Импульс тела

Им­пуль­сом на­зы­ва­ют про­из­ве­де­ние массы тела на его ско­рость:  . Им­пульс – век­тор­ная ве­ли­чи­на, на­прав­лен он все­гда в ту сто­ро­ну, в ко­то­рую на­прав­ле­на ско­рость. Само слово «им­пульс» ла­тин­ское и пе­ре­во­дит­ся на рус­ский язык как «тол­кать», «дви­гать». Им­пульс обо­зна­ча­ет­ся ма­лень­кой бук­вой  , а еди­ни­цей из­ме­ре­ния им­пуль­са яв­ля­ет­ся  .

Пер­вым че­ло­ве­ком, ко­то­рый ис­поль­зо­вал по­ня­тие им­пульс, был Рене Де­карт. Им­пульс он по­пы­тал­ся ис­поль­зо­вать как ве­ли­чи­ну, за­ме­ня­ю­щую силу. При­чи­на та­ко­го под­хо­да оче­вид­на: из­ме­рять силу до­ста­точ­но слож­но, а из­ме­ре­ние массы и ско­ро­сти – вещь до­ста­точ­но про­стая. Имен­но по­это­му часто го­во­рят, что им­пульс – это ко­ли­че­ство дви­же­ния. А раз из­ме­ре­ние им­пуль­са яв­ля­ет­ся аль­тер­на­ти­вой из­ме­ре­ния силы, зна­чит, нужно свя­зать эти две ве­ли­чи­ны.

 Импульс силы

Эти ве­ли­чи­ны – им­пульс и силу – свя­зы­ва­ет между собой по­ня­тие им­пульс силы. Им­пульс силы за­пи­сы­ва­ет­ся как про­из­ве­де­ние силы на время, в те­че­ние ко­то­ро­го эта сила дей­ству­ет:   им­пульс силы [H ^. c]. Спе­ци­аль­но­го обо­зна­че­ния для им­пуль­са силы нет.

Да­вай­те рас­смот­рим вза­и­мо­связь им­пуль­са и им­пуль­са силы. Рас­смот­рим такую ве­ли­чи­ну, как из­ме­не­ние им­пуль­са тела,  . Имен­но из­ме­не­ние им­пуль­са тела равно им­пуль­су силы. Таким об­ра­зом, мы можем за­пи­сать:  .

Закон сохранения импульса

Те­перь пе­рей­дем к сле­ду­ю­ще­му важ­но­му во­про­су – за­ко­ну со­хра­не­ния им­пуль­са. Этот закон спра­вед­лив для за­мкну­той изо­ли­ро­ван­ной си­сте­мы.

Опре­де­ле­ние: за­мкну­той изо­ли­ро­ван­ной си­сте­мой на­зы­ва­ют такую, в ко­то­рой тела вза­и­мо­дей­ству­ют толь­ко друг с дру­гом и не вза­и­мо­дей­ству­ют с внеш­ни­ми те­ла­ми.

Для за­мкну­той си­сте­мы спра­вед­лив закон со­хра­не­ния им­пуль­са: в за­мкну­той си­сте­ме им­пульс всех тел оста­ет­ся ве­ли­чи­ной по­сто­ян­ной.

Об­ра­тим­ся к тому, как за­пи­сы­ва­ет­ся закон со­хра­не­ния им­пуль­са для си­сте­мы из двух тел:  .

Эту же фор­му­лу мы можем за­пи­сать сле­ду­ю­щим об­ра­зом:  .

Рис. 2. Сум­мар­ный им­пульс си­сте­мы из двух ша­ри­ков со­хра­ня­ет­ся после их столк­но­ве­ния

Об­ра­ти­те вни­ма­ние: дан­ный закон дает воз­мож­ность, из­бе­гая рас­смот­ре­ния дей­ствия сил, опре­де­лять ско­рость и на­прав­ле­ние дви­же­ния тел. Этот закон дает воз­мож­ность го­во­рить о таком важ­ном яв­ле­нии, как ре­ак­тив­ное дви­же­ние.

14

В настоящем параграфе говорится о медленном движении тел, масса которых меняется за счет потери или приобретения вещества. Уравнения движения тел с переменной массой являются следствиями законов Ньютона. Тем не менее, они представляют большой интерес, главным образом, в связи с ракетной техникой.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты.

Модель 3.4. Реактивное движение

П ринцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.

Несложные преобразования закона изменения импульса приводят к уравнению Мещерского:

Здесь m – текущая масса ракеты,   – ежесекундный расход массы, υ – скорость газовой струи (т.е. скорость истечения газов относительно ракеты), F – внешние силы, действующие на ракету. По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела m здесь меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе   добавляется дополнительный член   , который может быть истолкован как реактивная сила.

Применив уравнение Мещерского к движению ракеты, на которую не действуют внешние силы, и проинтегрировав уравнение, получим формулу Циолковского:

Релятивистское обобщение этой формулы имеет вид 

где c – скорость света. При малых скоростях v оно переходит в формулу Циолковского.

Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый, чтобы сообщить ракете скорость υ. В частности, можно получить, что запас топлива, необходимого для осуществления межзвездного путешествия (с возвращением обратно), должен превышать массу космического корабля в несколько тысяч раз. Но для межзвездных перелетов ракеты на химическом топливе абсолютно непригодны. Расстояния до звезд измеряются световыми годами – от ближайшей звезды свет идет до Земли около 4 лет. Поэтому для достижения даже ближайших звезд нужны космические корабли, скорости которых близки к скорости света c. Если, например, скорость ракеты должна составлять четверть скорости света, то на каждую тонну полезного груза должно приходиться 5•10³³²⁷ тонн топлива! (Кстати, при таких скоростях применима только релятивистская формула Циолковского; она еще больше увеличивает необходимое количество топлива). Обычно, когда имеют дело с очень большими величинами, их называют «астрономическими». В данном случае такое сравнение не годится – речь идет о величинах несравненно большего масштаба. Вряд ли имеет смысл говорить о движении столь фантастически гигантского космического корабля относительно Вселенной, имеющей по сравнению с ним ничтожную массу.

Было бы неосторожно на основании вышеизложенного сделать вывод, что звездные миры никогда не будут доступны земным космонавтам. Только отдаленное будущее покажет, возможно это или нет. Для превращения ракеты в звездолет, прежде всего, необходимо повысить скорость струи, приблизив ее к скорости света. Идеальным был бы случай u = c. Так было бы в фотонной ракете, в которой роль газовой струи должен был бы играть световой пучок. Реактивная сила в фотонной ракете осуществлялась бы давлением света. Превращение вещества в излучение постоянно происходит внутри звезд. Этот процесс осуществляется и на Земле (взрывы атомных и водородных бомб). Возможно ли придать ему управляемый характер и использовать в фотонных ракетах – на этот вопрос отвечать сейчас преждевременно.

15.