y x2

2 z 2 z 0 .x2 y2

z z zx y y .

В 21.

z

y3

x2 y2 ,

 

x

 

z

 

y

z

z x2

y2 .

x2

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 22.

z ln x2 y2 2x 1

 

,

 

 

 

2 z

 

2 z

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

y2

 

В 23.

z ln x e y , z

 

2 z

 

z 2 z

0 .

 

 

 

 

 

x x y

 

 

 

y x2

 

 

 

В 24.

z

y2

arcsin xy ,

 

 

x2 z

xy

z y2 0 .

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

В 25.

z ln

1

,

 

 

2 z

 

 

2 z

0 .

 

x2 y2

 

x2

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 26.

z sin x2 y2 ,

 

x

z

 

y

z

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

В 27.

z cos x2

y2 ,

 

x z

y z

 

0 .

 

 

 

 

 

 

y

 

x

 

В 28.

z 2 sin x2

y2 ,

 

y

z

x

z

 

0 .

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

В 29.

z cos x4 y4 ,

y

z

x

z

0 .

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

В 30.

z

x2 y2 2 ,

 

x

z y

z

0 .

 

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

Завдання 8. Знайти grad z в точці M0

та

dz

 

в точці M0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

dl

 

 

В 1.

z 3x2 4y2 xy,

 

M 0 3, 1 ,

l i j .

В 2. z ln 3x2 2y2 xy ,

M 0 1,1 ,

l i 2 j .

В 3.

z arctg x3 y

 

 

M 0 2,1 ,

l 3i j .

 

 

В 4. z ln 4x3 2y2 ,

M 0 3,1 ,

 

l 5i 2 j .

В 5.

z 2x3 y2

5xy,

 

M 0 1,2 ,

l 2i j .

В 6. z ln x2 y2 2x 1 ,

M 0 1,1 ,

l i 2 j .

В 7.

z arccos

 

4

 

,

 

M0 1, 2 ,

 

l 2i 2 j .

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 8.

z 3x3 5y2 6xy,

M 0 3, 1 ,

l 4i 3 j .

В 9.

z arctg x3 y2 ,

 

 

M 0 2, 1 ,

 

l 5i 2 j .

В 10.

z ln 3x2 2y2 xy ,

M 0 1,3 ,

l i 2 j .

В 11.

z arccos

2y

 

,

 

M0 2,3 ,

 

l 2 j i .

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 12.

z arcsin y2 ,

 

 

 

M 0 0,1 ,

 

l 4i 3 j .

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 13.

z ye2x ,

 

M 0 0,4 ,

l утворює кут 135o з віссю ox.

В 14.

z cos y y2

x2 sin y,

M 0 1,2 ,

 

l 4i 3 j .

В 15.

z x3 y2 ln xy ,

M 0 1,1 ,

l утворює кут 45o з віссю ox.

В 16.

z x2 xy y2 4x 2y,

M 0 2,1 ,

l

утворює кут 135o з віссю ox.

В 17.

z

x2

y2 3xy ,

M 0 5,3 ,

l утворює кут 30o з віссю ox.

В 18.

z 2y2

xy x3 4x 2y,

 

M 0 2,3 ,

 

l утворює кут 30o з віссю ox.

В 19.

z x3 y2

3xy 4y 2x,

M 0 1,2 ,

 

l i 2 j .

В 20.

z

y2

x2 ,

 

 

M0 3,1 ,

l

утворює кут -60o з віссю ox.

 

 

 

 

y

 

 

 

 

M0 0,1 ,

l

3i 2 j .

В 21.

z xln 1

x 1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0 2,2 ,

 

 

В 22.

z x4 x3 y2 y3

4x 5y,

 

 

l i 3 j .

В 23.

z x2 y2

arctg

y ,

M 0 4,5 ,

l i 3 j .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

В24.

В25.

В26.

В27.

В28.

В29.

В30.

z arcsin x2

,

M 0 1, 1 ,

l

2i j .

 

y3

 

 

 

 

 

z x4 y4 4x2 y2 ,

M 0 2,1 ,

l i j .

z y2 exy ,

M 0 1,1 ,

l 2i j .

z xy 2xy2

,

M 0 1,0 ,

l 3i 4 j .

 

x2 1

 

 

 

 

 

z

x2 y2 xy ,

 

M 0 2,2 ,

l i j .

z x2 y3 y2 sin x,

M 0 2,1 ,

l 4i 3 j .

z x3 4x2 y3 x

,

M 0 3, 1 ,

l i j .

 

 

y

 

 

 

 

Завдання 9. Знайти частинні похідні z

та z

функції, заданої неявно,

в точці M 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

В 1.

x2 z xz2 xyz 0 ,

M0 1,2,5 .

 

В 2.

z xz3 x2 y2 4 0 ,

M 0 1,1,1 .

В 3.

xz4 xy2 x2 z 0 ,

M 0 1,1,1 .

 

 

В 4.

z5 x cos y xyz 0 ,

M 0 1,0,2 .

В 5.

z2 x yz3

x sin y 0 ,

M0 2,0,3 .

 

В 6.

z5 x2 y2 z2 xy 0 ,

M 0 1,1,1 .

В 7.

z3 xyz2

x2 y2

0 ,

M 0 1,2,1 .

 

В 8.

z4 xz2 x3 y3 0 , M0 2,2,2 .

В 9.

sin x coxy xz2 z4

0 , M0 0,0,2 .

 

В 10.

cos z x2 y2 z xy 0

,

M 0 1,1,0 .

В 11.

z4 xz2

x2 y2

0 ,

M 0 1,1,1 .

 

В 12.

x2 z xz2

xyz 3 0

,

 

M 0 1,2,2 .

В 13.

z3 z cos x sin y 0 ,

M0 0,0,1 .

 

В 14.

z2 x2 zx2 x2 y2 0

,

M0 3,2,1 .

В 15.

x3 y3 x2 z2 yz 0 ,

M 0 1,2,1 .

 

В 16.

x2 z xz2

xyz 2 0

,

 

M0 1,2,5 .

В 17.

z3 xyz2 x4 y4 0 ,

M0 1,1,2 .

 

В 18.

z4 xyz3

2x 2y 0 ,

 

M 0 1,1,1 .

В 19.

x3 z 2xz2 xy 0 , M 0 1,2,2 .

 

В 20.

z5 xyz 4x3 y3 0 ,

M 0 1,2,1 .

В 21.

xyz 3x2 z2

2xy 1 0 ,

M0 1,2,2 .

В 22.

z4 xyz 2 sin x cos y

0 , M0 0,0,1 .

В 23.

z3 x x2 y2 z2

4xy 0 , M 0 1,1,1 .

 

В 24.

z yz3 x3 y2 3 0

,

M0 1,2,2 .

В 25.

z4 xyz2 e y x3

0 ,

M0 1,0,2 .

 

В 26.

x2 z2 xyz3 2cos y 0

, M 0 2,0,1 .

В 27.

xyz xyz2 xex

0 ,

M0 1,2,1 .

 

В 28.

z3 xz2 x2 cos y 0

,

 

M 0 1,0,2 .

В 29.

z4 y xz3 x2 y2 0 ,

M 0 1,1,1 .

 

В 30.

z3 z4 xy x3 y2 1 0

,

M0 1,2,5 .

Завдання 10. Дослідити на екстремум функцію :

 

 

 

 

 

 

 

В 1. z x2 y2 xy 2x y

 

В 2. z 2xy 3x2 2y2 10

 

 

 

В 3. z x3 8y3 6xy 1

 

 

 

В 4. z 2xy 4x 2y

 

 

 

 

В 5. z x2 xy y2 9x 6y 20

 

В 6. z 3x 6y x2 xy y2

 

 

 

В 7. z x2 y2 2x 4 xy 2y 8

В 8. z 2x3 xy2 5x2 y2

 

 

 

В 9.

z 3x2 2x y y 8x 8

 

В 10.

z y

x y2 x 6

 

 

 

В 11.

z 2x x2 2y y2

 

 

В 12.

z 4 x y x2

y2

 

 

 

 

z x4 y4 2x2 4xy 2y2

 

 

x

x y2

 

 

 

 

В 13.

 

В 14.

z e 2

 

 

 

 

В 15.

z x 1 2 2y2

 

 

 

В 16.

z x 1 2 2y2

 

 

 

 

 

z 1 x2 y2

2

 

 

 

 

z x2 y2 e x2 y2

 

 

 

В 17.

3

 

 

 

В 18.

 

 

 

В 19.
В 20.
В 21.
В 22.
В 23.
В 24. В 25.
В 26.
В 27.
В 8. В 9. В 10.
В 11.
В 12. В 13.
В 14. В 15.
В 16.
В 17.
В 18.

В 19.

z ex y x2 2y2

 

 

В 20.

z x2 xy y2

3x 2y 1

 

В 21.

z xy 4 x 4 y

 

В 22.

z x3

 

1

y3 xy 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

В 23.

z x3

2y3 12x 6y 1

В 24.

z x3 y3

9xy 1

 

 

 

В 25.

z x3

y3 3x 12 y 5

В 26.

z x2 xy y2

3x 6y

 

 

 

В 27.

z xy2 1 x y

 

 

В 28.

z x3 y3

15xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

y

 

В 29.

z 4 x

2

y

2

3

 

 

В 30.

z

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

47 x y

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Завдання 11. Знайти найбільше M та найменше m значення функції

 

 

 

 

 

 

В 1.

z xy

в крузі

 

x2 y2

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 2.

z x2 y2

xy x y

утрикутнику, обмеженому лініями

 

x 0, y 0, x y 3 0 .

В 3.

z sin x sin y sin x y

упрямокутнику

0 x

,

0 y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

В 4.

z x2 y2

у крузі

x2 y2 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 5.

z x2 y 4 x y

утрикутнику, обмеженому лініями

 

x 0,

y 0,

x y 6 0 .

В 6.

z x3 y3

3xy упрямокутнику 0 x 2,

1 y 2 .

 

 

 

 

 

В 7.

z arctg x2 xy y

у прямокутнику, обмеженому лініями

 

 

 

 

 

 

x 2,

 

x 2,

y 3,

y 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z e x2 y2

2x2 3y2

у крузі x2 y2 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1 x 2y

утрикутнику, обмеженому лініями

x 0,

 

y 0,

 

x y 1 .

 

 

z 1 x 2y

у трикутнику,

обмеженому лініями

 

x 0,

y 0,

x y 1 .

 

 

z x2 y

у крузі x2 y2 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z x2

y2 у крузі

x2

y2

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z xy

у трикутнику з вершинами O(0,0), A(1,0),

B(0,2) .

 

 

 

 

 

 

 

z 3x 4y 5

у крузі

x2 y2 1 .

 

 

 

 

z sin x sin y sin x y

упрямокутнику 0 x ,

0 y .

 

z x2

3y2

x 18y 4

упрямокутнику 0 x 1,

0 y 1 .

 

z x2 xy y2

в області

 

x y 1.

 

 

 

z x2

xy y2

4x

у трикутнику, обмеженому лініями

 

 

x 0,

y 0,

2x 3y 12 0 .

 

 

 

 

z xy x y

у квадраті, обмеженомулініями

 

 

 

x 1,

x 2,

y 2,

y 3 .

 

 

 

 

z sin x sin y cos x y

у прямокутнику 0 x

3 , 0 y

3

z cos x cos y cos x y

 

 

2

 

2

у прямокутнику 0 x , 0 y .

 

z x2

y2

укрузі x

2 2 y

2 2 9 .

 

 

 

z x2

3y2

x y

у трикутнику, обмеженому прямими x 1,

y 1,

.

x y 1 .

z x2 y2 3xy 5

упрямокутнику 0 x 2,

0 y 3 .

 

 

 

 

z xy 2 x y утрикутнику, обмеженому прямими x 0,

y 0,

x y 2 .

 

z 2x2 4x2 y 4y2

у трикутнику, обмеженому прямими

x 0,

y 1,

x y 2 .

z x2 2xy2 2 y2 у прямокутнику, обмеженому прямими

x 1,

y 0,

x 4,

y 2 .

В 28.

z 4x3 2x2 y y2 упрямокутнику 0 x

1,

0 y 2 .

В 29.

z x2

xy2 y3 упрямокутнику 1 x 1,

 

1 y 0 .

В 30.

z x3

y3 3xy уквадраті, обмеженому прямими

x 0,

y 0,

x 2,

y 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання 12.

Знайти умовний екстремум функції при вказаній умові :

 

 

 

 

 

В 1. z

1

1

;

x y 2 .

 

 

 

В 2. z x2 y2 ;

x

y

1 .

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

В 3. z x y ;

1

 

1

1 .

 

 

 

В 4. z xy ; x2 y2 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 5.

z xy

;

x y 1 .

 

 

 

 

 

В 6.

z cos

2 x cos2

y

; y x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

В 7. z x 2y ;

x2 y2 5 .

 

 

 

В 8. z 6 4x 3y ;

x2 y2 1 .

 

В 9.

z xy

; x2 y2

1.

 

 

 

 

В 10.

z xy

; 2x 3y 5 0 .

 

В 11.

z x2

y2

;

x

y 1.

 

 

 

В 12.

z x2

y2

;

x

2 2

y

2 2 9 .

 

 

 

 

 

 

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 13.

z x2

y2

;

y 2x 6 .

 

 

 

В 14.

z 4x 3y

 

; x2 y2

1.

 

В 15.

z 5x2 4xy y2 ;

x y 1 .

 

 

В 16.

z x2

y2

;

3x 4y 1.

 

В 17.

z exy ; x y 1 .

 

 

 

 

В 18.

z x2

y2 xy x y

; x y 3 0 .

В 19.

z xy y2

3x 4y

; x y 1

.

В 20.

z x2

2xy 3y2 y

;

x y 1 .

В 21.

z x3

2y3 12x 6y 1

; x y 3 .

 

В 22. z xy

;

2x y 2 .

В 23.

z xy

;

3x 2y 1 .

 

 

 

В 24.

z x2

y2 ;

xy 4 .

 

 

 

В 25.

z x2

y2 ; x2 y2

25 .

 

 

 

В 26.

z x2

xy y2

9x 6y 20 ;

x y 3 0 .

В 27.

z x2 y2

2x2 y 2y2 x 4xy

;

x y 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 28.

z 3x 2y xy x2

y2 1 ;

x y 1 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

В 29.

z x2 y2

4x2 y 4xy2 16xy

;

x y 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

В 30.

z x2

y2

xy 2x y ;

x y

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання 13. Методом найменших квадратів знайти параметри a та b функції y=ax+b.

В 1.

x

1

2

3

4

5

6

 

y

1,2

1,4

2,8

2,5

2,5

4,3

 

 

 

 

 

 

 

 

В 2.

x

1

2

3

4

5

6

 

y

-3,6

-2,6

1,9

0,8

2,6

4,2

 

 

 

 

 

 

 

 

В 3.

x

1

2

3

4

5

6

 

y

4,8

5,5

4,3

2,3

2,1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

В 4.

x

1

2

3

4

5

6

 

y

1,2

3,1

4,2

5,3

8,4

7,2

 

 

 

 

 

 

 

 

В 5.

x

-1

0

2

3

4

5

 

y

2

1,5

3

4,5

5

8

 

 

 

 

 

 

 

 

В 6.

x

-2

-1

0

1

2

3

 

y

2,1

1,5

1

0,5

-2

-4

 

 

 

 

 

 

 

 

В 7.

x

1

2

3

4

5

6

 

y

1,9

2,8

1,6

0,3

0,9

2,1

Соседние файлы в папке Вища математика_економ2013-2014