1.9. Характеристики элементарных звеньев в табличной форме

1

1

Раздел 2. Линейный анализ и синтез систем управления с использованием математической лаборатории matlab

Для разработки современных систем управления используются теории линейного анализа и синтеза. Для методов линейного анализа и синтеза разработана математическая лаборатория (MatLab), которая позволяет ввести исходные данные, указать решение требуемых задач и получить графические результаты расчетов.

Для нелинейных систем используются методы линеаризации и линейный анализ в области линеаризации.

Завершение исследований включает анализ нелинейности и дискретности цифрового управления на устойчивость, управляемость системы с нелинейными характеристиками приводов, измерителей и дискретности цифрового регулятора.

2.1 Анализ и синтез динамической системы в пространстве состояний

Рассмотрим дифференциальные уравнения движения в линейной стационарной системе:

= + n m

И алгебраические уравнения измерителя:

= +

Эти уравнения записаны в матричной форме. Для исследования системы необходимо ввести элементы матрицы

В векторной форме:

= Ax + Bu

y = Cx + Du

Здесь А – матрица динамических коэффициентов;

В – матрица управления;

C и D – матрицы измерений

Исследование устойчивости представляет собой анализ собственного возмущенного движения в случае равенства нулю управления и начальным отклонении координат: u = 0, x (t=0) =

Понятие Ляпунова об устойчивости:

Если линейная система выведена из положения равновесия и затем совершает движение в Ɛ-окрестности положения равновесности (x = 0), то динамическая система устойчива.

Ɛ

Динамическую систему называют асимптотически устойчивой, если предел ее движения заканчивается в положении равновесия.

0 = 0

2.2 Устойчивость систем 1го, 2го порядка и более высокий порядок

+ x = 0, u = 0

Вводим p = Оператор Лапласа

x( p + ) = 0, 0 – уравнение в операторной форме

ap + = 0 – характеристическое уравнение

p* = - – вектор собственного значения

x =

c – собственный вектор с =

Рис. Устойчивое и неустойчивое апериодическое движение

Для устойчивости линейной системы 1 порядка необходимо, чтобы ее вещественные корень был строго отрицательный. Если система описывается дифференциальным уравнением 1 порядка, то ее движение является апериодично устойчивым или неустойчивым.

Для устойчивости динамической системы необходимо существование сил или момента, которые будут направлены к положению равновесия при начальном отклонении.

Для асимптотической устойчивости необходимо существование демпфирующего момента, который будет всегда направлен против вектора линейной или угловой скорости.

Пример использования MatLab для определения устойчивости системы 1 порядка.

MatLab 6.5.1

Control Toolbox линейный анализ и синтез

Угловое вращение самолета по крену:

=

– момент инерции по крену; – коэффициент демпфирующего момента.

=

Для расчетов преобразуем в уравнение в форме Коши относительно производной

=

–элемент динамических коэффициентов

Для решения задачи указываем курсором на значок MatLab, загружаем систему и на наборном поле указываем исходные данные:

S = 180

L = 27

V = 200

= 0.37

= 0.5 - V 2

= -7.3

= q S L

=

damp (A)

Собственное значение -3.5, коэффициент относительного демпфирования 1, собственная частота 3,5.