Вища математика_економ2013-2014 / KR-4
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання контрольної роботи по темі „Функції багатьох змінних” |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
z ln x2 y |
Завдання 1. Знайти і зобразити область визначення функції. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
В 1. |
|
|
|
|
|
|
В 2. |
z x2 y2 9 18 x2 y2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В 3. |
z arctg xy arcsin x |
|
|
|
|
В 4. |
z ln cos xy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В 5. |
z 2xy y2 |
|
|
|
|
|
В 6. |
z |
x2 4 4 y2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В 7. |
z |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В 8. |
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В 9. |
z arccos x y |
|
1 |
|
|
|
|
В 10. |
z |
1 |
|
|
x2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В 11. |
z x |
ln xy |
|
|
|
|
|
|
В 12. |
z arcsin |
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В 13. |
z |
|
ysin x |
|
|
|
|
|
|
В 14. |
z 2 |
x y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В 15. |
z |
|
4 x2 y2 x2 y2 9 |
|
|
В 16. |
z |
sin x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
В17. |
z arctg |
1 x2 y2 |
|
|
|
|
|
В 18. |
z cos x |
y2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
В 19. |
z arccos x2 y2 |
|
|
|
|
|
В 20. |
z arcsin x y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В 21. |
z |
|
ln xy |
|
|
|
|
|
|
В 22. |
z |
|
|
|
2 |
|
y2 |
|
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 x |
y2 x2 |
|
|
|||||||||||||||||||
В 23. |
z log2 |
x |
cos y |
|
|
|
|
В 24. |
z |
x |
ln 2x y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В 25. |
z |
|
|
|
|
x |
|
|
ln x |
|
|
|
|
В 26. |
z |
x2 y2 |
1 ln 16 x2 |
y2 |
|||||||||||
|
|
|
2x2 3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
z ln 3 x2 |
y2 2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В 27. |
z log4 x |
x2 y2 4 |
|
|
|
|
В 28. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
В 29. |
z |
|
8 x2 y2 |
2 y |
|
|
|
|
В 30. |
z |
|
xy ln x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 2. Знайти границю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В 1. |
|
|
|
|
2y |
x |
|
|
В 2. |
|
y 1 |
2xy |
|
|
|
|
|
В 3. |
lim |
|
|
x |
|
|
|||||
lim 1 |
|
x |
|
|
|
|
lim |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|||||||||||
|
y 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
В 4. |
lim |
x2 y2 |
|
|
|
В 5. |
lim arctg x y |
|
|
|
|
В 6. |
lim 1 |
|
x2 |
y2 1 |
|||||||||||||
|
x 0 |
x2 y2 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x2 y2 |
||||||||
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
В 7. |
lim |
|
x2 y |
|
|
|
|
В 8. |
lim |
1 x 1 y |
|
|
|
|
В 9. |
lim |
tg xy |
|
|||||||||||
x2 y2 |
|
|
|
|
1 x y |
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
В 10. |
lim |
x4 y4 |
|
|
|
В 11. |
lim |
|
x y |
|
|
|
|
|
|
В 12. |
lim |
|
y 2 |
xy |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
x |
y |
|
|
|
|
x x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|||||||||||||
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
В 13. |
lim |
x3 y3 |
В 14. |
lim |
xy 4 2 |
В 15. |
||||
x2 y2 |
|
xy |
||||||||
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|||||
|
y 0 |
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
В 16. |
lim |
tg xy |
В 17. |
lim |
|
y xy |
В 18. |
|||
y |
|
1 |
x |
|
||||||
|
x 3 |
|
|
x |
|
|
||||
|
y 0 |
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
В 19. |
lim |
3 x2 y 9 |
В 20. |
lim |
x2 2y |
В 21. |
||||
|
5x2 y |
x3 y3 |
||||||||
|
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|||||
|
y 0 |
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
В 22. |
lim |
5x2 y |
В 23. |
lim |
x y |
|
В 24. |
|||
3 y3 |
2xy2 |
|
||||||||
|
x |
|
x 0 |
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
В 25. |
lim |
2 |
xy 4 |
В 26. |
lim |
3 |
xy 9 |
В 27. |
||
|
x 0 |
|
x |
|
x 0 |
|
x |
|
||
|
y 0 |
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
В 28. |
lim |
tg xy |
В 29. |
lim |
x y4 |
1 |
В 30. |
|||
xy |
2xy2 |
1 |
||||||||
|
x 0 |
|
x 0 |
|
||||||
|
y 0 |
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
Завдання 3. Побудувати лінії рівня функції
В 1. z x2 2x 2 y2
4
В 4. z x2 y2 2y 4
В 7. z 4 x y 2
В 10. z 1 x y 2
В 13. z x2 y
В 16. z x2 y2
4 8
В 19. z x2 y
В 22. |
z |
2 |
x2 |
|
y2 |
|
4 |
9 |
|||||
|
|
|
|
|||
В 25. |
z |
2cos 5x |
||||
|
|
|
3y |
|
|
В 28. z x2 y2
4
Завдання 4.
z
В 1. Знайти частинні похідні x ,
z
В 2. Знайти частинні похідні y ,
|
В 2. |
z y2 x2 |
|
|
В 3. |
|||
|
В 5. |
z y ln x |
|
|
В 6. |
|||
|
В 8. |
z arcsin |
x y |
|
В 9. |
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
В 11. |
z 1 x y |
|
В 12. |
||||
|
В 14. |
z 1 sin 3x y |
|
В 15. |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
В 17. |
z |
y2 |
x2 1 |
|
В 18. |
||
|
|
|
4 |
16 |
|
|
||
|
В 20. |
z x ln y |
|
|
В 21. |
|||
|
В 23. |
z arctg x |
|
|
В 24. |
|||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
В 26. |
z x2 2x y2 1 |
В 27. |
|||||
|
В 29. |
z x2 y2 |
4y |
|
В 30. |
|||
2 z |
функції z ex y 2cos |
x |
. |
|||||
y2 |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
2 z |
функції z |
x |
arccos 2xy . |
|||||
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
lim sin xy x 0 xy
y 1
lim 4 x 5 y x 0 1 x y
y 5
lim |
3x2 |
2y |
xy |
|
|
x |
|
|
y |
|
|
lim |
|
xy |
|
|
|
||
x 0 |
5 |
x2 y 25 |
|
y 0 |
|
|
|
lim |
sin x2 y |
||
|
x2 y |
||
x 0 |
|
||
y 0 |
|
||
lim |
|
xy |
|
7 |
xy 49 |
||
x 0 |
|||
y 0 |
|
|
z 2xy 4
z ln x y2
z xy2
z arcsin xy
z xy
z x2 y2
z x2 y2 4
z x3 5 y
z yx2
z x y 2
В 3. Знайти повний диференціал dz та частиннупохідну 2 z |
|
функції |
z xln xy2 cos x . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
y |
|
В 4. Знайти частинні похідні |
2 z |
|
, |
|
|
2 z |
|
функції |
z ex 1 tg 2xy . |
|
|
||||||
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
В 5. Знайти частинні похідні |
2 z |
|
, |
|
2 z |
|
функції |
z xarctg |
x |
|
1 |
cos y2 . |
|||||
x y |
|
x2 |
|
y |
y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В 6. Знайти частинні похідні |
2 z |
|
, |
|
2 z |
|
функції |
z exy |
1 |
cos y . |
|
|
|||||
x y |
|
y2 |
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В 7. Знайти частинні похідні |
z , |
|
|
|
2 z |
функції z x ln 2x y x y . |
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В 8. Знайти частинні похідні |
2 z |
|
, |
|
2 z |
|
функції |
z ln x2 2y 2y cos x . |
|||||||||
|
x y |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В 9. Знайти частинні похідні |
z , |
|
|
|
2 z |
функції z x2 y3 x cos xy . |
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В 10. Знайти частинні похідні |
2 z |
|
, |
|
2 z |
функції z x2 y y ln x2 . |
|
|
|||||||||
x y |
y2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В 11. Знайти частинні похідні |
z |
, |
|
|
2 z |
|
функції |
z exy arcsin |
x2 |
|
. |
||||||
x |
|
|
y2 |
|
y |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В12. Знайти повний диференціал dz
2 z
В13. Знайти частинні похідні x2 ,
2 z
В14. Знайти частинні похідні x y ,
z
В 15. Знайти частинні похідні x ,
2 z
В 16. Знайти частинні похідні x2 ,
2 z
В 17. Знайти частинні похідні x y ,
2 z
В 18. Знайти частинні похідні x y ,
2 z
В 19. Знайти частинні похідні x2 ,
z
В 20. Знайти частинні похідні x ,
та частиннупохідну |
2 z |
функції |
z ln x |
arctg x y . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
2 z |
функції |
z x cos 2y |
|
|
x |
|
. |
|
||||||
y2 |
x |
2 |
y2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 z |
функції |
|
z arctg |
x y |
. |
|
|
|
|||||
y2 |
|
1 xy |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 z |
функції |
z |
exy arcsin |
|
x |
. |
|
|
||||||
y2 |
y |
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 z функції |
z ln x2 xy2 cos x . |
|
||||||||||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||
2 z |
функції |
|
z ln x2 |
y2 arccos xy . |
||||||||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 z |
функції |
|
z xe xy |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||
y2 |
|
xy |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 z |
функції |
z arcsin |
x y exy2 . |
|
||||||||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
2x2 y cos x |
|
|
|
|
|
|
||||
y |
функції z |
tg x2 |
y |
. |
|
|
|
|
|
В 21. Знайти повний диференціал dz функції z |
x3 y sin x . |
|
y |
2 z
В22. Знайти частинні похідні x y ,
2 z
В23. Знайти частинні похідні x2 ,
2 z
В24. Знайти частинні похідні x y ,
2 z
В25. Знайти частинні похідні x y ,
z
В 26. Знайти частинні похідні x ,
В 27. Знайти повний диференціал dz
2 z
В 28. Знайти частинні похідні x y ,
z
В 29. Знайти частинні похідні x ,
z
В 30. Знайти частинні похідні x ,
2 z |
функції |
z cos 3xy |
4 x2 . |
||||
y2 |
|
|
|
|
y2 |
||
2 z |
функції |
z sin x 2y ln xy . |
|||||
y2 |
|
|
|
|
|
||
|
2 z |
функції |
z xye xy . |
||||
y2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
2 z |
функції |
z |
x2 |
y2 |
. |
|
y2 |
ln x |
||||||
|
|
|
|||||
z |
функції z exy3 |
sin x2 y2 2 . |
|||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
функції z 2xy x2 y3 sin xy . |
|||||||
|
|
|
|
|
xy |
|
|
2 z |
функції |
z xy x . |
|
||||
y2 |
|
sin x2 y2 |
|||||
z |
|
|
|||||
y |
функції z ln xy ln xy . |
||||||
z |
функції z sin x2 |
ln x2 y exy . |
|||||
y |
|
|
|
|
|
|
Завдання 5. Обчислити наближено за допомогою повного диференціала |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В 1. |
sin 330 cos 580 . |
|
В 2. |
cos320 sin580 . |
|
В 3. |
tg460 cos 590 . |
|
|
|||||||||||||
В 4. 1,02 3 0,97 2 . |
|
В 5. 1,03 4,02 . |
|
В 6. 1,04 3 2,08 2 . |
|
|
||||||||||||||||
В 7. |
1,01 3,04 . |
|
|
|
В 8. |
1,03 4 2,01 3 . |
|
В 9. |
1,001 4,03 . |
|
|
|
||||||||||
В 10. |
3,952 3,152 . |
|
В 11. |
sin310 cos620 . |
|
В 12. 1,02 4 |
1,01 2 . |
|
|
|||||||||||||
В 13. |
4,992 2,052 . |
|
В 14. 1,02 4 |
1,99 3 . |
|
В 15. tg440 cos 610 . |
|
|
||||||||||||||
В 16. 2,02 3 |
2,99 2 . |
|
В 17. 1,005 3,99 . |
|
В 18. 2,07 2 1,99 4 |
|
|
|||||||||||||||
В 19. |
1,012 2,052 . |
|
В 20. |
sin 470 tg310 . |
|
В 21. ctg440 sin910 . |
|
|
||||||||||||||
В 22. 1,06 1,98 . |
|
|
|
В 23. 3,04 2 |
2,03 2 . |
|
В 24. 3,03 3 |
4,95 2 . |
|
|
||||||||||||
В 25. 1,1 4,1. |
|
|
|
|
В 26. 1,01 3,02 . |
|
В 27. 1,04 2 |
1,97 2 . |
|
|
||||||||||||
В 28. 1,05 4 |
3,01 2 . |
|
В 29. 1,001 4,01 . |
|
В 30. |
|
1,032 4,042 . |
|
|
|||||||||||||
Завдання 6. Знайти частинні похідні |
z |
та |
z складної функції : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
z ln x2 |
y2 |
|
|
|
|
|||
В 1. |
z x2 sin y |
, де |
x uv, |
|
y u2v3 . |
|
В 2. |
, де |
x u |
, |
y u v . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
В 3. |
z |
x |
x |
|
, де x uv, |
y u2 v2 . |
|
В 4. |
z xexy |
, де |
x |
u , |
y u v . |
|||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
||
В 5. |
z |
|
x y2 |
, де |
x uv, |
y x sin y . |
В 6. |
z ex |
, де |
x |
v , |
y u2v . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
u |
|
|
|
В 7. |
z sin x |
, де |
x uv, |
y u2 |
v . |
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
В 9. |
z arctg x2 y |
, де |
x |
u2 |
v2 , |
y v . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
В 11. |
z x4 cos y , де |
x v2 , |
y u v . |
|||||
|
|
|
|
|
u3 |
|
|
|
В 13. |
z x y3 |
, де |
x x2 y |
4 , |
y u2 . |
|||
|
z ln x2 |
y4 , де |
|
|
|
v3 |
||
В 15. |
x u 2v, |
y u ev . |
В 8. z |
y |
, де x euv , |
y v u . |
||
|
|
x |
|
|
|
В 10. |
z ex y3 |
, де x uv, |
y u . |
||
|
|
|
|
|
v2 |
В 12. |
z |
1 |
exy , де x u2 v2 , y sin uv . |
||
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
В 14. |
z xe y |
|
, де x uv, |
y 1 u2 v2 . |
|
В 16. |
z x y |
, де x uv2 |
, y u . |
||
|
|
xy |
|
v2 |
В 17. |
z x3 sin y , де |
x u2 , |
y u3 |
v4 . |
В 18. |
z y ln x3 , де x uv, y |
|
v |
. |
||
|
|
v |
|
|
|
|
z cos x4 y , де |
x u 5 |
|
u 1 |
|
В 19. |
z x sin x y |
, де x 2u 3v, |
|
y u2v3 . |
В 20. |
, |
y uv2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
В 21. |
z x arcsin x y , де x u2 2uv, |
y u2 . |
В 22. |
z x2 y x4 ln y , де |
x uv, |
y u 3v . |
|||||
|
|
|
|
|
v3 |
|
|
|
|
|
|
В23.
В25.
В27.
В29.
z xyexy |
, де |
x u3v4 , |
y |
v 1 |
. |
В 24. |
z |
x |
, де |
x uv2 , y |
|
u2 |
. |
||||
|
u |
exy |
v |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
x |
|
, де x u |
, |
y uv . |
|
В 26. |
z x y , де x u 2v, |
|
y u2v v3 . |
|||||||
|
x2 y2 |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
||
z y arccos x |
, де x |
|
u v , |
y uv . |
В 28. |
z |
|
1 |
, де x u2v4 |
, |
y u4v6 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
z cos x |
, де |
x u2 , |
|
y u2v4 . |
|
В 30. |
z |
sin x y , де x v u, y uv ev . |
|||||||||
|
y |
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 7. Перевірити, чи виконується для даної функції вказане співвідношення :
В 1. z ln |
1 |
, |
|
x2 y2 |
|||
|
|
В2. z y ln ex e y ,
В3. z x sin xy ,
2 z 2 z 0 .x2 y2
2 z |
|
2 z |
|
0 . |
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
x xz y yz 2z .
В 4. u |
|
1 |
|
|
, |
|
x2 y2 z2 |
||||
В 5. z |
y |
|
|
y |
|
x |
xln 1 |
x |
, |
||
|
|
|
|
2u 2u 2u 0 .x2 y2 z2
x2 2 z 2xy 2 z y2 2 z 0 .
x2 x y y2
|
y |
|
2 z |
|
z |
|
|
z |
|
2 z |
|
В 6. |
z xe x , |
x |
2 |
2 |
y |
0. |
|||||
|
|
|
x y |
|
x |
|
|
y |
|
y2 |
|
В 7. |
z xy , y |
2 z |
1 y ln x |
z |
0. |
|
|
||||
x y |
x |
|
|
В 8. z 2ln |
1 |
, |
x2 y2 |
В 9. z e x x y ,
2 z 2 z 0 .x2 y2
2 z 2 z 2 z z .x2 y2 y
|
|
x |
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
В 10. |
z e y2 , |
|
2x |
y |
0 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
В 11. |
z ln x2 |
xy y2 , |
|
|
x z y |
z |
2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
||
В 12. |
z xy |
y2 |
, |
x |
z |
y |
z |
xy |
z . |
||||
x |
x |
y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В 13. |
z |
1 |
|
, |
y |
z |
|
x |
z |
0 . |
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
В 14. z 3yx2 ln xy ,x2 xz xy yz y2 0 .
В15.
В16.
В17.
z ye y |
x2 |
x2 y2 |
z |
|
z |
|
2 y2 , |
xy |
xyz . |
||||
|
|
|
x |
|
y |
|
z x sin |
y , |
x z 2y |
z |
z . |
|
|
|
x2 |
x |
y |
|
|
|
z sin x y ln x y , |
|
2 z |
|
2 z . |
||
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
1 |
|
x2 |
|
В 18. z |
4 y , |
|||
y |
e |
|||
|
|
|
В19. z arctg xy ,
В20. z cos2 x y ,
z 2 z .y x2
2 z 2 z 0 .x2 y2
z z zx y y .
В 21. |
z |
y3 |
x2 y2 , |
|
x |
|
z |
|
y |
z |
z x2 |
y2 . |
||||||
x2 |
|
|
x |
y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В 22. |
z ln x2 y2 2x 1 |
|
, |
|
|
|
2 z |
|
2 z |
0 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
||
В 23. |
z ln x e y , z |
|
2 z |
|
z 2 z |
0 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
x x y |
|
|
|
y x2 |
|
|
|
|||||||
В 24. |
z |
y2 |
arcsin xy , |
|
|
x2 z |
xy |
z y2 0 . |
||||||||||
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
В 25. |
z ln |
1 |
, |
|
|
2 z |
|
|
2 z |
0 . |
|
|||||||
x2 y2 |
|
x2 |
|
y2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В 26. |
z sin x2 y2 , |
|
x |
z |
|
y |
z |
0 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
В 27. |
z cos x2 |
y2 , |
|
x z |
y z |
|
0 . |
|||
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
В 28. |
z 2 sin x2 |
y2 , |
|
y |
z |
x |
z |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
В 29. |
z cos x4 y4 , |
y |
z |
x |
z |
0 . |
||||
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
В 30. |
z |
x2 y2 2 , |
|
x |
z y |
z |
0 . |
|||
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
Завдання 8. Знайти grad z в точці M0 |
та |
dz |
|
в точці M0 : |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
|
|
В 1. |
z 3x2 4y2 xy, |
|
M 0 3, 1 , |
l i j . |
|||||||||||
В 2. z ln 3x2 2y2 xy , |
M 0 1,1 , |
l i 2 j . |
|||||||||||||
В 3. |
z arctg x3 y |
|
|
M 0 2,1 , |
l 3i j . |
|
|
||||||||
В 4. z ln 4x3 2y2 , |
M 0 3,1 , |
|
l 5i 2 j . |
||||||||||||
В 5. |
z 2x3 y2 |
5xy, |
|
M 0 1,2 , |
l 2i j . |
||||||||||
В 6. z ln x2 y2 2x 1 , |
M 0 1,1 , |
l i 2 j . |
|||||||||||||
В 7. |
z arccos |
|
4 |
|
, |
|
M0 1, 2 , |
|
l 2i 2 j . |
||||||
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В 8. |
z 3x3 5y2 6xy, |
M 0 3, 1 , |
l 4i 3 j . |
||||||||||||
В 9. |
z arctg x3 y2 , |
|
|
M 0 2, 1 , |
|
l 5i 2 j . |
|||||||||
В 10. |
z ln 3x2 2y2 xy , |
M 0 1,3 , |
l i 2 j . |
||||||||||||
В 11. |
z arccos |
2y |
|
, |
|
M0 2,3 , |
|
l 2 j i . |
|
||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В 12. |
z arcsin y2 , |
|
|
|
M 0 0,1 , |
|
l 4i 3 j . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В 13. |
z ye2x , |
|
M 0 0,4 , |
l утворює кут 135o з віссю ox. |
|||||||||||
В 14. |
z cos y y2 |
x2 sin y, |
M 0 1,2 , |
|
l 4i 3 j . |
||||||||||
В 15. |
z x3 y2 ln xy , |
M 0 1,1 , |
l утворює кут 45o з віссю ox. |
||||||||||||
В 16. |
z x2 xy y2 4x 2y, |
M 0 2,1 , |
l |
утворює кут 135o з віссю ox. |
|||||||||||
В 17. |
z |
x2 |
y2 3xy , |
M 0 5,3 , |
l утворює кут 30o з віссю ox. |
||||||||||
В 18. |
z 2y2 |
xy x3 4x 2y, |
|
M 0 2,3 , |
|
l утворює кут 30o з віссю ox. |
|||||||||
В 19. |
z x3 y2 |
3xy 4y 2x, |
M 0 1,2 , |
|
l i 2 j . |
||||||||||
В 20. |
z |
y2 |
x2 , |
|
|
M0 3,1 , |
l |
утворює кут -60o з віссю ox. |
|||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
M0 0,1 , |
l |
3i 2 j . |
||||
В 21. |
z xln 1 |
x 1 |
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 2,2 , |
|
|
|||||
В 22. |
z x4 x3 y2 y3 |
4x 5y, |
|
|
l i 3 j . |
||||||||||
В 23. |
z x2 y2 |
arctg |
y , |
M 0 4,5 , |
l i 3 j . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
В24.
В25.
В26.
В27.
В28.
В29.
В30.
z arcsin x2 |
, |
M 0 1, 1 , |
l |
2i j . |
||
|
y3 |
|
|
|
|
|
z x4 y4 4x2 y2 , |
M 0 2,1 , |
l i j . |
||||
z y2 exy , |
M 0 1,1 , |
l 2i j . |
||||
z xy 2xy2 |
, |
M 0 1,0 , |
l 3i 4 j . |
|||
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
z |
x2 y2 xy , |
|
M 0 2,2 , |
l i j . |
||
z x2 y3 y2 sin x, |
M 0 2,1 , |
l 4i 3 j . |
||||
z x3 4x2 y3 x |
, |
M 0 3, 1 , |
l i j . |
|||
|
|
y |
|
|
|
|
Завдання 9. Знайти частинні похідні z |
та z |
функції, заданої неявно, |
в точці M 0 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
В 1. |
x2 z xz2 xyz 0 , |
M0 1,2,5 . |
|
В 2. |
z xz3 x2 y2 4 0 , |
M 0 1,1,1 . |
||||||||
В 3. |
xz4 xy2 x2 z 0 , |
M 0 1,1,1 . |
|
|
В 4. |
z5 x cos y xyz 0 , |
M 0 1,0,2 . |
|||||||
В 5. |
z2 x yz3 |
x sin y 0 , |
M0 2,0,3 . |
|
В 6. |
z5 x2 y2 z2 xy 0 , |
M 0 1,1,1 . |
|||||||
В 7. |
z3 xyz2 |
x2 y2 |
0 , |
M 0 1,2,1 . |
|
В 8. |
z4 xz2 x3 y3 0 , M0 2,2,2 . |
|||||||
В 9. |
sin x coxy xz2 z4 |
0 , M0 0,0,2 . |
|
В 10. |
cos z x2 y2 z xy 0 |
, |
M 0 1,1,0 . |
|||||||
В 11. |
z4 xz2 |
x2 y2 |
0 , |
M 0 1,1,1 . |
|
В 12. |
x2 z xz2 |
xyz 3 0 |
, |
|
M 0 1,2,2 . |
|||
В 13. |
z3 z cos x sin y 0 , |
M0 0,0,1 . |
|
В 14. |
z2 x2 zx2 x2 y2 0 |
, |
M0 3,2,1 . |
|||||||
В 15. |
x3 y3 x2 z2 yz 0 , |
M 0 1,2,1 . |
|
В 16. |
x2 z xz2 |
xyz 2 0 |
, |
|
M0 1,2,5 . |
|||||
В 17. |
z3 xyz2 x4 y4 0 , |
M0 1,1,2 . |
|
В 18. |
z4 xyz3 |
2x 2y 0 , |
|
M 0 1,1,1 . |
||||||
В 19. |
x3 z 2xz2 xy 0 , M 0 1,2,2 . |
|
В 20. |
z5 xyz 4x3 y3 0 , |
M 0 1,2,1 . |
|||||||||
В 21. |
xyz 3x2 z2 |
2xy 1 0 , |
M0 1,2,2 . |
В 22. |
z4 xyz 2 sin x cos y |
0 , M0 0,0,1 . |
||||||||
В 23. |
z3 x x2 y2 z2 |
4xy 0 , M 0 1,1,1 . |
|
В 24. |
z yz3 x3 y2 3 0 |
, |
M0 1,2,2 . |
|||||||
В 25. |
z4 xyz2 e y x3 |
0 , |
M0 1,0,2 . |
|
В 26. |
x2 z2 xyz3 2cos y 0 |
, M 0 2,0,1 . |
|||||||
В 27. |
xyz xyz2 xex |
0 , |
M0 1,2,1 . |
|
В 28. |
z3 xz2 x2 cos y 0 |
, |
|
M 0 1,0,2 . |
|||||
В 29. |
z4 y xz3 x2 y2 0 , |
M 0 1,1,1 . |
|
В 30. |
z3 z4 xy x3 y2 1 0 |
, |
M0 1,2,5 . |
|||||||
Завдання 10. Дослідити на екстремум функцію : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В 1. z x2 y2 xy 2x y |
|
В 2. z 2xy 3x2 2y2 10 |
|
|
|
|||||||||
В 3. z x3 8y3 6xy 1 |
|
|
|
В 4. z 2xy 4x 2y |
|
|
|
|
||||||
В 5. z x2 xy y2 9x 6y 20 |
|
В 6. z 3x 6y x2 xy y2 |
|
|
|
|||||||||
В 7. z x2 y2 2x 4 xy 2y 8 |
В 8. z 2x3 xy2 5x2 y2 |
|
|
|
||||||||||
В 9. |
z 3x2 2x y y 8x 8 |
|
В 10. |
z y |
x y2 x 6 |
|
|
|
||||||
В 11. |
z 2x x2 2y y2 |
|
|
В 12. |
z 4 x y x2 |
y2 |
|
|
|
|||||
|
z x4 y4 2x2 4xy 2y2 |
|
|
x |
x y2 |
|
|
|
|
|||||
В 13. |
|
В 14. |
z e 2 |
|
|
|
|
|||||||
В 15. |
z x 1 2 2y2 |
|
|
|
В 16. |
z x 1 2 2y2 |
|
|
|
|
||||
|
z 1 x2 y2 |
2 |
|
|
|
|
z x2 y2 e x2 y2 |
|
|
|
||||
В 17. |
3 |
|
|
|
В 18. |
|
|
|
В 19. |
z ex y x2 2y2 |
|
|
В 20. |
z x2 xy y2 |
3x 2y 1 |
|
||||||||||||||
В 21. |
z xy 4 x 4 y |
|
В 22. |
z x3 |
|
1 |
y3 xy 2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
В 23. |
z x3 |
2y3 12x 6y 1 |
В 24. |
z x3 y3 |
9xy 1 |
|
|
|
|||||||||||||
В 25. |
z x3 |
y3 3x 12 y 5 |
В 26. |
z x2 xy y2 |
3x 6y |
|
|
|
|||||||||||||
В 27. |
z xy2 1 x y |
|
|
В 28. |
z x3 y3 |
15xy |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
В 29. |
z 4 x |
2 |
y |
2 |
3 |
|
|
В 30. |
z |
xy |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
47 x y |
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
Завдання 11. Знайти найбільше M та найменше m значення функції |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В 1. |
z xy |
в крузі |
|
x2 y2 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В 2. |
z x2 y2 |
xy x y |
утрикутнику, обмеженому лініями |
|
x 0, y 0, x y 3 0 . |
||||||||||||||||
В 3. |
z sin x sin y sin x y |
упрямокутнику |
0 x |
, |
0 y |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
В 4. |
z x2 y2 |
у крузі |
x2 y2 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В 5. |
z x2 y 4 x y |
утрикутнику, обмеженому лініями |
|
x 0, |
y 0, |
x y 6 0 . |
|||||||||||||||
В 6. |
z x3 y3 |
3xy упрямокутнику 0 x 2, |
1 y 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
В 7. |
z arctg x2 xy y |
у прямокутнику, обмеженому лініями |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 2, |
|
x 2, |
y 3, |
y 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z e x2 y2 |
2x2 3y2 |
у крузі x2 y2 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z 1 x 2y |
утрикутнику, обмеженому лініями |
x 0, |
|
y 0, |
|
x y 1 . |
|
|||||||||||||
|
z 1 x 2y |
у трикутнику, |
обмеженому лініями |
|
x 0, |
y 0, |
x y 1 . |
|
|||||||||||||
|
z x2 y |
у крузі x2 y2 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z x2 |
y2 у крузі |
x2 |
y2 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z xy |
у трикутнику з вершинами O(0,0), A(1,0), |
B(0,2) . |
|
|
|
|
|
|
|
z 3x 4y 5 |
у крузі |
x2 y2 1 . |
|
|
|
|
||||||
z sin x sin y sin x y |
упрямокутнику 0 x , |
0 y . |
|
|||||||||
z x2 |
3y2 |
x 18y 4 |
упрямокутнику 0 x 1, |
0 y 1 . |
|
|||||||
z x2 xy y2 |
в області |
|
x y 1. |
|
|
|
||||||
z x2 |
xy y2 |
4x |
у трикутнику, обмеженому лініями |
|
|
|||||||
x 0, |
y 0, |
2x 3y 12 0 . |
|
|
|
|
||||||
z xy x y |
у квадраті, обмеженомулініями |
|
|
|
||||||||
x 1, |
x 2, |
y 2, |
y 3 . |
|
|
|
|
|||||
z sin x sin y cos x y |
у прямокутнику 0 x |
3 , 0 y |
3 |
|||||||||
z cos x cos y cos x y |
|
|
2 |
|
2 |
|||||||
у прямокутнику 0 x , 0 y . |
|
|||||||||||
z x2 |
y2 |
укрузі x |
2 2 y |
2 2 9 . |
|
|
|
|||||
z x2 |
3y2 |
x y |
у трикутнику, обмеженому прямими x 1, |
y 1, |
.
x y 1 .
z x2 y2 3xy 5 |
упрямокутнику 0 x 2, |
0 y 3 . |
|
|
|
|
||
z xy 2 x y утрикутнику, обмеженому прямими x 0, |
y 0, |
x y 2 . |
|
|||||
z 2x2 4x2 y 4y2 |
у трикутнику, обмеженому прямими |
x 0, |
y 1, |
x y 2 . |
||||
z x2 2xy2 2 y2 у прямокутнику, обмеженому прямими |
x 1, |
y 0, |
x 4, |
y 2 . |
В 28. |
z 4x3 2x2 y y2 упрямокутнику 0 x |
1, |
0 y 2 . |
|
В 29. |
z x2 |
xy2 y3 упрямокутнику 1 x 1, |
|
1 y 0 . |
В 30. |
z x3 |
y3 3xy уквадраті, обмеженому прямими |
x 0, |
y 0, |
x 2, |
y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Завдання 12. |
Знайти умовний екстремум функції при вказаній умові : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
В 1. z |
1 |
1 |
; |
x y 2 . |
|
|
|
В 2. z x2 y2 ; |
x |
y |
1 . |
|
|
|||||||||
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
В 3. z x y ; |
1 |
|
1 |
1 . |
|
|
|
В 4. z xy ; x2 y2 2 . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В 5. |
z xy |
; |
x y 1 . |
|
|
|
|
|
В 6. |
z cos |
2 x cos2 |
y |
; y x . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
В 7. z x 2y ; |
x2 y2 5 . |
|
|
|
В 8. z 6 4x 3y ; |
x2 y2 1 . |
|
|||||||||||||||
В 9. |
z xy |
; x2 y2 |
1. |
|
|
|
|
В 10. |
z xy |
; 2x 3y 5 0 . |
|
|||||||||||
В 11. |
z x2 |
y2 |
; |
x |
y 1. |
|
|
|
В 12. |
z x2 |
y2 |
; |
x |
2 2 |
y |
2 2 9 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В 13. |
z x2 |
y2 |
; |
y 2x 6 . |
|
|
|
В 14. |
z 4x 3y |
|
; x2 y2 |
1. |
|
|||||||||
В 15. |
z 5x2 4xy y2 ; |
x y 1 . |
|
|
В 16. |
z x2 |
y2 |
; |
3x 4y 1. |
|
||||||||||||
В 17. |
z exy ; x y 1 . |
|
|
|
|
В 18. |
z x2 |
y2 xy x y |
; x y 3 0 . |
|||||||||||||
В 19. |
z xy y2 |
3x 4y |
; x y 1 |
. |
В 20. |
z x2 |
2xy 3y2 y |
; |
x y 1 . |
|||||||||||||
В 21. |
z x3 |
2y3 12x 6y 1 |
; x y 3 . |
|
В 22. z xy |
; |
2x y 2 . |
|||||||||||||||
В 23. |
z xy |
; |
3x 2y 1 . |
|
|
|
В 24. |
z x2 |
y2 ; |
xy 4 . |
|
|
|
|||||||||
В 25. |
z x2 |
y2 ; x2 y2 |
25 . |
|
|
|
В 26. |
z x2 |
xy y2 |
9x 6y 20 ; |
x y 3 0 . |
|||||||||||
В 27. |
z x2 y2 |
2x2 y 2y2 x 4xy |
; |
x y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В 28. |
z 3x 2y xy x2 |
y2 1 ; |
x y 1 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В 29. |
z x2 y2 |
4x2 y 4xy2 16xy |
; |
x y 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В 30. |
z x2 |
y2 |
xy 2x y ; |
x y |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 13. Методом найменших квадратів знайти параметри a та b функції y=ax+b.
В 1. |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
y |
1,2 |
1,4 |
2,8 |
2,5 |
2,5 |
4,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В 2. |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
y |
-3,6 |
-2,6 |
1,9 |
0,8 |
2,6 |
4,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В 3. |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
y |
4,8 |
5,5 |
4,3 |
2,3 |
2,1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В 4. |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
y |
1,2 |
3,1 |
4,2 |
5,3 |
8,4 |
7,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В 5. |
x |
-1 |
0 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
y |
2 |
1,5 |
3 |
4,5 |
5 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В 6. |
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
2,1 |
1,5 |
1 |
0,5 |
-2 |
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В 7. |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
y |
1,9 |
2,8 |
1,6 |
0,3 |
0,9 |
2,1 |